Integral de Lebesgue

Método de integración

La integral de una función positiva se puede interpretar como el área bajo una curva.

En matemáticas , la integral de una función no negativa de una sola variable puede considerarse, en el caso más simple, como el área entre la gráfica de esa función y el eje X. La integral de Lebesgue , llamada así en honor al matemático francés Henri Lebesgue , es una forma de hacer riguroso este concepto y extenderlo a funciones más generales.

La integral de Lebesgue es más general que la integral de Riemann , a la que reemplazó en gran medida en el análisis matemático desde la primera mitad del siglo XX. Puede dar cabida a funciones con discontinuidades que surgen en muchas aplicaciones que son patológicas desde la perspectiva de la integral de Riemann. La integral de Lebesgue también tiene, en general, mejores propiedades analíticas. Por ejemplo, en condiciones suaves, es posible intercambiar límites e integración de Lebesgue, mientras que las condiciones para hacer esto con una integral de Riemann son comparativamente barrocas. Además, la integral de Lebesgue se puede generalizar de forma sencilla a espacios más generales, espacios de medida , como los que surgen en la teoría de la probabilidad .

El término integración de Lebesgue puede significar tanto la teoría general de integración de una función con respecto a una medida general , tal como la introdujo Lebesgue, como el caso específico de integración de una función definida en un subdominio de la línea real con respecto a la medida de Lebesgue .

Introducción

La integral de una función real positiva f entre los límites a y b puede interpretarse como el área bajo la gráfica de f , entre a y b . Esta noción de área se ajusta a algunas funciones, principalmente funciones continuas por partes , incluidas las funciones elementales , por ejemplo los polinomios . Sin embargo, las gráficas de otras funciones, por ejemplo la función de Dirichlet , no se ajustan bien a la noción de área. Gráficas como la de esta última plantean la pregunta: ¿para qué clase de funciones tiene sentido el "área bajo la curva"? La respuesta a esta pregunta tiene una gran importancia teórica.

Como parte de un movimiento general hacia el rigor en las matemáticas en el siglo XIX, los matemáticos intentaron sentar unas bases sólidas para el cálculo integral. La integral de Riemann —propuesta por Bernhard Riemann (1826-1866)— es un intento ampliamente exitoso de proporcionar esa base. La definición de Riemann comienza con la construcción de una secuencia de áreas fácilmente calculables que convergen a la integral de una función dada. Esta definición es exitosa en el sentido de que da la respuesta esperada para muchos problemas ya resueltos y da resultados útiles para muchos otros problemas.

Sin embargo, la integración de Riemann no interactúa bien con la toma de límites de secuencias de funciones, lo que hace que dichos procesos de limitación sean difíciles de analizar. Esto es importante, por ejemplo, en el estudio de las series de Fourier , las transformadas de Fourier y otros temas. La integral de Lebesgue describe mejor cómo y cuándo es posible tomar límites bajo el signo integral (a través del teorema de convergencia monótona y el teorema de convergencia dominada ).

Mientras que la integral de Riemann considera que el área bajo una curva está formada por rectángulos verticales, la definición de Lebesgue considera losas horizontales que no son necesariamente solo rectángulos, y por lo tanto es más flexible. Por esta razón, la definición de Lebesgue permite calcular integrales para una clase más amplia de funciones. Por ejemplo, la función de Dirichlet, que es 1 cuando su argumento es racional y 0 en caso contrario, tiene una integral de Lebesgue, pero no tiene una integral de Riemann. Además, la integral de Lebesgue de esta función es cero, lo que concuerda con la intuición de que al elegir un número real de manera uniforme al azar del intervalo unitario, la probabilidad de elegir un número racional debería ser cero.

Lebesgue resumió su enfoque de la integración en una carta a Paul Montel :

Tengo que pagar una cierta cantidad de dinero que he acumulado en mi bolsillo. Saco los billetes y monedas de mi bolsillo y se los doy al acreedor en el orden en que los encuentro hasta que alcanzo la suma total. Esta es la integral de Riemann. Pero puedo proceder de otra manera. Después de haber sacado todo el dinero de mi bolsillo, ordeno los billetes y monedas según valores idénticos y luego pago los varios montones uno tras otro al acreedor. Esta es mi integral.

—  Fuente : (Siegmund-Schultze 2008)

La idea es que uno debería poder reorganizar libremente los valores de una función, mientras se preserva el valor de la integral. Este proceso de reorganización puede convertir una función muy patológica en una que sea "buena" desde el punto de vista de la integración, y así permitir que tales funciones patológicas sean integradas.

Interpretación intuitiva

Se muestra una función medible junto con el conjunto { x  : f ( x ) > t } (en el eje x ). La integral de Lebesgue se obtiene cortando a lo largo del eje y , utilizando la medida de Lebesgue unidimensional para medir el "ancho" de las porciones.

Folland (1999) resume la diferencia entre los enfoques de Riemann y Lebesgue de esta manera: "para calcular la integral de Riemann de f , se divide el dominio [ a , b ] en subintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue, "uno está en efecto particionado el rango de f ."

Para la integral de Riemann, el dominio se divide en intervalos y se construyen barras que coincidan con la altura del gráfico. Las áreas de estas barras se suman y esto aproxima la integral, en efecto, sumando áreas de la forma f ( x ) dx donde f ( x ) es la altura de un rectángulo y dx es su ancho.

Para la integral de Lebesgue, el rango se divide en intervalos, y por lo tanto la región bajo el gráfico se divide en "losas" horizontales (que pueden no ser conjuntos conexos). El área de una pequeña "losa" horizontal bajo el gráfico de f , de altura dy , es igual a la medida del ancho de la losa por dy : La integral de Lebesgue puede entonces definirse sumando las áreas de estas losas horizontales. Desde esta perspectiva, una diferencia clave con la integral de Riemann es que las "losas" ya no son rectangulares (productos cartesianos de dos intervalos), sino que son productos cartesianos de un conjunto medible con un intervalo. $${\displaystyle \mu \left(\{x\mid f(x)>y\}\right)\,dy.}$$

Funciones simples

Integración de Riemann (arriba) vs. Lebesgue (abajo) de datos suavizados de casos diarios de COVID-19 de Serbia (verano-otoño de 2021).

Una forma equivalente de introducir la integral de Lebesgue es utilizar las llamadas funciones simples, que generalizan las funciones escalonadas de la integración de Riemann. Consideremos, por ejemplo, la determinación del recuento acumulado de casos de COVID-19 a partir de un gráfico de casos suavizados cada día (derecha).

El enfoque de Riemann-Darboux

Divida el dominio (período de tiempo) en intervalos (ocho, en el ejemplo de la derecha) y construya barras con alturas que coincidan con el gráfico. El recuento acumulado se obtiene sumando, sobre todas las barras, el producto del ancho del intervalo (tiempo en días) y la altura de la barra (casos por día).

El enfoque de Lebesgue

Elija un número finito de valores objetivo (ocho, en el ejemplo) en el rango de la función. Al construir barras con alturas iguales a estos valores, pero por debajo de la función, implican una partición del dominio en el mismo número de subconjuntos (los subconjuntos, indicados por color en el ejemplo, no necesitan estar conectados). Esta es una "función simple", como se describe a continuación. El recuento acumulado se obtiene sumando, sobre todos los subconjuntos del dominio, el producto de la medida en ese subconjunto (tiempo total en días) y la altura de la barra (casos por día).

Relación entre los puntos de vista

Se puede pensar en la integral de Lebesgue en términos de losas o funciones simples . Intuitivamente, el área bajo una función simple se puede dividir en losas en función de la colección (finita) de valores en el rango de una función simple (un intervalo real). Por el contrario, la colección (finita) de losas en el subgrafo de la función se puede reorganizar después de una repartición finita para que sea el subgrafo de una función simple.

El punto de vista de las losas facilita la definición de la integral de Lebesgue, en términos de cálculo básico. Supongamos que es una función (medible según Lebesgue), que toma valores no negativos (posiblemente incluyendo ). Defina la función de distribución de como el "ancho de una losa", es decir, Entonces es monótona, decreciente y no negativa, y por lo tanto tiene una integral de Riemann (impropia) sobre . La integral de Lebesgue puede entonces definirse por donde la integral de la derecha es una integral de Riemann impropia ordinaria, de una función no negativa (interpretada apropiadamente como si estuviera en un entorno de 0). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle F(y)=\mu \{x|f(x)>y\}.}$$ ${\displaystyle F(y)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ $${\displaystyle \int f\,d\mu =\int _{0}^{\infty }F(y)\,dy}$$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle F(y)=+\infty }$

Sin embargo, la mayoría de los libros de texto enfatizan el punto de vista de las funciones simples , porque entonces es más sencillo demostrar los teoremas básicos sobre la integral de Lebesgue.

Teoría de la medida

La teoría de la medida se creó inicialmente para proporcionar una abstracción útil de la noción de longitud de los subconjuntos de la línea real y, de manera más general, del área y el volumen de los subconjuntos de los espacios euclidianos. En particular, proporcionó una respuesta sistemática a la pregunta de qué subconjuntos de R tienen una longitud. Como demostraron desarrollos posteriores de la teoría de conjuntos (véase conjunto no medible ), en realidad es imposible asignar una longitud a todos los subconjuntos de R de una manera que preserve algunas propiedades naturales de aditividad e invariancia de la traducción. Esto sugiere que la selección de una clase adecuada de subconjuntos mensurables es un prerrequisito esencial.

La integral de Riemann utiliza la noción de longitud de forma explícita. De hecho, el elemento de cálculo de la integral de Riemann es el rectángulo [ a , b ] × [ c , d ] , cuya área se calcula como ( b − a )( d − c ) . La cantidad b − a es la longitud de la base del rectángulo y d − c es la altura del rectángulo. Riemann sólo podía utilizar rectángulos planos para aproximar el área bajo la curva, porque no existía una teoría adecuada para medir conjuntos más generales.

En el desarrollo de la teoría en la mayoría de los libros de texto modernos (después de 1950), el enfoque de la medida y la integración es axiomático . Esto significa que una medida es cualquier función μ definida en una cierta clase X de subconjuntos de un conjunto E , que satisface una cierta lista de propiedades. Se puede demostrar que estas propiedades se cumplen en muchos casos diferentes.

Funciones mensurables

Comenzamos con un espacio de medida ( E , X , μ ) donde E es un conjunto , X es una σ-álgebra de subconjuntos de E y μ es una medida (no negativa ) en E definida en los conjuntos de X.

Por ejemplo, E puede ser el espacio n euclidiano R ⁿ o algún subconjunto medible de Lebesgue de él, X es la σ-álgebra de todos los subconjuntos mesurables de Lebesgue de E , y μ es la medida de Lebesgue. En la teoría matemática de la probabilidad, limitamos nuestro estudio a una medida  de probabilidad μ , que satisface μ ( E ) = 1 .

La teoría de Lebesgue define integrales para una clase de funciones llamadas funciones medibles . Una función de valor real f en E es medible si la preimagen de cada intervalo de la forma ( t , ∞) está en X :

$${\displaystyle \{x\,\mid \,f(x)>t\}\in X\quad \forall t\in \mathbb {R} .}$$

Podemos demostrar que esto es equivalente a exigir que la preimagen de cualquier subconjunto de Borel de R esté en X. El conjunto de funciones mensurables está cerrado bajo operaciones algebraicas, pero lo que es más importante, está cerrado bajo varios tipos de límites secuenciales puntuales :

$${\displaystyle \sup _{k\in \mathbb {N} }f_{k},\quad \liminf _{k\in \mathbb {N} }f_{k},\quad \limsup _{k\in \mathbb {N} }f_{k}}$$

son medibles si la secuencia original ( f _k ) , donde k ∈ N , consiste en funciones medibles.

Existen varios enfoques para definir una integral para funciones reales mensurables f definidas en E , y se utilizan varias notaciones para denotar dicha integral.

$${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f(x)\,d\mu (x)=\int _{E}f(x)\,\mu (dx).}$$

Siguiendo la identificación en la teoría de distribución de medidas con distribuciones de orden 0 , o con medidas de Radon , también se puede utilizar una notación de par dual y escribir la integral con respecto a μ en la forma

$${\displaystyle \langle \mu ,f\rangle .}$$

Definición

La teoría de la integral de Lebesgue requiere una teoría de conjuntos medibles y de medidas sobre estos conjuntos, así como una teoría de funciones medibles e integrales sobre estas funciones.

A través de funciones simples

Aproximación de una función mediante una función simple.

Un enfoque para construir la integral de Lebesgue es hacer uso de las llamadas funciones simples : combinaciones lineales reales y finitas de funciones indicadoras . Las funciones simples que se encuentran directamente debajo de una función dada f se pueden construir dividiendo el rango de f en un número finito de capas. La intersección del gráfico de f con una capa identifica un conjunto de intervalos en el dominio de f , que, tomados en conjunto, se define como la preimagen del límite inferior de esa capa, bajo la función simple. De esta manera, la partición del rango de f implica una partición de su dominio. La integral de una función simple se encuentra sumando, sobre estos subconjuntos (no necesariamente conectados) del dominio, el producto de la medida del subconjunto y su imagen bajo la función simple (el límite inferior de la capa correspondiente); intuitivamente, este producto es la suma de las áreas de todas las barras de la misma altura. La integral de una función general medible no negativa se define entonces como un supremo apropiado de aproximaciones por funciones simples, y la integral de una función medible (no necesariamente positiva) es la diferencia de dos integrales de funciones mesurables no negativas. ^[1]

Funciones del indicador

Para asignar un valor a la integral de la función indicadora 1 _S de un conjunto medible S consistente con la medida dada μ , la única opción razonable es establecer:

$${\displaystyle \int 1_{S}\,d\mu =\mu (S).}$$

Tenga en cuenta que el resultado puede ser igual a +∞ , a menos que μ sea una medida finita .

Funciones simples

Una combinación lineal finita de funciones indicadoras

$${\displaystyle \sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}}$$

donde los coeficientes a _k son números reales y S _k son conjuntos medibles disjuntos, se denomina función simple medible . Extendemos la integral por linealidad a funciones simples medibles no negativas . Cuando los coeficientes a _k son positivos, establecemos

$${\displaystyle \int \left(\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}\right)\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\int 1_{S_{k}}\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k})}$$

si esta suma es finita o +∞. Una función simple se puede escribir de diferentes maneras como una combinación lineal de funciones indicadoras, pero la integral será la misma por la aditividad de las medidas.

Es necesario tener cierto cuidado al definir la integral de una función simple de valor real , para evitar la expresión indefinida ∞ − ∞ : se supone que la representación

$${\displaystyle f=\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}}$$

es tal que μ( S _k ) < ∞ siempre que a _k ≠ 0 . Entonces la fórmula anterior para la integral de f tiene sentido, y el resultado no depende de la representación particular de f que satisfaga los supuestos. ^[2]

Si B es un subconjunto medible de E y s es una función simple medible, se define

$${\displaystyle \int _{B}s\,\mathrm {d} \mu =\int 1_{B}\,s\,\mathrm {d} \mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k}\cap B).}$$

Funciones no negativas

Sea f una función medible no negativa en E , a la que le permitimos alcanzar el valor +∞ , en otras palabras, f toma valores no negativos en la recta numérica real extendida . Definimos

$${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\sup \left\{\,\int _{E}s\,d\mu :0\leq s\leq f,\ s\ {\text{simple}}\,\right\}.}$$

Necesitamos demostrar que esta integral coincide con la anterior, definida sobre el conjunto de funciones simples, cuando E es un segmento [ a , b ] . También está la cuestión de si esto corresponde de alguna manera a una noción de integración de Riemann. Es posible demostrar que la respuesta a ambas preguntas es sí.

Hemos definido la integral de f para cualquier función real medible extendida no negativa en E. Para algunas funciones, esta integral es infinita. ${\textstyle \int _{E}f\,d\mu }$

A menudo resulta útil disponer de una secuencia particular de funciones simples que se aproximen bien a la integral de Lebesgue (de forma análoga a una suma de Riemann). Para una función medible no negativa f , sea la función simple cuyo valor es siempre que , para k un entero no negativo menor que, digamos, . Entonces se puede demostrar directamente que y que el límite del lado derecho existe como un número real extendido. Esto establece un puente entre el enfoque de la integral de Lebesgue utilizando funciones simples y la motivación para la integral de Lebesgue utilizando una partición del rango. ${\textstyle s_{n}(x)}$ ${\textstyle k/2^{n}}$ ${\textstyle k/2^{n}\leq f(x)<(k+1)/2^{n}}$ ${\textstyle 4^{n}}$ $${\displaystyle \int f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int s_{n}\,d\mu }$$

Funciones con signo

Para manejar funciones con signo, necesitamos algunas definiciones más. Si f es una función medible del conjunto E en números reales (incluido ±∞ ), entonces podemos escribir $${\displaystyle f=f^{+}-f^{-},}$$

dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}(x)&={\begin{cases}f(x){\hphantom {-}}&{\text{if }}f(x)>0,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}\\f^{-}(x)&={\begin{cases}-f(x)&{\text{if }}f(x)<0,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

^{Tenga en cuenta} que tanto f ⁺ como f− son funciones medibles no negativas. Tenga en cuenta también que

$${\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}.}$$

Decimos que la integral de Lebesgue de la función medible f existe , o está definida si al menos uno de y es finito: ${\textstyle \int f^{+}\,d\mu }$ ${\textstyle \int f^{-}\,d\mu }$

$${\displaystyle \min \left(\int f^{+}\,d\mu ,\int f^{-}\,d\mu \right)<\infty .}$$

En este caso definimos

$${\displaystyle \int f\,d\mu =\int f^{+}\,d\mu -\int f^{-}\,d\mu .}$$

Si

$${\displaystyle \int |f|\,\mathrm {d} \mu <\infty ,}$$

Decimos que f es integrable según Lebesgue .

Resulta que esta definición da las propiedades deseables de la integral.

A través de una integral de Riemann impropia

Suponiendo que f es medible y no negativa, la función es monótonamente no creciente. La integral de Lebesgue puede entonces definirse como la integral de Riemann impropia de f ^∗ : ^[3] Esta integral es impropia en el límite superior de ∞ , y posiblemente también en cero. Existe, con la salvedad de que puede ser infinita. ^{[4] [5]} $${\displaystyle f^{*}(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \mu \left(\{x\in E\mid f(x)>t\}\right).}$$ $${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt.}$$

Como se indicó anteriormente, la integral de una función integrable de Lebesgue (no necesariamente no negativa) se define restando la integral de sus partes positiva y negativa.

Funciones de valores complejos

Las funciones de valores complejos se pueden integrar de manera similar, considerando la parte real y la parte imaginaria por separado. ^[6]

Si h = f + ig para funciones integrables de valor real f , g , entonces la integral de h está definida por $${\displaystyle \int h\,d\mu =\int f\,d\mu +i\int g\,d\mu .}$$

La función es integrable según Lebesgue si y sólo si su valor absoluto es integrable según Lebesgue (ver Función absolutamente integrable ).

Ejemplo

Consideremos la función indicadora de los números racionales, 1 _Q , también conocida como función de Dirichlet. Esta función no es continua en ningún punto .

• ${\displaystyle 1_{\mathbf {Q} }}$ no es integrable según Riemann en [ 0, 1] : No importa cómo se divida el conjunto [ 0, 1] en subintervalos, cada partición contiene al menos un número racional y al menos uno irracional, porque los racionales y los irracionales son densos en los números reales. Por lo tanto, las sumas Darboux superiores son todas uno y las sumas Darboux inferiores son todas cero.
• ${\displaystyle 1_{\mathbf {Q} }}$ es Lebesgue-integrable en [0, 1] usando la medida de Lebesgue : De hecho, es la función indicadora de los racionales, por definición porque Q es contable . $${\displaystyle \int _{[0,1]}1_{\mathbf {Q} }\,d\mu =\mu (\mathbf {Q} \cap [0,1])=0,}$$

Dominio de la integración

Un problema técnico en la integración de Lebesgue es que el dominio de integración se define como un conjunto (un subconjunto de un espacio de medida), sin noción de orientación. En cálculo elemental, se define la integración con respecto a una orientación : Generalizar esto a dimensiones superiores produce la integración de formas diferenciales . Por el contrario, la integración de Lebesgue proporciona una generalización alternativa, integrando sobre subconjuntos con respecto a una medida; esto se puede notar como para indicar la integración sobre un subconjunto A. Para obtener detalles sobre la relación entre estas generalizaciones, consulte Forma diferencial § Relación con medidas . La teoría principal que vincula estas ideas es la de la integración homológica (a veces llamada teoría de la integración geométrica), iniciada por Georges de Rham y Hassler Whitney . ^[7] $${\displaystyle \int _{b}^{a}f=-\int _{a}^{b}f.}$$ $${\displaystyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$$

Limitaciones de la integral de Riemann

Con la llegada de las series de Fourier , surgieron muchos problemas analíticos que involucraban integrales cuya solución satisfactoria requería intercambiar procesos límite y signos integrales. Sin embargo, las condiciones bajo las cuales se podían aplicar las integrales

$${\displaystyle \sum _{k}\int f_{k}(x)\,dx,\quad \int \left[\sum _{k}f_{k}(x)\right]dx}$$

La igualdad resultó ser bastante difícil de alcanzar en el marco de Riemann. Existen otras dificultades técnicas con la integral de Riemann. Estas están relacionadas con la dificultad de tomar límites que se mencionó anteriormente.

Fallo de convergencia monótona

Como se muestra arriba, la función indicadora 1 _Q sobre los racionales no es integrable según Riemann. En particular, el teorema de convergencia monótona falla. Para ver por qué, sea { a _k } una enumeración de todos los números racionales en [0, 1] (son contables, por lo que esto se puede hacer ). Luego sea $${\displaystyle g_{k}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x=a_{j},j\leq k\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

La función g _k es cero en todas partes, excepto en un conjunto finito de puntos. Por lo tanto, su integral de Riemann es cero. Cada g _k es no negativo, y esta secuencia de funciones es monótonamente creciente, pero su límite cuando k → ∞ es 1 _Q , que no es integrable según Riemann.

Inadecuación para intervalos ilimitados

La integral de Riemann solo puede integrar funciones en un intervalo acotado. Sin embargo, se puede extender a intervalos ilimitados tomando límites, siempre que esto no dé como resultado ∞ − ∞ .

Integración en estructuras distintas al espacio euclidiano

La integral de Riemann está inextricablemente ligada a la estructura de orden de la línea real.

Teoremas básicos de la integral de Lebesgue

Se dice que dos funciones son iguales casi en todas partes ( abreviadamente) si es un subconjunto de un conjunto nulo . No se requiere que el conjunto sea mensurable . ${\displaystyle f\ {\stackrel {\text{a.e.}}{=}}\ g}$ ${\displaystyle \{x\mid f(x)\neq g(x)\}}$ ${\displaystyle \{x\mid f(x)\neq g(x)\}}$

Los siguientes teoremas se demuestran en la mayoría de los libros de texto sobre teoría de la medida e integración de Lebesgue. ^[8]

• Si f y g son funciones mensurables no negativas (posiblemente asumiendo el valor +∞ ) tales que f = g casi en todas partes, entonces, es decir, la integral respeta la relación de equivalencia de igualdad en casi todas partes. $${\displaystyle \int f\,d\mu =\int g\,d\mu .}$$
• Si f y g son funciones tales que f = g casi en todas partes, entonces f es integrable según Lebesgue si y sólo si g es integrable según Lebesgue, y las integrales de f y g son las mismas si existen.
• Linealidad : Si f y g son funciones integrables de Lebesgue y a y b son números reales, entonces af + bg es integrable de Lebesgue y $${\displaystyle \int (af+bg)\,d\mu =a\int f\,d\mu +b\int g\,d\mu .}$$
• Monotonía : Si f ≤ g , entonces $${\displaystyle \int f\,d\mu \leq \int g\,d\mu .}$$
• Teorema de convergencia monótona : Supongamos que { f _k } _{k ∈ N} es una secuencia de funciones medibles no negativas tales que Entonces, el límite puntual f de f _k es medible según Lebesgue y se permite que el valor de cualquiera de las integrales sea infinito. $${\displaystyle f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\quad \forall k\in \mathbb {N} ,\,\forall x\in E.}$$ $${\displaystyle \lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$$
• Lema de Fatou : Si { f _k } _{k ∈ N} es una secuencia de funciones medibles no negativas, entonces Nuevamente, el valor de cualquiera de las integrales puede ser infinito. $${\displaystyle \int \liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf _{k}\int f_{k}\,d\mu .}$$
• Teorema de convergencia dominada : Supóngase que { f _k } _{k ∈ N} es una secuencia de funciones complejas medibles con límite puntual f , y existe una función integrable de Lebesgue g (es decir, g pertenece al espacio L ¹ ) tal que | f _k | ≤ g para todo k . Entonces f es integrable de Lebesgue y $${\displaystyle \lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$$

Las condiciones necesarias y suficientes para el intercambio de límites e integrales fueron demostradas por Cafiero, ^{[9] [10] [11] [12]} generalizando trabajos anteriores de Renato Caccioppoli, Vladimir Dubrovskii y Gaetano Fichera. ^[13]

Formulaciones alternativas

Es posible desarrollar la integral con respecto a la medida de Lebesgue sin depender de todo el mecanismo de la teoría de la medida. Uno de esos enfoques lo proporciona la integral de Daniell .

Existe también un enfoque alternativo para desarrollar la teoría de la integración a través de métodos de análisis funcional . La integral de Riemann existe para cualquier función continua f de soporte compacto definido en R ⁿ (o un subconjunto abierto fijo). Se pueden construir integrales de funciones más generales a partir de estas integrales.

Sea C _c el espacio de todas las funciones continuas de R con soporte compacto y valores reales . Defina una norma en C _c mediante $${\displaystyle \left\|f\right\|=\int |f(x)|\,dx.}$$

Entonces C _c es un espacio vectorial normado (y en particular, es un espacio métrico). Todos los espacios métricos tienen compleciones de Hausdorff , por lo que sea L ¹ su compleción. Este espacio es isomorfo al espacio de funciones integrables de Lebesgue módulo el subespacio de funciones con integral cero. Además, la integral de Riemann ∫ es una funcional uniformemente continua con respecto a la norma en C _c , que es densa en L ¹ . Por lo tanto, ∫ tiene una extensión única a todo L ¹ . Esta integral es precisamente la integral de Lebesgue.

De manera más general, cuando el espacio de medida en el que se definen las funciones es también un espacio topológico localmente compacto (como es el caso de los números reales R ), las medidas compatibles con la topología en un sentido adecuado ( medidas de Radon , de las que la medida de Lebesgue es un ejemplo) una integral con respecto a ellas se puede definir de la misma manera, partiendo de las integrales de funciones continuas con soporte compacto . Más precisamente, las funciones con soporte compacto forman un espacio vectorial que lleva una topología natural , y una medida (de Radon) se define como una funcional lineal continua en este espacio. El valor de una medida en una función con soporte compacto es entonces también por definición la integral de la función. Luego se procede a expandir la medida (la integral) a funciones más generales por continuidad, y se define la medida de un conjunto como la integral de su función indicadora. Este es el enfoque adoptado por Nicolas Bourbaki ^[14] y un cierto número de otros autores. Para más detalles, véase Medidas de Radon .

Limitaciones de la integral de Lebesgue

El propósito principal de la integral de Lebesgue es proporcionar una noción integral donde los límites de las integrales se mantengan bajo supuestos moderados. No hay garantía de que cada función sea integrable según Lebesgue. Pero puede suceder que existan integrales impropias para funciones que no son integrables según Lebesgue. Un ejemplo sería la función sinc : sobre toda la línea real. Esta función no es integrable según Lebesgue, ya que Por otro lado, existe como una integral impropia y se puede calcular que es finita; es el doble de la integral de Dirichlet e igual a . $${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|dx=\infty .}$$ ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$ ${\displaystyle \pi }$

Véase también

• Henri Lebesgue , para una descripción no técnica de la integración de Lebesgue
• Conjunto nulo
• Integración
• Medida
• Álgebra sigma
• El espacio de Lebesgue
• Integración Lebesgue-Stieltjes
• Integral de Riemann
• Integral de Henstock-Kurzweil

Notas

1. Este enfoque se puede encontrar en la mayoría de los tratamientos de medida e integración, como Royden (1988).
2. Lema 1 de la página 76 de la segunda edición de Royden, Real Analysis.
3. Amor y pérdida 2001
4. Si f  ^∗ es infinita en un punto interior del dominio, entonces la integral debe tomarse como infinita. De lo contrario, f  ^∗ es finita en todas partes en (0, +∞) , y por lo tanto acotada en cada intervalo finito [ a , b ] , donde a > 0 . Por lo tanto, la integral de Riemann impropia (ya sea finita o infinita) está bien definida.
5. De manera equivalente, se podría haber definido ya que para casi todos ${\displaystyle f^{*}(t)\ =\ \mu \left(\{x\in E\mid f(x)\geq t\}\right),}$ ${\displaystyle \mu \left(\{x\in E\mid f(x)\geq t\}\right)=\mu \left(\{x\in E\mid f(x)>t\}\right)}$ ${\displaystyle t.}$
6. Rudin 1966
7. Whitney 1957
8. Folland 1999
9. Cafiero, F. (1953), "Sul passaggio al limite sotto il segno d'integrale per Successioni d'integrali di Stieltjes-Lebesgue negli spazi astratti, con masse variabili con gli integrandi [Sobre el paso al límite bajo el símbolo integral para secuencias de integrales de Stieltjes-Lebesgue en espacios abstractos, con masas que varían conjuntamente con los integrandos]" (italiano), Rediconti del Seminario Matematico della Università di Padova, 22: 223–245, MR0057951, Zbl 0052.05003.
10. Cafiero, F. (1959), Misura e integrazione [Medida e integración] (italiano), Monografie matematiche del Consiglio Nazionale delle Ricerche 5, Roma: Edizioni Cremonese, págs. VII+451, MR0215954, Zbl 0171.01503.
11. Letta, G. (2013), Argomenti scelti di Teoria della Misura [Temas seleccionados en teoría de la medida], (en italiano) Quaderni dell'Unione Matematica Italiana 54, Bolonia: Unione Matematica Italiana, págs. XI+183, ISBN 88- 371-1880-5, Zbl 1326.28001. Cap. VIII, págs. 110-128
12. Daniele Tampieri (https://mathoverflow.net/users/113756/daniele-tampieri), ¿Conoces teoremas importantes que aún no se conocen?, URL (versión: 2021-12-31): https://mathoverflow.net/q/296839
13. Fichera, G. (1943), "Intorno al passaggio al limite sotto il segno d'integrale" [Sobre el paso al límite bajo el símbolo integral] (italiano), Portugaliae Mathematica, 4 (1): 1–20, MR0009192, Zbl 0063.01364.
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