Teorema de convolución

Teorema en matemáticas

En matemáticas , el teorema de convolución establece que, en condiciones adecuadas, la transformada de Fourier de una convolución de dos funciones (o señales ) es el producto puntual de sus transformadas de Fourier. De manera más general, la convolución en un dominio (por ejemplo, el dominio del tiempo ) es igual a la multiplicación puntual en el otro dominio (por ejemplo, el dominio de la frecuencia ). Otras versiones del teorema de convolución son aplicables a varias transformadas relacionadas con Fourier .

Funciones de una variable continua

Considere dos funciones y con transformadas de Fourier y : ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle v(x)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }v(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \end{aligned}}}$

donde denota el operador de transformada de Fourier . La transformada se puede normalizar de otras maneras, en cuyo caso aparecerán factores de escala constantes (normalmente o ) en el teorema de convolución siguiente. La convolución de y está definida por: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle r(x)=\{u*v\}(x)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }u(x-\tau )v(\tau )\,d\tau .}$

En este contexto, el asterisco indica convolución, en lugar de multiplicación estándar. En su lugar, a veces se utiliza el símbolo del producto tensorial . ${\displaystyle \otimes }$

El teorema de convolución establece que : ^{[1] [2] : eq.8}

La aplicación de la transformada inversa de Fourier produce el corolario : ^{[2] : ecuaciones 7, 10} ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1},}$

Teorema de convolución

El teorema también se aplica generalmente a funciones multidimensionales.

Este teorema también es válido para la transformada de Laplace , la transformada de Laplace bilateral y, cuando se modifica adecuadamente, para la transformada de Mellin y la transformada de Hartley (ver teorema de inversión de Mellin ). Puede extenderse a la transformada de Fourier del análisis armónico abstracto definido sobre grupos abelianos localmente compactos .

Convolución periódica (coeficientes de la serie de Fourier)

Considere funciones periódicas   y   que pueden expresarse como sumatorias periódicas : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle u_{_{P}}}$ ${\displaystyle v_{_{P}},}$

${\displaystyle u_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u(x-mP)}$   y   ${\displaystyle v_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v(x-mP).}$

En la práctica, la porción distinta de cero de los componentes y a menudo están limitadas a la duración , pero nada en el teorema requiere eso. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle P,}$

Los coeficientes de la serie de Fourier son:

${\displaystyle {\begin{aligned}U[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}u_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\\V[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{v_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

donde denota la integral de serie de Fourier . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• El producto puntual: también es periódico, y sus coeficientes de la serie de Fourier están dados por la convolución discreta de las secuencias y : ${\displaystyle u_{_{P}}(x)\cdot v_{_{P}}(x)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\cdot v_{_{P}}\}[k]=\{U*V\}[k].}$

• La convolución:

${\displaystyle {\begin{aligned}\{u_{_{P}}*v\}(x)\ &\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\ d\tau \\&\equiv \int _{P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v_{_{P}}(\tau )\ d\tau ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\end{aligned}}}$

También es periódica y se denomina convolución periódica . ${\displaystyle P}$

El teorema de convolución correspondiente es:

Funciones de una variable discreta (secuencias)

Mediante una derivación similar a la ecuación 1, existe un teorema análogo para secuencias, como muestras de dos funciones continuas, donde ahora denota el operador de transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT). Considere dos secuencias y con transformaciones y : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle u[n]}$ ${\displaystyle v[n]}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }u[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} ,\\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} .\end{aligned}}}$

La § Convolución discreta de y está definida por : ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle r[n]\triangleq (u*v)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[m]\cdot v[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-m]\cdot v[m].}$

El teorema de convolución para secuencias discretas es : ^{[3] [4] : p.60 (2.169)}

convolución periódica

${\displaystyle U(f)}$y como se definió anteriormente, son periódicos, con un período de 1. Considere secuencias periódicas y : ${\displaystyle V(f),}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle u_{_{N}}}$ ${\displaystyle v_{_{N}}}$

${\displaystyle u_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-mN]}$   y   ${\displaystyle v_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .}$

Estas funciones ocurren como resultado del muestreo y a intervalos de y realizando una transformada de Fourier discreta inversa (DFT) en muestras (consulte § Muestreo de DTFT ). La convolución discreta : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 1/N}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u_{_{N}}[m]\cdot v[n-m]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot v_{_{N}}[n-m]}$

También es periódica y se denomina convolución periódica . Redefiniendo el operador como DFT de longitud, el teorema correspondiente es: ^{[5] [4] : p. 548} ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle N}$

Y por lo tanto :

En las condiciones adecuadas, es posible que esta secuencia de longitud contenga un segmento de una convolución sin distorsión. Pero cuando la porción distinta de cero de la secuencia o es igual o más larga, es inevitable alguna distorsión. Tal es el caso cuando la secuencia se obtiene muestreando directamente la DTFT de la respuesta al impulso de la transformada discreta de Hilbert infinitamente larga . ^[A] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle u*v}$ ${\displaystyle u(n)}$ ${\displaystyle v(n)}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle V(k/N)}$

Para secuencias cuya duración distinta de cero es menor o igual a una simplificación final es: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle N,}$

convolución circular

Esta forma se utiliza a menudo para implementar eficientemente la convolución numérica por computadora . (ver § Algoritmos de convolución rápida y § Ejemplo )

Como recíproco parcial, se ha demostrado ^[6] que cualquier transformación lineal que convierta la convolución en un producto puntual es la DFT (hasta una permutación de coeficientes).

Teorema de convolución para la transformada inversa de Fourier

También existe un teorema de convolución para la transformada de Fourier inversa:

Aquí, " " representa el producto de Hadamard y " " representa una convolución entre las dos matrices. ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle *}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{u\cdot v\}={\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\end{aligned}}}$

de modo que

${\displaystyle {\begin{aligned}&u*v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\right\}\\&u\cdot v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\right\}\end{aligned}}}$

Teorema de convolución para distribuciones templadas.

El teorema de convolución se extiende a las distribuciones templadas . Aquí hay una distribución moderada arbitraria: ${\displaystyle v}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{\alpha \cdot v\}={\mathcal {F}}\{\alpha \}*{\mathcal {F}}\{v\}.\end{aligned}}}$

Pero debe estar "disminuyendo rápidamente" hacia y para garantizar la existencia tanto del producto de convolución como de multiplicación. De manera equivalente, si es una función ordinaria suave de "crecimiento lento", garantiza la existencia tanto del producto de multiplicación como de convolución. ^{[7] [8] [9]} ${\displaystyle u=F\{\alpha \}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \alpha =F^{-1}\{u\}}$

In particular, every compactly supported tempered distribution, such as the Dirac delta, is "rapidly decreasing". Equivalently, bandlimited functions, such as the function that is constantly ${\displaystyle 1}$ are smooth "slowly growing" ordinary functions. If, for example, ${\displaystyle v\equiv \operatorname {\text{Ш}} }$ is the Dirac comb both equations yield the Poisson summation formula and if, furthermore, ${\displaystyle u\equiv \delta }$ is the Dirac delta then ${\displaystyle \alpha \equiv 1}$ is constantly one and these equations yield the Dirac comb identity.

See also

• Moment-generating function of a random variable

Notes

1. An example is the MATLAB function, hilbert(u,N).

References

1. McGillem, Clare D.; Cooper, George R. (1984). Continuous and Discrete Signal and System Analysis (2 ed.). Holt, Rinehart and Winston. p. 118 (3–102). ISBN 0-03-061703-0.
2. Weisstein, Eric W. "Convolution Theorem". From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Retrieved 8 February 2021.
3. Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996), Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (3 ed.), New Jersey: Prentice-Hall International, p. 297, Bibcode:1996dspp.book.....P, ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ
4. Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. (1999). Discrete-time signal processing (2nd ed.). Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2.
5. Rabiner, Lawrence R.; Gold, Bernard (1975). Theory and application of digital signal processing. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. p. 59 (2.163). ISBN 978-0139141010.
6. Amiot, Emmanuel (2016). Music through Fourier Space. Computational Music Science. Zürich: Springer. p. 8. doi:10.1007/978-3-319-45581-5. ISBN 978-3-319-45581-5. S2CID 6224021.
7. Horváth, John (1966). Topological Vector Spaces and Distributions. Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company.
8. Barros-Neto, José (1973). An Introduction to the Theory of Distributions. New York, NY: Dekker.
9. Petersen, Bent E. (1983). Introduction to the Fourier Transform and Pseudo-Differential Operators. Boston, MA: Pitman Publishing.

Further reading

• Katznelson, Yitzhak (1976), An introduction to Harmonic Analysis, Dover, ISBN 0-486-63331-4
• Li, Bing; Babu, G. Jogesh (2019), "Teorema de convolución y eficiencia asintótica", Un curso de posgrado sobre inferencia estadística , Nueva York: Springer, págs. 295–327, ISBN 978-1-4939-9759-6
• Crutchfield, Steve (9 de octubre de 2010), "The Joy of Convolution", Universidad Johns Hopkins , consultado el 19 de noviembre de 2010

Recursos adicionales

Para obtener una representación visual del uso del teorema de convolución en el procesamiento de señales , consulte:

• Simulación asistida por Java de la Universidad Johns Hopkins : http://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html