transformada wavelet

Técnica matemática utilizada en la compresión y análisis de datos.

Un ejemplo de la transformada wavelet discreta 2D que se utiliza en JPEG2000 .

En matemáticas , una serie wavelet es una representación de una función integrable al cuadrado ( de valor real o complejo ) mediante una determinada serie ortonormal generada por una wavelet . Este artículo proporciona una definición matemática formal de una wavelet ortonormal y de la transformada wavelet integral . ^{[1] [2] [3] [4] [5]}

Definición

Una función se llama wavelet ortonormal si puede usarse para definir una base de Hilbert , es decir, un sistema ortonormal completo , para el espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables . ${\displaystyle \psi \,\in \,L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$

La base de Hilbert se construye como la familia de funciones mediante traslaciones y dilataciones diádicas de , ${\displaystyle \{\psi _{jk}:\,j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \psi \,}$

${\displaystyle \psi _{jk}(x)=2^{\frac {j}{2}}\psi \left(2^{j}x-k\right)\,}$

para números enteros . ${\displaystyle j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} }$

Si está bajo el producto interno estándar , ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}dx}$

esta familia es ortonormal, es un sistema ortonormal:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi _{jk},\psi _{lm}\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{jk}(x){\overline {\psi _{lm}(x)}}dx\\&=\delta _{jl}\delta _{km}\end{aligned}}}$

¿Dónde está el delta del Kronecker ? ${\displaystyle \delta _{jl}\,}$

La integridad se satisface si cada función puede expandirse en la base como ${\displaystyle f\,\in \,L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{j,k=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}(x)}$

entendiéndose por convergencia de la serie convergencia en norma . Esta representación de f se conoce como serie wavelet . Esto implica que una wavelet ortonormal es autodual .

La transformada wavelet integral es la transformada integral definida como

${\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\psi \left({\frac {x-b}{a}}\right)}}f(x)dx\,}$

Los coeficientes wavelet vienen dados por ${\displaystyle c_{jk}}$

${\displaystyle c_{jk}=\left[W_{\psi }f\right]\left(2^{-j},k2^{-j}\right)}$

Aquí, se llama dilatación binaria o dilatación diádica , y es la posición binaria o diádica . ${\displaystyle a=2^{-j}}$ ${\displaystyle b=k2^{-j}}$

Principio

La idea fundamental de las transformadas wavelet es que la transformación debería permitir sólo cambios en la extensión del tiempo, pero no en la forma. Esto se logra eligiendo funciones básicas adecuadas que lo permitan. ^{[ ¿ cómo? ]} Se espera que los cambios en la extensión de tiempo se ajusten a la frecuencia de análisis correspondiente de la función base. Basado en el principio de incertidumbre del procesamiento de señales,

${\displaystyle \Delta t\Delta \omega \geq {\frac {1}{2}}}$

donde representa el tiempo y la frecuencia angular ( , donde es la frecuencia ordinaria ). ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle f}$

Cuanto mayor sea la resolución requerida en el tiempo, menor debe ser la resolución en frecuencia. Cuanto mayor sea la extensión de las ventanas de análisis , mayor será el valor de ^{[¿ cómo? ]} . ${\displaystyle \Delta t}$

Cuando es grande, ${\displaystyle \Delta t}$

1. Mal momento de resolución
2. Buena resolución de frecuencia
3. Baja frecuencia, gran factor de escala.

cuando es pequeño ${\displaystyle \Delta t}$

1. Buena resolución de tiempo
2. Mala resolución de frecuencia
3. Alta frecuencia, pequeño factor de escala.

En otras palabras, la función base puede considerarse como una respuesta impulsiva de un sistema con el que se ha filtrado la función. La señal transformada proporciona información sobre el tiempo y la frecuencia. Por lo tanto, la transformada wavelet contiene información similar a la transformada de Fourier de tiempo corto , pero con propiedades especiales adicionales de las wavelets, que se muestran en la resolución en el tiempo a frecuencias de análisis más altas de la función base. A continuación se muestra la diferencia en la resolución temporal en frecuencias ascendentes para la transformada de Fourier y la transformada wavelet. Sin embargo, tenga en cuenta que la resolución de frecuencia disminuye al aumentar las frecuencias mientras que la resolución temporal aumenta. Esta consecuencia del principio de incertidumbre de Fourier no se muestra correctamente en la figura. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x(t)}$

Esto muestra que la transformación wavelet es buena en la resolución temporal de altas frecuencias, mientras que para funciones que varían lentamente, la resolución de frecuencia es notable.

Otro ejemplo: el análisis de tres señales sinusoidales superpuestas con STFT y transformación wavelet. ${\displaystyle y(t)\;=\;\sin(2\pi f_{0}t)\;+\;\sin(4\pi f_{0}t)\;+\;\sin(8\pi f_{0}t)}$

Compresión de ondas

La compresión Wavelet es una forma de compresión de datos muy adecuada para la compresión de imágenes (a veces también para la compresión de vídeo y de audio ). Las implementaciones notables son JPEG 2000 , DjVu y ECW para imágenes fijas, JPEG XS , CineForm y Dirac de la BBC . El objetivo es almacenar datos de imágenes en el menor espacio posible en un archivo . La compresión wavelet puede ser sin pérdidas o con pérdidas . ^[6]

Utilizando una transformada wavelet, los métodos de compresión wavelet son adecuados para representar transitorios , como sonidos de percusión en audio, o componentes de alta frecuencia en imágenes bidimensionales, por ejemplo, una imagen de estrellas en un cielo nocturno. Esto significa que los elementos transitorios de una señal de datos pueden representarse mediante una cantidad menor de información que si se hubiera utilizado alguna otra transformada, como la más extendida transformada discreta del coseno .

La transformada wavelet discreta se ha aplicado con éxito para la compresión de señales de electrocardiógrafo (ECG) ^[7] . En este trabajo, se utiliza la alta correlación entre los coeficientes wavelet correspondientes de las señales de ciclos cardíacos sucesivos empleando predicción lineal.

La compresión Wavelet no es efectiva para todo tipo de datos. La compresión Wavelet maneja bien las señales transitorias. Pero las señales periódicas suaves se comprimen mejor utilizando otros métodos, en particular el análisis armónico tradicional en el dominio de la frecuencia con transformadas relacionadas con Fourier . La compresión de datos que tienen características tanto transitorias como periódicas se puede realizar con técnicas híbridas que utilizan wavelets junto con el análisis armónico tradicional. Por ejemplo, el códec de audio Vorbis utiliza principalmente la transformada de coseno discreta modificada para comprimir audio (que generalmente es suave y periódico); sin embargo, permite agregar un banco de filtros wavelet híbrido para mejorar la reproducción de transitorios. ^[8]

Consulte Diario de un desarrollador de x264: Los problemas con las wavelets (2010) para analizar cuestiones prácticas de los métodos actuales que utilizan wavelets para la compresión de vídeo.

Método

Primero se aplica una transformada wavelet. Esto produce tantos coeficientes como píxeles hay en la imagen (es decir, todavía no hay compresión ya que es solo una transformación). Luego, estos coeficientes se pueden comprimir más fácilmente porque la información está estadísticamente concentrada en unos pocos coeficientes. Este principio se llama codificación de transformación . Después de eso, los coeficientes se cuantifican y los valores cuantificados se codifican por entropía y/o por longitud de ejecución .

Algunas aplicaciones 1D y 2D de compresión wavelet utilizan una técnica llamada "huellas wavelet". ^{[9] [10]}

Evaluación

Requisito para la compresión de imágenes.

Para la mayoría de las imágenes naturales, la densidad espectral de menor frecuencia es mayor. ^[11] Como resultado, la información de la señal de baja frecuencia (señal de referencia) generalmente se conserva, mientras que la información de la señal detallada se descarta. Desde la perspectiva de la compresión y reconstrucción de imágenes, una wavelet debe cumplir los siguientes criterios al realizar la compresión de imágenes:

• Pudiendo transformar la imagen más original en la señal de referencia.
• Reconstrucción de máxima fidelidad basada en la señal de referencia.
• No debería provocar artefactos en la imagen reconstruida únicamente a partir de la señal de referencia.

Requisito de variación de turno y comportamiento de timbre

El sistema de compresión de imágenes Wavelet implica filtros y diezmado, por lo que puede describirse como un sistema de variante de desplazamiento lineal. A continuación se muestra un diagrama típico de transformación wavelet:

El sistema de transformación contiene dos filtros de análisis (un filtro de paso bajo y un filtro de paso alto ), un proceso de diezmado, un proceso de interpolación y dos filtros de síntesis ( y ). El sistema de compresión y reconstrucción generalmente involucra componentes de baja frecuencia, que son los filtros de análisis para la compresión de imágenes y los filtros de síntesis para la reconstrucción. Para evaluar dicho sistema, podemos ingresar un impulso y observar su reconstrucción ; Las wavelet óptimas son aquellas que llevan una variación de desplazamiento y un lóbulo lateral mínimos a . Aunque la wavelet con una variación de desplazamiento estricta no es realista, es posible seleccionar una wavelet con una variación de desplazamiento sólo ligera. Por ejemplo, podemos comparar la variación de desplazamiento de dos filtros: ^[12] ${\displaystyle h_{0}(n)}$ ${\displaystyle h_{1}(n)}$ ${\displaystyle g_{0}(n)}$ ${\displaystyle g_{1}(n)}$ ${\displaystyle h_{0}(n)}$ ${\displaystyle g_{0}(n)}$ ${\displaystyle \delta (n-n_{i})}$ ${\displaystyle h(n-n_{i})}$ ${\displaystyle h(n-n_{i})}$

Al observar las respuestas al impulso de los dos filtros, podemos concluir que el segundo filtro es menos sensible a la ubicación de la entrada (es decir, es menos variante de desplazamiento).

Otra cuestión importante para la compresión y reconstrucción de imágenes es el comportamiento oscilatorio del sistema, que podría provocar graves artefactos no deseados en la imagen reconstruida. Para lograr esto, los filtros wavelet deben tener una relación pico-lóbulo lateral grande.

Hasta ahora hemos hablado sobre la transformación unidimensional del sistema de compresión de imágenes. Esta cuestión puede ampliarse a dos dimensiones, mientras que se propone un término más general: transformaciones multiescala desplazables. ^[13]

Derivación de la respuesta al impulso.

Como se mencionó anteriormente, la respuesta al impulso se puede utilizar para evaluar el sistema de compresión/reconstrucción de imágenes.

Para la secuencia de entrada , la señal de referencia después de un nivel de descomposición pasa por un factor de dosificación, mientras que es un filtro de paso bajo. De manera similar, la siguiente señal de referencia se obtiene diezmándola por un factor de dos. Después de L niveles de descomposición (y diezmado), la respuesta del análisis se obtiene reteniendo una de cada muestras: . ${\displaystyle x(n)=\delta (n-n_{i})}$ ${\displaystyle r_{1}(n)}$ ${\displaystyle x(n)*h_{0}(n)}$ ${\displaystyle h_{0}(n)}$ ${\displaystyle r_{2}(n)}$ ${\displaystyle r_{1}(n)*h_{0}(n)}$ ${\displaystyle 2^{L}}$ ${\displaystyle h_{A}^{(L)}(n,n_{i})=f_{h0}^{(L)}(n-n_{i}/2^{L})}$

Por otro lado, para reconstruir la señal x(n), podemos considerar una señal de referencia . Si las señales de detalle son iguales a cero para , entonces la señal de referencia en la etapa anterior ( etapa) es , que se obtiene interpolando y convolucionando con . De manera similar, el procedimiento se repite para obtener la señal de referencia en la etapa . Después de L iteraciones, se calcula la respuesta al impulso de síntesis: , que relaciona la señal de referencia y la señal reconstruida. ${\displaystyle r_{L}(n)=\delta (n-n_{j})}$ ${\displaystyle d_{i}(n)}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq L}$ ${\displaystyle L-1}$ ${\displaystyle r_{L-1}(n)=g_{0}(n-2n_{j})}$ ${\displaystyle r_{L}(n)}$ ${\displaystyle g_{0}(n)}$ ${\displaystyle r(n)}$ ${\displaystyle L-2,L-3,....,1}$ ${\displaystyle h_{s}^{(L)}(n,n_{i})=f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-n_{j})}$ ${\displaystyle r_{L}(n)}$

Para obtener el sistema general de análisis/síntesis de nivel L, las respuestas de análisis y síntesis se combinan como se muestra a continuación:

${\displaystyle h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})=\sum _{k}f_{h0}^{(L)}(k-n_{i}/2^{L})f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-k)}$.

Finalmente, la relación entre el pico y el primer lóbulo lateral y el segundo lóbulo lateral promedio de la respuesta general al impulso se pueden utilizar para evaluar el rendimiento de compresión de la imagen wavelet. ${\displaystyle h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})}$

Comparación con la transformada de Fourier y el análisis tiempo-frecuencia.

Las wavelets tienen algunos ligeros beneficios sobre las transformadas de Fourier al reducir los cálculos al examinar frecuencias específicas. Sin embargo, rara vez son más sensibles y, de hecho, la wavelet de Morlet común es matemáticamente idéntica a una transformada de Fourier de corto tiempo que utiliza una función de ventana gaussiana. ^[14] La excepción es cuando se buscan señales de forma conocida y no sinusoidal (p. ej., latidos del corazón); en ese caso, el uso de wavelets emparejados puede superar los análisis STFT/Morlet estándar. ^[15]

Otras aplicaciones prácticas

La transformada wavelet puede proporcionarnos la frecuencia de las señales y el tiempo asociado a esas frecuencias, lo que la hace muy conveniente para su aplicación en numerosos campos. Por ejemplo, el procesamiento de señales de aceleraciones para el análisis de la marcha, ^[16] para la detección de fallos, ^[17] para el diseño de marcapasos de baja potencia y también en comunicaciones inalámbricas de banda ultraancha (UWB). ^{[18] [19] [20]}

1. Discretizante del eje ${\displaystyle c-\tau }$

   Se aplicó la siguiente discretización de frecuencia y tiempo:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&=c_{0}^{n}\\\tau _{m}&=m\cdot T\cdot c_{0}^{n}\end{aligned}}}$

   Conduciendo a ondículas de la forma, la fórmula discreta para la ondícula base:

   ${\displaystyle \Psi (k,n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[{\frac {k-mc_{0}^{n}}{c_{0}^{n}}}T\right]={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]}$

   Estas ondas discretas se pueden utilizar para la transformación:

   ${\displaystyle Y_{DW}(n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \sum _{k=0}^{K-1}y(k)\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]}$

2. Implementación mediante FFT (transformada rápida de Fourier)

   Como se desprende de la representación de transformación wavelet (que se muestra a continuación)

   ${\displaystyle Y_{W}(c,\tau )={\frac {1}{\sqrt {c}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }y(t)\cdot \Psi \left({\frac {t-\tau }{c}}\right)\,dt}$

   donde es el factor de escala, representa el factor de cambio de tiempo ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \tau }$

   y como ya se mencionó en este contexto, la transformación wavelet corresponde a una convolución de una función y una función wavelet. Una convolución se puede implementar como una multiplicación en el dominio de la frecuencia. Con esto el siguiente enfoque de implementación resulta en: ${\displaystyle y(t)}$

   • Transformación de Fourier de señal con la FFT ${\displaystyle y(k)}$
   • Selección de un factor de escala discreto. ${\displaystyle c_{n}}$
   • Escalado de la función base wavelet mediante este factor y la FFT posterior de esta función ${\displaystyle c_{n}}$
   • Multiplicación con la señal transformada YFFT del primer paso
   • La transformación inversa del producto al dominio del tiempo da como resultado diferentes valores discretos de y un valor discreto de ${\displaystyle Y_{W}(c,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle c_{n}}$
   • Regrese al segundo paso, hasta que se procesen todos los valores de escala discretos. ${\displaystyle c_{n}}$
   Existen muchos tipos diferentes de transformadas wavelet para propósitos específicos. Consulte también una lista completa de transformaciones relacionadas con wavelets, pero las más comunes se enumeran a continuación: wavelet de sombrero mexicano , wavelet de Haar , wavelet de Daubechies , wavelet triangular.
3. Detección de fallos en sistemas de energía eléctrica ^[21] .
4. Estimación estadística localmente adaptativa de funciones cuya suavidad varía sustancialmente en el dominio, o más específicamente, estimación de funciones que son escasas en el dominio wavelet. ^[22]

Ondas causales del tiempo

Para procesar señales temporales en tiempo real, es esencial que los filtros wavelet no accedan a valores de señal del futuro y que se puedan obtener latencias temporales mínimas. ^{Szu et al [23]} y Lindeberg, ^[24] han desarrollado representaciones de wavelets causales en el tiempo , y este último método también implica una implementación recursiva en el tiempo eficiente en memoria.

Transformación sincronizada

La transformada sincronizada puede mejorar significativamente la resolución temporal y de frecuencia de la representación de tiempo-frecuencia obtenida utilizando la transformada wavelet convencional. ^{[25] [26]}

Ver también

• QMF binomial (también conocido como wavelet de Daubechies )
• Base biortogonal casi coiflet , que muestra que la wavelet para la compresión de imágenes también puede ser casi coiflet (casi ortogonal)
• Transformación de chirplets
• Transformada wavelet compleja
• Transformada de Q constante
• Transformada wavelet continua
• Ola de Daubechies
• Transformada wavelet discreta
• El formato DjVu utiliza el algoritmo IW44 basado en wavelets para la compresión de imágenes.
• Ondícula dual
• ECW , un formato de imagen geoespacial basado en wavelets diseñado para brindar velocidad y eficiencia de procesamiento
• Ondícula de Gabor
• onda de pelo
• JPEG 2000 , un estándar de compresión de imágenes basado en wavelets
• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• Onda de Morlet
• Análisis multiresolución
• MrSID , el formato de imagen desarrollado a partir de una investigación original sobre compresión de ondas en el Laboratorio Nacional de Los Álamos (LANL)
• transformación S
• Escalaogramas , un tipo de espectrograma generado utilizando wavelets en lugar de una transformada de Fourier de corto tiempo
• Establecer particiones en árboles jerárquicos
• Transformada de Fourier de corto tiempo
• Transformada wavelet estacionaria
• Representación tiempo-frecuencia
• Ondícula

Referencias

1. Meyer, Yves (1992), Wavelets y operadores, Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, ISBN  0-521-42000-8
2. Chui, Charles K. (1992), Introducción a las Wavelets, San Diego, CA: Academic Press, ISBN 0-12-174584-8 
3. Daubechies, Ingrid. (1992), Diez conferencias sobre Wavelets, SIAM, ISBN 978-0-89871-274-2 
4. Akansu, Ali N.; Haddad, Richard A. (1992), Descomposición de señales multiresolución: transformadas, subbandas y ondículas, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-047141-6 
5. Ghaderpour, E.; Pagiatakis, SD; Hassan, QK (2021). "Una encuesta sobre detección de cambios y análisis de series temporales con aplicaciones". Ciencias Aplicadas . 11 (13): 6141. doi : 10.3390/app11136141 . hdl : 11573/1655273 .
6. JPEG 2000 , por ejemplo, puede utilizar una wavelet de 5/3 para una transformada sin pérdidas (reversible) y una wavelet de 9/7 para una transformada con pérdidas (irreversible).
7. Ramakrishnan, AG; Saha, S. (1997). "Codificación de ECG mediante predicción lineal basada en ondas" (PDF) . Transacciones IEEE sobre ingeniería biomédica . 44 (12): 1253-1261. doi : 10.1109/10.649997. PMID  9401225. S2CID  8834327.
8. "Especificación Vorbis I". Fundación Xiph.Org . 2020-07-04. Archivado desde el original el 3 de abril de 2022 . Consultado el 10 de abril de 2022 . Vorbis I es un CODEC de transformación monolítica de adaptación directa basado en la transformada de coseno discreta modificada. El códec está estructurado para permitir la adición de un banco de filtros wavelet híbrido en Vorbis II para ofrecer una mejor respuesta transitoria y reproducción utilizando una transformación más adecuada a eventos temporales localizados.
9. N. Malmurugan, A. Shanmugam, S. Jayaraman y VV Dinesh Chander. "Un nuevo y novedoso algoritmo de compresión de imágenes que utiliza huellas Wavelet"
10. Ho Tatt Wei y Jeoti, V. "Un esquema de compresión basado en huellas wavelet para señales de ECG". Ho Tatt Wei; Jeoti, V. (2004). "Un esquema de compresión basado en huellas wavelet para señales de ECG". Conferencia IEEE Región 10 de 2004 TENCON 2004 . vol. A.p. 283. doi :10.1109/TENCON.2004.1414412. ISBN 0-7803-8560-8. S2CID  43806122.
11. J. Campo, David (1987). "Relaciones entre las estadísticas de imágenes naturales y las propiedades de respuesta de las células corticales" (PDF) . J. Optar. Soc. Soy. A . 4 (12): 2379–2394. Código bibliográfico : 1987JOSAA...4.2379F. doi :10.1364/JOSAA.4.002379. PMID  3430225.
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^[1]

enlaces externos

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• Robi Polikar (12 de enero de 2001). "El tutorial de Wavelet".
• Introducción concisa a las Wavelets de René Puschinger

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