Transformada wavelet continua

transformación integral

Transformada wavelet continua de la señal de ruptura de frecuencia. Simlet usado con 5 momentos de fuga.

En matemáticas , la transformada wavelet continua ( CWT ) es una herramienta formal (es decir, no numérica) que proporciona una representación sobrecompleta de una señal al permitir que la traducción y el parámetro de escala de las wavelets varíen continuamente.

Definición

La transformada wavelet continua de una función a una escala (a>0) y valor traslacional se expresa mediante la siguiente integral ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R^{+*}} }$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle X_{w}(a,b)={\frac {1}{|a|^{1/2}}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t){\overline {\psi }}\left({\frac {t-b}{a}}\right)\,dt}$$

donde es una función continua tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia llamada wavelet madre y la línea superior representa la operación del conjugado complejo . El objetivo principal de la wavelet madre es proporcionar una función fuente para generar las wavelets hijas, que son simplemente las versiones traducidas y escaladas de la wavelet madre. Para recuperar la señal original , se puede aprovechar la primera transformada wavelet continua inversa. ${\displaystyle \psi (t)}$ ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle x(t)=C_{\psi }^{-1}\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }X_{w}(a,b){\frac {1}{|a|^{1/2}}}{\tilde {\psi }}\left({\frac {t-b}{a}}\right)\,db\ {\frac {da}{a^{2}}}}$

${\displaystyle {\tilde {\psi }}(t)}$es la doble función de y ${\displaystyle \psi (t)}$

${\displaystyle C_{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\overline {\hat {\psi }}}(\omega ){\hat {\tilde {\psi }}}(\omega )}{|\omega |}}\,d\omega }$

es una constante admisible, donde hat significa operador de transformada de Fourier. A veces, entonces la constante admisible se convierte en ${\displaystyle {\tilde {\psi }}(t)=\psi (t)}$

${\displaystyle C_{\psi }=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\left|{\hat {\psi }}(\omega )\right|^{2}}{\left|\omega \right|}}\,d\omega }$

Tradicionalmente, esta constante se denomina constante admisible de ondas. Una wavelet cuya constante admisible satisface

${\displaystyle 0<C_{\psi }<\infty }$

se llama wavelet admisible. Para recuperar la señal original , se puede aprovechar la segunda transformada wavelet continua inversa. ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi {\overline {\hat {\psi }}}(1)}}\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a^{2}}}X_{w}(a,b)\exp \left(i{\frac {t-b}{a}}\right)\,db\ da}$

Esta transformada inversa sugiere que una wavelet debería definirse como

${\displaystyle \psi (t)=w(t)\exp(it)}$

¿ Dónde hay una ventana? Esta wavelet definida puede denominarse wavelet analizadora porque admite análisis tiempo-frecuencia. No es necesario admitir una wavelet de análisis. ${\displaystyle w(t)}$

Factor de escala

El factor de escala dilata o comprime una señal. Cuando el factor de escala es relativamente bajo, la señal se contrae más, lo que a su vez da como resultado un gráfico resultante más detallado. Sin embargo, el inconveniente es que el factor de escala baja no dura toda la duración de la señal. Por otro lado, cuando el factor de escala es alto, la señal se alarga, lo que significa que el gráfico resultante se presentará con menos detalle. Sin embargo, suele durar toda la duración de la señal. ${\displaystyle a}$

Propiedades de la transformada wavelet continua

En definición, la transformada wavelet continua es una convolución de la secuencia de datos de entrada con un conjunto de funciones generadas por la wavelet madre. La convolución se puede calcular utilizando un algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT). Normalmente, la salida es una función de valor real, excepto cuando la wavelet madre es compleja. Una wavelet madre compleja convertirá la transformada de wavelet continua en una función de valor complejo. El espectro de potencia de la transformada wavelet continua se puede representar por . ^{[1] [2]} ${\displaystyle X_{w}(a,b)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{a}}\cdot |X_{w}(a,b)|^{2}}$

Visualizando el efecto de cambiar el parámetro de una wavelet de Morlet , que interpola entre la serie temporal original y una transformada de Fourier . Aquí se analiza un tono modulado en frecuencia (más ruido); se ajusta de 1 a 200, en pasos de unidad. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 1/\sigma }$

Aplicaciones de la transformada wavelet

Una de las aplicaciones más populares de la transformada wavelet es la compresión de imágenes. La ventaja de utilizar codificación basada en wavelets en la compresión de imágenes es que proporciona mejoras significativas en la calidad de la imagen con relaciones de compresión más altas que las técnicas convencionales. Dado que la transformada wavelet tiene la capacidad de descomponer información y patrones complejos en formas elementales, se usa comúnmente en el procesamiento acústico y el reconocimiento de patrones, pero también se ha propuesto como un estimador de frecuencia instantáneo. ^[3] Además, las transformadas wavelet se pueden aplicar a las siguientes áreas de investigación científica: detección de bordes y esquinas, resolución de ecuaciones diferenciales parciales, detección de transitorios, diseño de filtros, análisis de electrocardiogramas (ECG), análisis de texturas, análisis de información empresarial y análisis de la marcha. ^[4] Las transformadas wavelet también se pueden utilizar en el análisis de datos de electroencefalografía (EEG) para identificar picos epilépticos resultantes de la epilepsia . ^[5] La transformada wavelet también se ha utilizado con éxito para la interpretación de series temporales de deslizamientos de tierra ^[6] y para calcular las periodicidades cambiantes de las epidemias. ^[7]

La Transformada Wavelet Continua (CWT) es muy eficiente para determinar la relación de amortiguación de señales oscilantes (por ejemplo, identificación de amortiguación en sistemas dinámicos). CWT también es muy resistente al ruido de la señal. ^[8]

Ver también

• Ondícula continua
• transformación S
• Análisis tiempo-frecuencia

Referencias

• ^[9]
• A. Grossmann y J. Morlet, 1984, Descomposición de funciones de Hardy en ondas cuadradas integrables de forma constante, Soc. En t. Soy. Matemáticas. (SIAM), J. Matemáticas. Análisis., 15, 723–736.
• Lintao Liu y Houtse Hsu (2012) "Inversión y normalización de la transformada tiempo-frecuencia" AMIS 6 No. 1S págs. 67S-74S.
• Stéphane Mallat , "Un recorrido por el procesamiento de señales con ondas" 2.ª edición, Academic Press, 1999, ISBN  0-12-466606-X
• Ding, Jian-Jiun (2008), Análisis de tiempo-frecuencia y transformada Wavelet, consultado el 19 de enero de 2008.
• Polikar, Robi (2001), The Wavelet Tutorial, consultado el 19 de enero de 2008.
• WaveMetrics (2004), Análisis de frecuencia de tiempo, consultado el 18 de enero de 2008.
• Valens, Clemens (2004), A Really Friendly Guide to Wavelets, consultado el 18 de septiembre de 2018]
• Transformada Wavelet Continua de Mathematica
• Lewalle, Jacques: Transformada wavelet continua ^{[ enlace muerto permanente ]} , consultado el 6 de febrero de 2010

1. Torrence, Cristóbal; Compo, Gilbert (1998). "Una guía práctica para el análisis de wavelets". Boletín de la Sociedad Meteorológica Estadounidense . 79 (1): 61–78. Código bibliográfico : 1998BAMS...79...61T. doi : 10.1175/1520-0477(1998)079<0061:APGTWA>2.0.CO;2 . S2CID  14928780.
2. Liu, Yonggang (diciembre de 2007). "Rectificación del sesgo en el espectro de potencia Wavelet". Revista de Tecnología Atmosférica y Oceánica . 24 (12): 2093–2102. Código Bib : 2007JAtOT..24.2093L. doi : 10.1175/2007JTECHO511.1 .
3. Sejdic, E.; Djurovic, I.; Stankovic, L. (agosto de 2008). "Análisis de rendimiento cuantitativo del escalograma como estimador de frecuencia instantáneo". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 56 (8): 3837–3845. Código Bib : 2008ITSP...56.3837S. doi :10.1109/TSP.2008.924856. ISSN  1053-587X. S2CID  16396084.
4. "Método novedoso para la estimación de la longitud de la zancada con acelerómetros de red de área corporal", IEEE BioWireless 2011 , págs. 79–82
5. Iranmanesh, Saam; Rodríguez-Villegas, Esther (2017). "Un chip de reducción de datos de base analógica de 950 nW para sistemas EEG portátiles en epilepsia". Revista IEEE de circuitos de estado sólido . 52 (9): 2362–2373. Código Bib : 2017IJSSC..52.2362I. doi :10.1109/JSSC.2017.2720636. hdl : 10044/1/48764 . S2CID  24852887.
6. Tomás, R.; Li, Z.; López-Sánchez, JM; Liu, P.; Singleton, A. (1 de junio de 2016). "Uso de herramientas wavelet para analizar variaciones estacionales a partir de datos de series temporales de InSAR: un estudio de caso del deslizamiento de tierra de Huangtupo" (PDF) . Derrumbes . 13 (3): 437–450. doi :10.1007/s10346-015-0589-y. hdl : 10045/62160 . ISSN  1612-510X. S2CID  129736286.
7. von Csefalvay, Chris (2023), "Dinámica temporal de las epidemias", Modelado computacional de enfermedades infecciosas , Elsevier, págs. 217-255, doi :10.1016/b978-0-32-395389-4.00016-5, ISBN 978-0-323-95389-4, recuperado el 27 de febrero de 2023
8. Slavic, J y Simonovski, I y M. Boltezar, Identificación de amortiguación mediante una transformada wavelet continua: aplicación a datos reales
9. Prasad, Akhilesh; Maan, Jeetendrasingh; Verma, Sandeep Kumar (2021). "Transformaciones wavelet asociadas con la transformada del índice Whittaker". Métodos Matemáticos en las Ciencias Aplicadas . 44 (13): 10734–10752. Código Bib : 2021MMAS...4410734P. doi :10.1002/mma.7440. ISSN  1099-1476. S2CID  235556542.

enlaces externos

• Wavelets: un microscopio matemático en YouTube