En matemáticas , el teorema de Bochner (llamado así por Salomon Bochner ) caracteriza la transformada de Fourier de una medida finita positiva de Borel sobre la recta real. De manera más general, en el análisis armónico , el teorema de Bochner afirma que bajo la transformada de Fourier una función continua positiva-definida en un grupo abeliano localmente compacto corresponde a una medida positiva finita en el grupo dual de Pontryagin . El caso de las secuencias fue establecido por primera vez por Gustav Herglotz (ver también el teorema de representación de Herglotz relacionado ) [1]
El teorema de Bochner para un grupo abeliano localmente compacto G , con grupo dual , dice lo siguiente:
Teorema Para cualquier función definida positiva continua normalizada f sobre G (la normalización aquí significa que f es 1 en la unidad de G ), existe una medida de probabilidad única μ tal que
es decir, f es la transformada de Fourier de una medida de probabilidad única μ en . Por el contrario, la transformada de Fourier de una medida de probabilidad en es necesariamente una función definida positiva continua normalizada f en G . De hecho, se trata de una correspondencia uno a uno.
La transformada de Gelfand-Fourier es un isomorfismo entre el grupo C*-álgebra C*( G ) y C 0 ( Ĝ ). El teorema es esencialmente el enunciado dual para los estados de las dos álgebras C* abelianas.
La prueba del teorema pasa a través de estados vectoriales en representaciones unitarias fuertemente continuas de G (la prueba de hecho muestra que toda función definida positiva continua normalizada debe tener esta forma).
Dada una función definida positiva continua normalizada f sobre G , se puede construir una representación unitaria fuertemente continua de G de forma natural: Sea F 0 ( G ) la familia de funciones de valores complejos sobre G con soporte finito, es decir h ( g ) = 0 para todos excepto un número finito de g . El núcleo definido positivo K ( g 1 , g 2 ) = f ( g 1 − g 2 ) induce un producto interno (posiblemente degenerado) en F 0 ( G ). Citar la degeneración y completarla da un espacio de Hilbert
cuyo elemento típico es una clase de equivalencia [ h ]. Para una g fija en G , el " operador de desplazamiento " U g definido por ( U g )( h ) (g') = h ( g ' − g ), para un representante de [ h ], es unitario. Entonces el mapa
es una representación unitaria de G en . Por continuidad de f , es débilmente continua y, por lo tanto, fuertemente continua. Por construcción tenemos
donde [ e ] es la clase de la función que es 1 en la identidad de G y cero en otros lugares. Pero según el isomorfismo de Gelfand-Fourier, el estado del vector en C*( G ) es el retroceso de un estado en , que es necesariamente integración contra una medida de probabilidad μ . Persiguiendo los isomorfismos se obtiene
Por otro lado, dada una medida de probabilidad μ en , la función
es una función definida positiva continua normalizada. La continuidad de f se deriva del teorema de convergencia dominada . Para una definición positiva, tome una representación no degenerada de . Esto se extiende únicamente a una representación de su álgebra multiplicadora y, por lo tanto, a una representación unitaria fuertemente continua U g . Como arriba tenemos f dada por algún estado vectorial en U g
por lo tanto positivo-definido.
Las dos construcciones son inversas mutuas.
El teorema de Bochner en el caso especial del grupo discreto Z a menudo se denomina teorema de Herglotz (ver teorema de representación de Herglotz ) y dice que una función f en Z con f (0) = 1 es definida positiva si y solo si hay Existe una medida de probabilidad μ en el círculo T tal que
De manera similar, una función continua f en R con f (0) = 1 es definida positiva si y sólo si existe una medida de probabilidad μ en R tal que
En estadística , el teorema de Bochner se puede utilizar para describir la correlación serial de cierto tipo de series temporales . Una secuencia de variables aleatorias de media 0 es una serie de tiempo estacionaria (en sentido amplio) si la covarianza
sólo depende de n − m . La función
se llama función de autocovarianza de la serie temporal. Por el supuesto de media cero,
donde ⟨⋅, ⋅⟩ denota el producto interno en el espacio de Hilbert de variables aleatorias con segundos momentos finitos. Entonces es inmediato que g es una función definida positiva sobre los números enteros . Según el teorema de Bochner, existe una medida positiva única μ en [0, 1] tal que
Esta medida μ se denomina medida espectral de la serie temporal. Proporciona información sobre las "tendencias estacionales" de la serie.
Por ejemplo, sea z una m -ésima raíz de la unidad (con la identificación actual, esto es 1/ m ∈ [0, 1]) y f sea una variable aleatoria de media 0 y varianza 1. Considere la serie de tiempo . La función de autocovarianza es
Evidentemente, la medida espectral correspondiente es la masa puntual de Dirac centrada en z . Esto está relacionado con el hecho de que la serie de tiempo se repite cada m períodos.
Cuando g tiene una desintegración suficientemente rápida, la medida μ es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, y su derivada de Radon-Nikodym f se llama densidad espectral de la serie de tiempo. Cuando g está dentro , f es la transformada de Fourier de g .
![{\displaystyle \langle U_{g}[e],[e]\rangle _{f}=f(g),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15129fb137b8214e65e9950cc95a0ac4ad011133)
![{\displaystyle \langle \cdot [e],[e]\rangle _ {f}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a84757d1db733c18409aca2b2a7534a17926ff8e)
![{\displaystyle \langle U_{g}[e],[e]\rangle _{f}=\int _{\widehat {G}}\xi (g)\,d\mu (\xi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c591f44edf5494c49dbf3b156c5b87d95e039f)
