ba espacio

Clase de espacios de Banach

En matemáticas , el espacio ba de un álgebra de conjuntos es el espacio de Banach que consta de todas las medidas con signo acotadas y finitamente aditivas . La norma se define como la variación , es decir ^[1] ${\displaystyle ba(\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \|\nu \|=|\nu |(X).}$

Si Σ es un sigma-álgebra , entonces el espacio se define como el subconjunto que consta de medidas contablemente aditivas . ^[2] La notación ba es un mnemotécnico para aditivo acotado y ca es la abreviatura de aditivo contable . ${\displaystyle ca(\Sigma )}$ ${\displaystyle ba(\Sigma )}$

Si X es un espacio topológico y Σ es el álgebra sigma de los conjuntos de Borel en X , entonces es el subespacio que consta de todas las medidas regulares de Borel en X. ^[3] ${\displaystyle rca(X)}$ ${\displaystyle ca(\Sigma )}$

Propiedades

Los tres espacios son completos (son espacios de Banach ) con respecto a la misma norma definida por la variación total, y por lo tanto es un subconjunto cerrado de , y es un conjunto cerrado de para Σ el álgebra de Borel se establece en X. El espacio de funciones simples en es denso . ${\displaystyle ca(\Sigma )}$ ${\displaystyle ba(\Sigma )}$ ${\displaystyle rca(X)}$ ${\displaystyle ca(\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle ba(\Sigma )}$

El espacio ba del conjunto de potencias de los números naturales , ba (2 ^N ), a menudo se denota simplemente y es isomorfo al espacio dual del espacio ℓ ∞ . ${\displaystyle ba}$

Dual de B(Σ)

Sea B(Σ) el espacio de funciones Σ-medibles acotadas, equipadas con la norma uniforme . Entonces ba (Σ) = B(Σ)* es el espacio dual continuo de B(Σ). Esto se debe a Hildebrandt ^[4] y Fichtenholtz & Kantorovich. ^[5] Este es un tipo de teorema de representación de Riesz que permite representar una medida como una funcional lineal en funciones medibles. En particular, este isomorfismo permite definir la integral con respecto a una medida finitamente aditiva (tenga en cuenta que la integral de Lebesgue habitual requiere aditividad contable ). Esto se debe a Dunford & Schwartz, ^[6] y se utiliza a menudo para definir la integral con respecto a medidas vectoriales , ^{[7] y especialmente} a medidas de radón con valores vectoriales .

La dualidad topológica ba (Σ) = B(Σ)* es fácil de ver. Existe una dualidad algebraica obvia entre el espacio vectorial de todas las medidas finitamente aditivas σ sobre Σ y el espacio vectorial de funciones simples ( ). Es fácil comprobar que la forma lineal inducida por σ es continua en la sup-norma si σ está acotada, y el resultado se sigue ya que una forma lineal en el subespacio denso de funciones simples se extiende a un elemento de B(Σ)* si es continuo en la sup-norma. ${\displaystyle \mu (A)=\zeta \left(1_{A}\right)}$

Dual de L ∞ ( μ )

Si Σ es un álgebra sigma y μ es una medida positiva sigma-aditiva en Σ, entonces el espacio Lp L ^∞ ( μ ) dotado de la norma suprema esencial es, por definición, el espacio cociente de B(Σ) por el subespacio cerrado de acotado μ -funciones nulas:

${\displaystyle N_{\mu }:=\{f\in B(\Sigma ):f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}.}$

El espacio dual de Banach L ^∞ ( μ ) * es, por tanto, isomorfo a

${\displaystyle N_{\mu }^{\perp }=\{\sigma \in ba(\Sigma ):\mu (A)=0\Rightarrow \sigma (A)=0{\text{ for any }}A\in \Sigma \},}$

es decir, el espacio de medidas con signo finitamente aditivas en Σ que son absolutamente continuas con respecto a μ ( μ -ac para abreviar).

Cuando el espacio de medidas es además sigma finito, entonces L ^∞ ( μ ) es a su vez dual a L ¹ ( μ ), que según el teorema de Radón-Nikodym se identifica con el conjunto de todas las medidas μ -ac contablemente aditivas . En otras palabras, la inclusión en el bidual

${\displaystyle L^{1}(\mu )\subset L^{1}(\mu )^{**}=L^{\infty }(\mu )^{*}}$

es isomorfo a la inclusión del espacio de medidas acotadas μ -ac contablemente aditivas dentro del espacio de todas las medidas acotadas μ -ac finitamente aditivas.

Referencias

• Dunford, N.; Schwartz, JT (1958). Operadores lineales, Parte I. Wiley-Interscience.

1. Dunford y Schwartz 1958, IV.2.15.
2. Dunford y Schwartz 1958, IV.2.16.
3. Dunford y Schwartz 1958, IV.2.17.
4. Hildebrandt, TH (1934). "Sobre operaciones funcionales acotadas". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 36 (4): 868–875. doi : 10.2307/1989829 . JSTOR  1989829.
5. Fichtenholz, G.; Kantorovich, LV (1934). "Sur les opérations linéaires dans l'espace des fonctions bornées". Estudios Matemáticos . 5 : 69–98. doi : 10.4064/sm-5-1-69-98 .
6. Dunford y Schwartz 1958.
7. Diestel, J.; Uhl, JJ (1977). Medidas vectoriales . Encuestas Matemáticas. vol. 15. Sociedad Matemática Estadounidense. Capítulo I.

Otras lecturas

• Diestel, José (1984). Secuencias y series en espacios de Banach . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90859-5. OCLC  9556781.
• Yosida, K.; Hewitt, E. (1952). "Medidas finitamente aditivas". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 72 (1): 46–66. doi : 10.2307/1990654 . JSTOR  1990654.
• Kantorovich, Leonid V.; Akilov, Gleb P. (1982). Análisis funcional . Pérgamo. doi :10.1016/C2013-0-03044-7. ISBN 978-0-08-023036-8.