Transformación canónica lineal

En la mecánica hamiltoniana , la transformación canónica lineal ( LCT ) es una familia de transformaciones integrales que generaliza muchas transformaciones clásicas. Tiene 4 parámetros y 1 restricción, por lo que es una familia tridimensional y puede visualizarse como la acción del grupo lineal especial SL ₂ ( R ) en el plano (dominio) tiempo-frecuencia . Como esto define la función original hasta un signo, esto se traduce en una acción de su doble cobertura sobre el espacio funcional original.

La LCT generaliza las transformadas de Fourier , Fourier fraccional , Laplace , Gauss-Weierstrass , Bargmann y Fresnel como casos particulares. El nombre "transformación canónica lineal" proviene de transformación canónica , un mapa que preserva la estructura simpléctica, ya que SL ₂ ( R ) también puede interpretarse como el grupo simpléctico Sp ₂ y, por lo tanto, los LCT son los mapas lineales del dominio tiempo-frecuencia. que conservan la forma simpléctica , y su acción sobre el espacio de Hilbert está dada por el grupo Metapléctico .

Se consideran las propiedades básicas de las transformaciones mencionadas anteriormente, como escala, desplazamiento y multiplicación de coordenadas. Cualquier transformación canónica lineal está relacionada con transformaciones afines en el espacio de fase, definidas por coordenadas tiempo-frecuencia o posición-momento.

Definición

El LCT se puede representar de varias formas; lo más fácil es que ^[1] se pueda parametrizar mediante una matriz de 2×2 con determinante 1, es decir, un elemento del grupo lineal especial SL ₂ ( C ). Entonces, para cualquier matriz con ad  −  bc  = 1, la transformación integral correspondiente de una función a se define como ${\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}{\bigr )},}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle X(u)}$

$${\displaystyle X_{(a,b,c,d)}(u)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {1}{ib}}}\cdot e^{i\pi {\frac {d}{b}}u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\frac {1}{b}}ut}e^{i\pi {\frac {a}{b}}t^{2}}x(t)\,dt,&{\text{when }}b\neq 0,\\{\sqrt {d}}\cdot e^{i\pi cdu^{2}}x(d\cdot u),&{\text{when }}b=0.\end{cases}}}$$

Casos especiales

Muchas transformaciones clásicas son casos especiales de la transformada canónica lineal:

Escalada

Escalar , , corresponde a escalar las dimensiones de tiempo y frecuencia inversamente (a medida que el tiempo pasa más rápido, las frecuencias son más altas y la dimensión de tiempo se reduce): ${\displaystyle x(u)\mapsto {\sqrt {\sigma }}x(\sigma u)}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/\sigma &0\\0&\sigma \end{bmatrix}}}$$

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier corresponde a una rotación de 90° en el sentido de las agujas del reloj en el plano tiempo-frecuencia, representada por la matriz

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}.}$$

Transformada fraccionaria de Fourier

La transformada fraccionaria de Fourier corresponde a la rotación en un ángulo arbitrario; son los elementos elípticos de SL ₂ ( R ), representados por las matrices

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.}$$

${\displaystyle \theta =90^{\circ }.}$ ${\displaystyle \theta =-90^{\circ }.}$

transformada de Fresnel

La transformada de Fresnel corresponde al corte, y son una familia de elementos parabólicos , representados por las matrices

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}},}$$

zλ

transformada de Laplace

La transformada de Laplace corresponde a una rotación de 90° en el dominio complejo y puede representarse mediante la matriz

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}.}$$

Transformada fraccionaria de Laplace

La transformada fraccionaria de Laplace corresponde a la rotación en un ángulo arbitrario en el dominio complejo y puede representarse mediante la matriz ^[2]

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i\cos \theta &i\sin \theta \\i\sin \theta &-i\cos \theta \end{bmatrix}}.}$$

${\displaystyle \theta =90^{\circ }.}$ ${\displaystyle \theta =-90^{\circ }.}$

Multiplicación de chirridos

La multiplicación de chirridos corresponde a : ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle x(u)\mapsto e^{i\pi \tau u^{2}}x(u)}$ ${\displaystyle b=0,c=\tau }$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\\tau &1\end{bmatrix}}.}$$

Composición

La composición de los LCT corresponde a la multiplicación de las matrices correspondientes; esto también se conoce como propiedad de aditividad de la función de distribución de Wigner (WDF). Ocasionalmente, el producto de las transformaciones puede adquirir un factor de signo debido a que se elige una rama diferente de la raíz cuadrada en la definición de la LCT. En la literatura, esto se llama fase metapléctica .

Si el LCT se denota por , es decir ${\displaystyle O_{F}^{(a,b,c,d)}}$

$${\displaystyle X_{(a,b,c,d)}(u)=O_{F}^{(a,b,c,d)}[x(t)],}$$

entonces

$${\displaystyle O_{F}^{(a_{2},b_{2},c_{2},d_{2})}\left\{O_{F}^{(a_{1},b_{1},c_{1},d_{1})}[x(t)]\right\}=O_{F}^{(a_{3},b_{3},c_{3},d_{3})}[x(t)],}$$

dónde

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{3}&b_{3}\\c_{3}&d_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{bmatrix}}.}$$

Si es el , ¿dónde está el LCT de , entonces? ${\displaystyle W_{X(a,b,c,d)}(u,v)}$ ${\displaystyle X_{(a,b,c,d)}(u)}$ ${\displaystyle X_{(a,b,c,d)}(u)}$ ${\displaystyle x(t)}$

$${\displaystyle W_{X(a,b,c,d)}(u,v)=W_{x}(du-bv,-cu+av),}$$

$${\displaystyle W_{X(a,b,c,d)}(au+bv,cu+dv)=W_{x}(u,v).}$$

LCT es igual a la operación de torsión para el WDF y la distribución de clases de Cohen también tiene la operación de torsión.

Podemos utilizar libremente el LCT para transformar el paralelogramo cuyo centro está en (0, 0) en otro paralelogramo que tenga la misma área y el mismo centro:

De esta imagen sabemos que el punto (−1, 2) se transforma en el punto (0, 1) y el punto (1, 2) se transforma en el punto (4, 3). Como resultado, podemos escribir las ecuaciones.

$${\displaystyle {\begin{cases}-a+2b=0,\\-c+2d=1,\end{cases}}\qquad {\begin{cases}a+2b=4,\\c+2d=3.\end{cases}}}$$

Resuelva estas ecuaciones da ( a ,  b ,  c ,  d ) = (2, 1, 1, 1).

En óptica y mecánica cuántica.

Los sistemas ópticos paraxiales implementados íntegramente con lentes delgadas y propagación a través del espacio libre y/o medios de índice graduado (GRIN), son sistemas de fase cuadrática (QPS); éstos se conocían antes de que Moshinsky y Quesne (1974) llamaran la atención sobre su importancia en relación con las transformaciones canónicas en la mecánica cuántica. El efecto de cualquier QPS arbitrario en un campo de onda de entrada se puede describir utilizando la transformada canónica lineal, cuyo caso particular fue desarrollado por Segal (1963) y Bargmann (1961) para formalizar el cálculo de bosones de Fock (1928). ^[3]

En mecánica cuántica , las transformaciones canónicas lineales se pueden identificar con las transformaciones lineales que mezclan el operador de momento con el operador de posición y dejan invariantes las relaciones de conmutación canónicas .

Aplicaciones

Las transformadas canónicas se utilizan para analizar ecuaciones diferenciales. Estas incluyen la difusión , la partícula libre de Schrödinger , el potencial lineal (caída libre) y las ecuaciones del oscilador atractivo y repulsivo. También incluye algunas otras, como la ecuación de Fokker-Planck . Aunque esta clase está lejos de ser universal, la facilidad con la que se encuentran soluciones y propiedades hace que las transformaciones canónicas sean una herramienta atractiva para problemas como estos. ^[4]

Aquí se analiza la propagación de ondas a través del aire, una lente y entre antenas parabólicas. Todos los cálculos se pueden reducir a álgebra matricial de 2 × 2. Este es el espíritu de LCT.

Propagación de ondas electromagnéticas.

Suponiendo que el sistema se ve como se muestra en la figura, la onda viaja desde el plano ( xi ,  _yi ) _al plano ( x ,  y ). La transformada de Fresnel se utiliza para describir la propagación de ondas electromagnéticas en el espacio libre:

$${\displaystyle U_{0}(x,y)=-{\frac {j}{\lambda }}{\frac {e^{jkz}}{z}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{j{\frac {k}{2z}}\left[(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}\right]}U_{i}(x_{i},y_{i})\,dx_{i}\,dy_{i},}$$

dónde

${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$es el número de onda ,

λ es la longitud de onda ,

z es la distancia de propagación,

${\displaystyle j={\sqrt {-1}}}$es la unidad imaginaria.

Esto es equivalente a LCT (cizallamiento), cuando

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}}.}$$

Cuando la distancia recorrida ( z ) es mayor, el efecto de corte es mayor.

lente esférica

Con la lente como se muestra en la figura y el índice de refracción indicado como n , el resultado es ^[5]

$${\displaystyle U_{0}(x,y)=e^{jkn\Delta }e^{-j{\frac {k}{2f}}[x^{2}+y^{2}]}U_{i}(x,y),}$$

donde f es la distancia focal y Δ es el espesor de la lente.

La distorsión que pasa a través de la lente es similar a la LCT, cuando

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda f}}&1\end{bmatrix}}.}$$

Este también es un efecto de corte: cuando la distancia focal es menor, el efecto de corte es mayor.

espejo esférico

El espejo esférico (por ejemplo, una antena parabólica) puede describirse como un LCT, con

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R}}&1\end{bmatrix}}.}$$

Esto es muy similar a la lente, excepto que la distancia focal se reemplaza por el radio R del plato. Un espejo esférico con un radio de curvatura de R es equivalente a una lente delgada con una distancia focal f = − R /2 (por convención, R < 0 para espejo cóncavo, R > 0 para espejo convexo). Por tanto, si el radio es menor, el efecto de corte es mayor.

Espacio libre articular y lente esférica.

La relación entre la entrada y la salida podemos usar LCT para representar

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z_{2}\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\-1/\lambda f&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\lambda z_{1}\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-z_{2}/f&\lambda (z_{1}+z_{2})-\lambda z_{1}z_{2}/f\\-1/\lambda f&1-z_{1}/f\end{bmatrix}}\,.}$$

1. Si es una imagen real inversa. ${\displaystyle z_{1}=z_{2}=2f}$
2. Si , es transformada de Fourier + escala ${\displaystyle z_{1}=z_{2}=f}$
3. Si , es transformada fraccionaria de Fourier+escalado ${\displaystyle z_{1}=z_{2}}$

Propiedades básicas

En esta parte, mostramos las propiedades básicas de LCT.

Dado un vector de columna bidimensional, mostramos algunas propiedades básicas (resultado) para la entrada específica a continuación: ${\displaystyle r={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$

Ejemplo

El sistema considerado se muestra en la figura de la derecha: dos antenas parabólicas, una como emisor y otra como receptor, y una señal que viaja entre ellas a lo largo de una distancia D. Primero, para el plato A (emisor), la matriz LCT tiene este aspecto:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{A}}}&1\end{bmatrix}}.}$$

Entonces, para el plato B (receptor), la matriz LCT se convierte de manera similar en:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{B}}}&1\end{bmatrix}}.}$$

Por último, para la propagación de la señal en el aire, la matriz LCT es:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\lambda D\\0&1\end{bmatrix}}.}$$

Juntando los tres componentes, el LCT del sistema es:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{B}}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\lambda D\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{A}}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {D}{R_{A}}}&-\lambda D\\{\frac {1}{\lambda }}(R_{A}^{-1}+R_{B}^{-1}-R_{A}^{-1}R_{B}^{-1}D)&1-{\frac {D}{R_{B}}}\end{bmatrix}}\,.}$$

Relación con la física de partículas

Se ha demostrado que es posible establecer relaciones entre algunas propiedades de los quarks y leptones (incluidos los neutrinos estériles ) y la representación del espín de transformaciones canónicas lineales multidimensionales. ^{[6] [7]} En este enfoque, la carga eléctrica , la hipercarga débil y el isospin débil de las partículas se expresan como combinaciones lineales de algunos operadores definidos a partir de los generadores del álgebra de Clifford asociados con la representación de espín de transformaciones canónicas lineales. En este marco también se explica la existencia de la carga de color .

Transformaciones canónicas lineales y clasificación de fermiones.

El estado cuántico básico de un quark o un leptón (incluidos los estados de momento y posición ) se describe en este contexto utilizando los conceptos de espacio de fase cuántico y representación del espacio de fase de la mecánica cuántica . ^[8]

Ver también

• Distribución Segal-Shale-Weil, un grupo metapléctico de operadores relacionados con la transformada chirplet
• Otras transformaciones tiempo-frecuencia:
  • Transformada fraccionaria de Fourier
  • Transformada continua de Fourier
  • Transformación de chirplets
• Aplicaciones:
  • Recuperación de enfoque basada en la transformación canónica lineal.
  • Análisis de matriz de transferencia de rayos.

Notas

1. de Bruijn, NG (1973). "Una teoría de funciones generalizadas, con aplicaciones a la distribución de Wigner y la correspondencia de Weyl", Nieuw Arch. Wiskd. , III. Ser., 21 , 205–280.
2. PR Deshmukh y AS Gudadhe (2011) Estructura de convolución para dos versiones de transformada fraccionaria de Laplace. Revista de Ciencias y Artes, 2(15):143–150. "CENTRO". Archivado desde el original el 23 de diciembre de 2012 . Consultado el 29 de agosto de 2012 .
3. KB Wolf (1979) Cap. 9: Transformaciones canónicas.
4. KB Wolf (1979) Cap. 9 y 10.
5. Goodman, Joseph W. (2005), Introducción a la óptica de Fourier (3.ª ed.), Roberts and Company Publishers, ISBN 0-9747077-2-4, §5.1.3, págs. 100-102.
6. RT Ranaivoson et al (2021) Phys. scr. 96, 065204, arXiv:1804.10053 [cuántico-ph]
7. Raoelina Andriambololona et al (2021) J. Phys. Comunitario. 5 091001, arXiv:2109.03807 [hep-ph]
8. RT Ranaivoson et al (2022) J. Phys. Comunitario. 6 095010, arXiv:2008.10602 [cuántico-ph]

Referencias

• JJ Healy, MA Kutay, HM Ozaktas y JT Sheridan, " Transformaciones canónicas lineales: teoría y aplicaciones ", Springer, Nueva York 2016.
• JJ Ding, " Nota del curso sobre análisis tiempo-frecuencia y transformada wavelet ", Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad Nacional de Taiwán (NTU), Taipei, Taiwán, 2007.
• KB Wolf, " Transformaciones integrales en ciencia e ingeniería ", cap. 9 y 10, Nueva York, Plenum Press, 1979.
• SA Collins, "Integral de difracción del sistema de lentes escrita en términos de óptica matricial", J. Opt. Soc. América. 60 , 1168-1177 (1970).
• M. Moshinsky y C. Quesne, "Transformaciones canónicas lineales y sus representaciones unitarias", J. Math. Física. 12 , 8, 1772-1783, (1971).
• BM Hennelly y JT Sheridan, "Algoritmo numérico rápido para la transformada canónica lineal", J. Opt. Soc. Soy. A 22 , 5, 928–937 (2005).
• HM Ozaktas, A. Koç, I. Sari y MA Kutay, "Cálculo eficiente de integrales de fase cuadrática en óptica", Opt. Dejar. 31 , 35–37, (2006).
• Bing-Zhao Li, Ran Tao, Yue Wang, "Nuevas fórmulas de muestreo relacionadas con la transformada canónica lineal", Signal Processing ' 87' , 983–990, (2007).
• A. Koç, HM Ozaktas, C. Candan y MA Kutay, "Cálculo digital de transformaciones canónicas lineales", IEEE Trans. Proceso de señal. , vol. 56, núm. 6, 2383–2394, (2008).
• Ran Tao, Bing-Zhao Li, Yue Wang, "Sobre el muestreo de señales de banda limitada asociadas con la transformada canónica lineal", IEEE Transactions on Signal Processing , vol. 56, núm. 11, 5454–5464, (2008).
• D. Stoler, "Métodos de operador en Óptica Física", 26º Simposio Técnico Anual . Sociedad Internacional de Óptica y Fotónica, 1982.
• Tian-Zhou Xu, Bing-Zhao Li, " Transformación canónica lineal y sus aplicaciones ", Beijing, Science Press, 2013.
• Raoelina Andriambololona, ​​RT Ranaivoson, HDE Randriamisy, R. Hanitriarivo, "Álgebra de operadores de dispersión y transformaciones canónicas lineales", Int. J. Theor. Física. , 56 , 4, 1258-1273, (2017)
• RT Ranaivoson et al., "Transformaciones canónicas lineales en física cuántica relativista", Phys. scr. 96 , 065204, (2021).
• Tatiana Alieva., Martín J. Bastiaans. (2016) Las transformaciones canónicas lineales: definición y propiedades. En: Healy J., Alper Kutay M., Ozaktas H., Sheridan J. (eds) Transformaciones canónicas lineales. Serie Springer en Ciencias Ópticas, vol 198. Springer, Nueva York, NY
• Raoelina Andriambololona et al., "Existencia de neutrinos estériles sugerida a partir de la covarianza LCT", J. Phys. Comunitario. 5 , 091001, (2021).
• RT Ranaivoson et al., "Operadores cuadráticos invariantes asociados a transformaciones canónicas lineales", J. Phys. Comunitario. 6 , 095010, (2022).