Autocovarianza

Concepto en probabilidad y estadística.

En teoría de probabilidad y estadística , dado un proceso estocástico , la autocovarianza es una función que da la covarianza del proceso consigo mismo en pares de puntos de tiempo. La autocovarianza está estrechamente relacionada con la autocorrelación del proceso en cuestión.

Autocovarianza de procesos estocásticos.

Definición

Con la notación habitual para el operador de expectativa , si el proceso estocástico tiene la función media , entonces la autocovarianza viene dada por ^{[1] : p. 162} ${\displaystyle \operatorname {E} }$ ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \mu _{t}=\operatorname {E} [X_{t}]}$

donde y son dos instancias en el tiempo. ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

Definición de proceso débilmente estacionario

Si es un proceso débilmente estacionario (WSS) , entonces se cumple lo siguiente: ^{[1] : p. 163} ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$

${\displaystyle \mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu }$para todos ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

y

${\displaystyle \operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty }$para todos ${\displaystyle t}$

y

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1},0)\triangleq \operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1})=\operatorname {K} _{XX}(\tau ),}$

¿Dónde está el tiempo de retraso o la cantidad de tiempo que se ha desplazado la señal? ${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$

Por lo tanto, la función de autocovarianza de un proceso WSS viene dada por: ^{[2] : p. 517}

que es equivalente a

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{t+\tau })(X_{t}-\mu _{t})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }X_{t}]-\mu ^{2}}$.

Normalización

Es una práctica común en algunas disciplinas (por ejemplo, estadística y análisis de series de tiempo ) normalizar la función de autocovarianza para obtener un coeficiente de correlación de Pearson dependiente del tiempo . Sin embargo, en otras disciplinas (por ejemplo, ingeniería) la normalización suele descartarse y los términos "autocorrelación" y "autocovarianza" se utilizan indistintamente.

La definición de autocorrelación normalizada de un proceso estocástico es

${\displaystyle \rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}}$.

Si la función está bien definida, su valor debe estar en el rango , donde 1 indica correlación perfecta y −1 indica anticorrelación perfecta . ${\displaystyle \rho _{XX}}$ ${\displaystyle [-1,1]}$

Para un proceso WSS, la definición es

${\displaystyle \rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t}-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )]}{\sigma ^{2}}}}$.

dónde

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}}$.

Propiedades

Propiedad de simetría

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {K} _{XX}(t_{2},t_{1})}}}$^{[3] : pág.169}

respectivamente para un proceso WSS:

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {K} _{XX}(-\tau )}}}$^{[3] : pág.173}

Filtrado lineal

La autocovarianza de un proceso filtrado linealmente. ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}\,}$

es

${\displaystyle K_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}K_{XX}(\tau +k-l).\,}$

Calcular la difusividad turbulenta

La autocovarianza se puede utilizar para calcular la difusividad turbulenta . ^[4] La turbulencia en un flujo puede causar fluctuaciones de velocidad en el espacio y el tiempo. Por lo tanto, podemos identificar turbulencias a través de las estadísticas de esas fluctuaciones ^{[ cita necesaria ]} .

La descomposición de Reynolds se utiliza para definir las fluctuaciones de velocidad (supongamos que ahora estamos trabajando con un problema 1D y es la velocidad a lo largo de la dirección): ${\displaystyle u'(x,t)}$ ${\displaystyle U(x,t)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle U(x,t)=\langle U(x,t)\rangle +u'(x,t),}$

donde es la velocidad verdadera y es el valor esperado de la velocidad . Si elegimos una correcta , se incluirán todas las componentes estocásticas de la velocidad turbulenta . Para determinar , se requiere un conjunto de mediciones de velocidad que se ensamblan a partir de puntos en el espacio, momentos en el tiempo o experimentos repetidos. ${\displaystyle U(x,t)}$ ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$ ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$ ${\displaystyle u'(x,t)}$ ${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$

Si asumimos que el flujo turbulento ( y c es el término de concentración) puede ser causado por un paseo aleatorio, podemos usar las leyes de difusión de Fick para expresar el término de flujo turbulento: ${\displaystyle \langle u'c'\rangle }$ ${\displaystyle c'=c-\langle c\rangle }$

${\displaystyle J_{{\text{turbulence}}_{x}}=\langle u'c'\rangle \approx D_{T_{x}}{\frac {\partial \langle c\rangle }{\partial x}}.}$

La autocovarianza de la velocidad se define como

${\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\rangle }$o ${\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\rangle ,}$

donde es el tiempo de retraso y es la distancia de retraso. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle r}$

La difusividad turbulenta se puede calcular utilizando los 3 métodos siguientes: ${\displaystyle D_{T_{x}}}$

1. Si tenemos datos de velocidad a lo largo de una trayectoria lagrangiana :

   ${\displaystyle D_{T_{x}}=\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .}$

2. Si tenemos datos de velocidad en una ubicación fija ( euleriana ) ^{[ cita necesaria ]} :
   ${\displaystyle D_{T_{x}}\approx [0.3\pm 0.1]\left[{\frac {\langle u'u'\rangle +\langle u\rangle ^{2}}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .}$
3. Si tenemos información de velocidad en dos ubicaciones fijas (eulerianas) ^{[ cita necesaria ]} :
   ${\displaystyle D_{T_{x}}\approx [0.4\pm 0.1]\left[{\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{r}^{\infty }u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\,dr,}$
   ¿Dónde está la distancia que separan estas dos ubicaciones fijas? ${\displaystyle r}$

Autocovarianza de vectores aleatorios.

Ver también

• Proceso autorregresivo
• Correlación
• Covarianza cruzada
• correlación cruzada
• Estimación de la covarianza del ruido (como ejemplo de aplicación)

Referencias

1. Hsu, Hwei (1997). Probabilidad, variables aleatorias y procesos aleatorios . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-030644-8.
2. Lapidot, Amós (2009). Una Fundación en Comunicación Digital . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-19395-5.
3. Kun Il Park, Fundamentos de probabilidad y procesos estocásticos con aplicaciones a las comunicaciones, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
4. Taylor, soldado (1 de enero de 1922). «Difusión por Movimientos Continuos» (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática de Londres . T2-20 (1): 196–212. doi :10.1112/plms/s2-20.1.196. ISSN  1460-244X.

Otras lecturas

• Hoel, PG (1984). Estadística Matemática (Quinta ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-471-89045-4.
• Apuntes de conferencias sobre autocovarianza de WHOI