Onda de Morlet

Wavelet de ventana gaussiana

Wavelet de Morlet de valor real

Wavelet de Morlet de valor complejo

En matemáticas , la wavelet de Morlet (u wavelet de Gabor ) ^[1] es una wavelet compuesta por una exponencial compleja ( portadora ) multiplicada por una ventana gaussiana (envolvente). Esta wavelet está estrechamente relacionada con la percepción humana, tanto del oído ^[2] como de la visión. ^[3]

Historia

En 1946, el físico Dennis Gabor , aplicando ideas de la física cuántica , introdujo el uso de sinusoides de ventana gaussiana para la descomposición tiempo-frecuencia, a los que llamó átomos y que proporcionan el mejor equilibrio entre resolución espacial y frecuencial. ^[1] Estos se utilizan en la transformada de Gabor , un tipo de transformada de Fourier de corto tiempo . ^[2] En 1984, Jean Morlet presentó el trabajo de Gabor a la comunidad sismológica y, con Goupillaud y Grossmann, lo modificó para mantener la misma forma de ondícula en intervalos de octava iguales, lo que resultó en la primera formalización de la transformada de ondícula continua . ^[4]

Definición

La wavelet se define como una constante restada de una onda plana y luego localizada mediante una ventana gaussiana : ^[5] ${\displaystyle \kappa _{\sigma }}$

${\displaystyle \Psi _{\sigma }(t)=c_{\sigma }\pi ^{-{\frac {1}{4}}}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}(e^{i\sigma t}-\kappa _{\sigma })}$

donde está definido por el criterio de admisibilidad y la constante de normalización es: ${\displaystyle \kappa _{\sigma }=e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}}$ ${\displaystyle c_{\sigma }}$

${\displaystyle c_{\sigma }=\left(1+e^{-\sigma ^{2}}-2e^{-{\frac {3}{4}}\sigma ^{2}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

La transformada de Fourier de la wavelet de Morlet es:

${\displaystyle {\hat {\Psi }}_{\sigma }(\omega )=c_{\sigma }\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\left(e^{-{\frac {1}{2}}(\sigma -\omega )^{2}}-\kappa _{\sigma }e^{-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}}\right)}$

La "frecuencia central" es la posición del máximo global que, en este caso, viene dada por la solución positiva de: ${\displaystyle \omega _{\Psi }}$ ${\displaystyle {\hat {\Psi }}_{\sigma }(\omega )}$

${\displaystyle \omega _{\Psi }=\sigma {\frac {1}{1-e^{-\sigma \omega _{\Psi }}}}}$^{[ cita necesaria ]}

que se puede resolver mediante una iteración de punto fijo que comienza en (las iteraciones de punto fijo convergen a la única solución positiva para cualquier inicial ). ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \omega _{\Psi }=\sigma }$ ${\displaystyle \omega _{\Psi }>0}$

El parámetro en la wavelet de Morlet permite el intercambio entre resoluciones de tiempo y frecuencia. Convencionalmente, la restricción se utiliza para evitar problemas con la wavelet de Morlet en baja (alta resolución temporal). ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma >5}$ ${\displaystyle \sigma }$

Para señales que contienen modulaciones de amplitud y frecuencia que varían lentamente (audio, por ejemplo), no es necesario utilizar valores pequeños de . En este caso, se vuelve muy pequeño (p. ej .) y, por lo tanto, a menudo se descuida. Bajo la restricción , la frecuencia de la wavelet de Morlet se considera convencionalmente igual a . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \kappa _{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma >5\quad \Rightarrow \quad \kappa _{\sigma }<10^{-5}\,}$ ${\displaystyle \sigma >5}$ ${\displaystyle \omega _{\Psi }\simeq \sigma }$

La wavelet existe como una versión compleja o una versión puramente de valor real. Algunos distinguen entre el "Morlet real" y el "Morlet complejo". ^[6] Otros consideran que la versión compleja es la "onda de Gabor", mientras que la versión de valor real es la "onda de Morlet". ^{[7] [8]}

Usos

Uso en medicina

En imágenes de espectroscopía de resonancia magnética, el método de transformada wavelet de Morlet ofrece un puente intuitivo entre la información de frecuencia y tiempo que puede aclarar la interpretación de espectros complejos de traumatismo craneoencefálico obtenidos con la transformada de Fourier . La transformada wavelet de Morlet, sin embargo, no pretende ser un reemplazo de la transformada de Fourier, sino más bien un complemento que permite el acceso cualitativo a los cambios relacionados con el tiempo y aprovecha las múltiples dimensiones disponibles en un análisis de decaimiento por inducción libre . ^[9]

La aplicación del análisis de ondas de Morlet también se utiliza para discriminar el comportamiento anormal de los latidos del corazón en el electrocardiograma (ECG). Dado que la variación del latido cardíaco anormal es una señal no estacionaria, esta señal es adecuada para el análisis basado en ondas.

Uso en música

La transformada wavelet de Morlet se utiliza en la estimación del tono y puede producir resultados más precisos que las técnicas de transformada de Fourier. ^[10] La transformada wavelet de Morlet es capaz de capturar ráfagas cortas de notas musicales repetidas y alternas con un tiempo de inicio y finalización claro para cada nota. ^{[ cita necesaria ]}

Se propuso una wavelet morlet modificada para extraer melodía de la música polifónica. ^[11] Esta metodología está diseñada para la detección de frecuencia cerrada. La transformada wavelet de Morlet es capaz de capturar notas musicales y la relación de escala y frecuencia se representa de la siguiente manera:

${\displaystyle f_{a}={f_{c} \over a\times T}}$

donde es la pseudofrecuencia a escala , es la frecuencia central y es el tiempo de muestreo. ${\displaystyle f_{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle T}$

La wavelet de Morlet se modifica como se describe como:

${\displaystyle \Psi (t)=e^{-|{t \over k}|}cos(2\pi t)}$

y su transformada de Fourier:

${\displaystyle F[\Psi (t)]={1 \over {4\pi ^{2}f^{2}+1}}[\delta (f-2\pi )+\delta (f+2\pi )]}$

Solicitud

• Las señales con frecuencias que varían en el tiempo son una característica común en fallas de maquinaria rotativa, lo que hace que la ondícula de Morlet sea un enfoque adecuado para realizar el análisis. Al adaptar la wavelet de Morlet, el sistema puede mejorar su capacidad para capturar variaciones sutiles y anomalías en las señales de la maquinaria que pueden indicar fallas. La adaptabilidad de la wavelet de Morlet proporciona un método robusto de preprocesamiento de las señales de entrada, asegurando así que el sistema pueda manejar eficazmente las diferentes frecuencias asociadas con diferentes condiciones de falla. ^[12]
• Al tratar la onda de Morlet como una red neuronal, los investigadores pretenden mejorar la sensibilidad y precisión de las medidas de prevención del VIH. La red neuronal, basada en la ondícula de Morlet, está diseñada para reconocer patrones intrincados que indican riesgos o vulnerabilidades potenciales del VIH. La adaptabilidad de la red neuronal basada en ondas de Morlet y su integración con las estrategias existentes marcan un importante paso adelante en los esfuerzos en curso para combatir la epidemia del VIH. ^[13]
• La wavelet de Morlet, conocida por su versatilidad en el análisis de señales y su adaptabilidad a sistemas no lineales, sirve como un componente clave en el sistema corneal asociado con la cirugía ocular. Los métodos numéricos tradicionales pueden tener dificultades para captar las complejidades de dichos sistemas, lo que hace necesarios enfoques innovadores. La red neuronal artificial Wavelet de Morlet surge como una herramienta prometedora debido a su capacidad para manejar eficazmente las no linealidades y proporcionar soluciones numéricas precisas. ^[14]
• Los investigadores aprovechan la transformada wavelet de Morlet para extraer características significativas de las señales de los sistemas de posicionamiento de banda ultraancha (UWB), reconociendo su eficacia para preservar las características temporales y espectrales. Este paso transformador en el preprocesamiento sienta las bases para una clasificación sólida de línea de visión (LOS)/sin línea de visión (NLOS). La wavelet de Morlet tiene superioridad sobre los métodos convencionales en la captura de características complejas de señales, lo que contribuye significativamente al éxito general del sistema de identificación LOS/NLOS. ^[15]
• Al combinar el filtrado de ondas de Morlet con el análisis de fase, es capaz de mejorar la relación señal-ruido y, posteriormente, reducir el límite de detección (LOD) de los biosensores ópticos de película delgada. El proceso de filtrado de ondas de Morlet implica transformar la señal de salida del sensor al dominio de la frecuencia. Al convolucionar la señal con la wavelet de Morlet, que es una onda sinusoidal compleja con una envolvente gaussiana, la técnica permite extraer componentes de frecuencia relevantes de la señal. Este proceso es particularmente ventajoso para analizar señales con características no estacionarias y que varían en el tiempo, lo que lo hace muy adecuado para aplicaciones de biodetección donde las concentraciones del analito objetivo pueden variar con el tiempo. ^[dieciséis]

Ver también

• Transformada de Q constante
• Ondícula de Gabor

Referencias

1. Un boceto primario de Gabor en tiempo real para la atención visual "El núcleo de Gabor satisface la condición de admisibilidad de las wavelets, por lo que es adecuado para el análisis de múltiples resoluciones. Además de un factor de escala, también se lo conoce como Morlet Wavelet".
2. Mallat, Stéphane (18 de septiembre de 2009). "Diccionarios de tiempo-frecuencia". Un recorrido por Wavelet sobre el procesamiento de señales, de forma dispersa.
3. JG Daugman . Relación de incertidumbre para la resolución en el espacio, frecuencia espacial y orientación optimizada por filtros corticales visuales bidimensionales. Revista de la Sociedad Óptica de América A , 2(7):1160–1169, julio de 1985.
4. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 9 de junio de 2013 . Consultado el 12 de mayo de 2012 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
5. John Ashmead (2012). "Ondas de Morlet en mecánica cuántica". Cuantos . 1 (1): 58–70. arXiv : 1001.0250 . doi : 10.12743/quanta.v1i1.5. S2CID  73526961.
6. "Familias Matlab Wavelet". Archivado desde el original el 10 de agosto de 2019.
7. Documentación de Mathematica: GaborWavelet
8. Documentación de Mathematica: MorletWavelet
9. http://cds.ismrm.org/ismrm-2001/PDF3/0822.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
10. Kumar, Neeraj; Kumar, Raubin (29 de enero de 2020). "Estimación de tonos múltiples basada en transformadas Wavelet en música polifónica". Heliyón . 6 (1): e03243. Código bibliográfico : 2020Heliy...603243K. doi : 10.1016/j.heliyon.2020.e03243 . ISSN  2405-8440. PMC 7000807 . PMID  32042974. 
11. Kumar, Neeraj; Kumar, Raubin; Murmu, Govind; Sethy, Prabira Kumar (1 de febrero de 2021). "Extracción de melodía de música polifónica mediante wavelet morlet modificada". Microprocesadores y Microsistemas . 80 : 103612. doi : 10.1016/j.micpro.2020.103612. ISSN  0141-9331.
12. Shao, Haidong; Xia, Min; Wan, Jiafu; Clarence, W. de Silva (febrero de 2022). "Codificador automático apilado modificado que utiliza Wavelet Morlet adaptativo para el diagnóstico inteligente de fallas de maquinaria giratoria". Transacciones IEEE/ASME sobre mecatrónica . 27 : 24–33. doi :10.1109/TMECH.2021.3058061.
13. Zulqurnain, Sabir; Mahoma, Umar; Mahoma, Asif Zahoor Raja; Haci, Mehmet Baskonus; Gao, Wei (2022). "Diseño de Wavelet de Morlet como red neuronal para una categoría de prevención novedosa en el sistema del VIH". Revista Internacional de Biomatemáticas . 15 (4). doi :10.1142/S1793524522500127.
14. Wang, BO; JF Gómez-Aguilar; Zulqurnain Sabir; Muhammad Asif Zahoor Raja; Wei-Feng Xia; HADI Jahanshahi; Madini O. Alassafi; Fawaz E. Alsaadi (2022). "Computación numérica para resolver el sistema corneal no lineal de cirugía ocular utilizando la capacidad de las redes neuronales artificiales wavelet de Morlet". Fractales . 30 (5): 2240147–2240353. Código Bib : 2022Fract..3040147W. doi : 10.1142/S0218348X22401478 .
15. Z. Cui; Y. Gao; J. Hu; S. Tian; J. Cheng (marzo de 2021). "Identificación LOS/NLOS para posicionamiento UWB en interiores basado en transformada Wavelet de Morlet y redes neuronales convolucionales". Cartas de comunicaciones del IEEE . 25 (3): 879–882. doi :10.1109/LCOMM.2020.3039251.
16. Simón J. Ward; Rabeb Layouni; Sofía Arshavsky-Graham; Ester Segal; Sharon M. Weiss (2021). "Filtrado Morlet Wavelet y análisis de fase para reducir el límite de detección de biosensores ópticos de película delgada". Sensores ACS . 6 (8): 2967–2978. doi :10.1021/acssensors.1c00787. PMC 8403169 . PMID  34387077. 

• P. Goupillaud, A. Grossman y J. Morlet. Ciclo-octava y transformaciones relacionadas en el análisis de señales sísmicas . Geoexploración, 23:85-102, 1984
• N. Delprat, B. Escudié, P. Guillemain, R. Kronland-Martinet, P. Tchamitchian y B. Torrésani. Análisis de ondas asintóticas y de Gabor: extracción de frecuencias instantáneas. Traducción IEEE. inf. Th., 38:644-664, 1992