En matemáticas , una wavelet dual es el dual de una wavelet . En general, la serie wavelet generada por una función integrable al cuadrado tendrá una serie dual, en el sentido del teorema de representación de Riesz . Sin embargo, la serie dual no es en sí misma representable en general por una función integrable al cuadrado.
Definición
Dada una función integrable al cuadrado , defina la serie por
para números enteros .
Una función de este tipo se denomina función R si el espacio lineal de es denso en , y si existen constantes positivas A , B con tales que
para todas las series cuadradas sumables bi-infinitas . Aquí, denota la norma de suma cuadrada:
y denota la norma usual en :
Por el teorema de representación de Riesz , existe una base dual única tal que
donde es la delta de Kronecker y es el producto interno habitual en . De hecho, existe una representación en serie única para una función integrable al cuadrado f expresada en esta base:
Si existe una función tal que
Entonces se denomina wavelet dual o wavelet dual a ψ . En general, para alguna función R dada ψ, el dual no existirá. En el caso especial de , se dice que el wavelet es un wavelet ortogonal .
Es fácil construir un ejemplo de una función R sin dual. Sea una wavelet ortogonal. Luego definamos para algún número complejo z . Es sencillo demostrar que este ψ no tiene dual wavelet.
Véase también
Referencias
- Charles K. Chui, Introducción a Wavelets (Análisis de Wavelets y sus aplicaciones) , (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-12-174584-8