Covarianza cruzada

En probabilidad y estadística , dados dos procesos estocásticos y , la covarianza cruzada es una función que da la covarianza de un proceso con el otro en pares de puntos de tiempo. Con la notación habitual para el operador de expectativa , si los procesos tienen las funciones medias y , entonces la covarianza cruzada viene dada por ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} }$ ${\displaystyle \mu _{X}(t)=\operatorname {\operatorname {E} } [X_{t}]}$ ${\displaystyle \mu _{Y}(t)=\operatorname {E} [Y_{t}]}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-\mu _{Y}(t_{2}))]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}Y_{t_{2}}]-\mu _{X}(t_{1})\mu _{Y}(t_{2}).\,}$

La covarianza cruzada está relacionada con la correlación cruzada más comúnmente utilizada de los procesos en cuestión.

En el caso de dos vectores aleatorios y , la covarianza cruzada sería una matriz (a menudo denominada ) con entradas. Por lo tanto, el término covarianza cruzada se utiliza para distinguir este concepto de la covarianza de un vector aleatorio , que se entiende como la matriz de covarianzas entre los componentes escalares de sí misma. ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{p})^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{q})^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle p\times q}$ ${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}}$ ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(j,k)=\operatorname {cov} (X_{j},Y_{k}).\,}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

En el procesamiento de señales , la covarianza cruzada a menudo se denomina correlación cruzada y es una medida de similitud de dos señales , comúnmente utilizada para encontrar características en una señal desconocida comparándola con una conocida. Es una función del tiempo relativo entre las señales, a veces se le llama producto escalar deslizante y tiene aplicaciones en el reconocimiento de patrones y el criptoanálisis .

Covarianza cruzada de vectores aleatorios.

Covarianza cruzada de procesos estocásticos.

La definición de covarianza cruzada de vectores aleatorios se puede generalizar a procesos estocásticos de la siguiente manera:

Definición

Sea y denote procesos estocásticos. Entonces la función de covarianza cruzada de los procesos se define por: ^{[1] : p.172} ${\displaystyle \{X(t)\}}$ ${\displaystyle \{Y(t)\}}$ ${\displaystyle K_{XY}}$

dónde y . ${\displaystyle \mu _{X}(t)=\operatorname {E} \left[X(t)\right]}$ ${\displaystyle \mu _{Y}(t)=\operatorname {E} \left[Y(t)\right]}$

Si los procesos son procesos estocásticos de valores complejos , el segundo factor debe ser complejo conjugado :

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right){\overline {\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)}}\right]}$

Definición de procesos de AyS en conjunto

Si y son estacionarios en sentido amplio conjunto , entonces se cumple lo siguiente: ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$

${\displaystyle \mu _{X}(t_{1})=\mu _{X}(t_{2})\triangleq \mu _{X}}$para todos , ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

${\displaystyle \mu _{Y}(t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}}$para todos ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

y

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XY}(t_{2}-t_{1},0)}$para todos ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

Al establecer (el retraso de tiempo, o la cantidad de tiempo por el cual la señal ha sido desplazada), podemos definir ${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {K} _{XY}(t_{2}-t_{1})\triangleq \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})}$.

Por tanto, la función de covarianza cruzada de dos procesos WSS conjuntos viene dada por:

que es equivalente a

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {cov} (X_{t+\tau },Y_{t})=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{X})(Y_{t}-\mu _{Y})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }Y_{t}]-\mu _{X}\mu _{Y}}$.

Descorrelación

Dos procesos estocásticos se denominan no correlacionados si su covarianza es cero en todo momento. ^{[1] : p.142} Formalmente: ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})}$

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ uncorrelated}}\quad \iff \quad \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}$.

Covarianza cruzada de señales deterministas.

La covarianza cruzada también es relevante en el procesamiento de señales, donde la covarianza cruzada entre dos procesos aleatorios estacionarios de sentido amplio se puede estimar promediando el producto de las muestras medidas de un proceso y las muestras medidas del otro (y sus cambios de tiempo). Las muestras incluidas en el promedio pueden ser un subconjunto arbitrario de todas las muestras de la señal (por ejemplo, muestras dentro de una ventana de tiempo finita o un submuestreo de una de las señales). Para una gran cantidad de muestras, el promedio converge a la covarianza verdadera.

La covarianza cruzada también puede referirse a una covarianza cruzada "determinista" entre dos señales. Consiste en sumar todos los índices temporales. Por ejemplo, para señales de tiempo discreto y la covarianza cruzada se define como ${\displaystyle f[k]}$ ${\displaystyle g[k]}$

${\displaystyle (f\star g)[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {f[k]}}g[n+k]=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {f[k-n]}}g[k]}$

donde la línea indica que se toma el conjugado complejo cuando las señales tienen valores complejos .

Para funciones continuas y la covarianza cruzada (determinista) se define como ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle (f\star g)(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int {\overline {f(t)}}g(x+t)\,dt=\int {\overline {f(t-x)}}g(t)\,dt}$.

Propiedades

La covarianza cruzada (determinista) de dos señales continuas está relacionada con la convolución por

${\displaystyle (f\star g)(t)=({\overline {f(-\tau )}}*g(\tau ))(t)}$

y la covarianza cruzada (determinista) de dos señales de tiempo discreto está relacionada con la convolución discreta por

${\displaystyle (f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]}$.

Ver también

• Autocovarianza
• Autocorrelación
• Correlación
• Circunvolución
• correlación cruzada

Referencias

1. Kun Il Park, Fundamentos de probabilidad y procesos estocásticos con aplicaciones a las comunicaciones, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3

enlaces externos

• Correlación cruzada de Mathworld
• http://scribblethink.org/Work/nvisionInterface/nip.html
• http://www.phys.ufl.edu/LIGO/stochastic/sign05.pdf
• http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf