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educación matemática

Una conferencia de matemáticas en la Escuela de Ciencia y Tecnología de la Universidad Aalto

En la educación contemporánea , la educación matemática —conocida en Europa como didáctica o pedagogía de las matemáticas— es la práctica de enseñar , aprender y realizar investigaciones académicas sobre la transferencia de conocimientos matemáticos.

Aunque la investigación en educación matemática se ocupa principalmente de las herramientas, métodos y enfoques que facilitan la práctica o el estudio de la práctica, también cubre un extenso campo de estudio que abarca una variedad de conceptos, teorías y métodos diferentes. Organizaciones nacionales e internacionales celebran periódicamente conferencias y publican literatura para mejorar la educación matemática.

Historia

Antiguo

Las matemáticas elementales eran una parte central de la educación en muchas civilizaciones antiguas, incluido el antiguo Egipto , la antigua Babilonia , la antigua Grecia , la antigua Roma y la India védica . [ cita necesaria ] En la mayoría de los casos, la educación formal solo estaba disponible para niños varones con un estatus, riqueza o casta suficientemente altos . [ cita necesaria ] El libro de texto de matemáticas más antiguo conocido es el papiro de Rhind , que data de alrededor del 1650 a. [1]

Teorema de pitágoras

Los historiadores de Mesopotamia han confirmado que el uso de la regla pitagórica se remonta al Antiguo Imperio Babilónico (siglos XX-XVI a. C.) y que se enseñaba en las escuelas de escribas más de mil años antes del nacimiento de Pitágoras . [2] [3] [4] [5] [6]

En la división de Platón de las artes liberales en trivium y quadrivium , el quadrivium incluía los campos matemáticos de la aritmética y la geometría . Esta estructura continuó en la estructura de la educación clásica que se desarrolló en la Europa medieval. La enseñanza de la geometría se basó casi universalmente en los Elementos de Euclides . Los aprendices de oficios como albañiles, comerciantes y prestamistas podían esperar aprender matemáticas prácticas relevantes para su profesión.

Medieval y moderno temprano

Ilustración al comienzo de una traducción del siglo XIV de los Elementos de Euclides

En la Edad Media , el estatus académico de las matemáticas declinó, porque estaban fuertemente asociadas con el comercio y se consideraban algo anticristianas. [7] Aunque continuó enseñándose en las universidades europeas , se consideraba subordinado al estudio de la filosofía natural , metafísica y moral . El primer plan de estudios de aritmética moderno (que comenzaba con la suma , luego la resta , la multiplicación y la división ) surgió en las escuelas de cálculo de Italia en el siglo XIII. [8] Estos métodos, que se extendieron a lo largo de las rutas comerciales, fueron diseñados para usarse en el comercio. Contrastaban con las matemáticas platónicas que se enseñaban en las universidades, que eran más filosóficas y se ocupaban de los números como conceptos más que como métodos de cálculo. [8] También contrastaron con los métodos matemáticos aprendidos por los aprendices artesanos , que eran específicos de las tareas y herramientas en cuestión. Por ejemplo, la división de un tablero en tercios se puede lograr con un trozo de cuerda, en lugar de medir la longitud y utilizar la operación aritmética de división. [7]

Los primeros libros de texto de matemáticas escritos en inglés y francés fueron publicados por Robert Recorde , comenzando con The Grounde of Artes en 1543. Sin embargo, hay muchos escritos diferentes sobre matemáticas y metodología matemática que se remontan a 1800 a. C. Estos estaban ubicados en su mayoría en Mesopotamia, donde los sumerios practicaban la multiplicación y la división. También hay artefactos que demuestran su metodología para resolver ecuaciones como la ecuación cuadrática . Después de los sumerios, algunas de las obras antiguas más famosas sobre matemáticas vinieron de Egipto en forma del Papiro Matemático de Rhind y el Papiro Matemático de Moscú . El papiro de Rhind, más famoso , se remonta aproximadamente al año 1650 a. C., pero se cree que es una copia de un pergamino aún más antiguo. Este papiro fue esencialmente uno de los primeros libros de texto para estudiantes egipcios.

El estatus social del estudio matemático estaba mejorando en el siglo XVII: la Universidad de Aberdeen creó una Cátedra de Matemáticas en 1613, seguida de la Cátedra de Geometría en la Universidad de Oxford en 1619 y la Cátedra Lucasiana de Matemáticas establecida por el Universidad de Cambridge en 1662.

Moderno

En los siglos XVIII y XIX, la Revolución Industrial provocó un enorme aumento de la población urbana . Las habilidades numéricas básicas, como la capacidad de decir la hora, contar dinero y realizar operaciones aritméticas simples , se volvieron esenciales en este nuevo estilo de vida urbano. Dentro de los nuevos sistemas de educación pública , las matemáticas se convirtieron en una parte central del plan de estudios desde una edad temprana.

En el siglo XX, las matemáticas formaban parte del plan de estudios básico en todos los países desarrollados .

Durante el siglo XX, la educación matemática se estableció como un campo de investigación independiente. Los principales eventos en este desarrollo incluyen lo siguiente:

En el siglo XX, el impacto cultural de la " era electrónica " (McLuhan) también fue retomado por la teoría de la educación y la enseñanza de las matemáticas. Mientras que el enfoque anterior se centraba en "trabajar con 'problemas' especializados en aritmética ", el enfoque estructural emergente del conocimiento tenía "niños pequeños meditando sobre la teoría de números y los ' conjuntos '". [10]

Objetivos

Niño haciendo sumas, Guinea-Bissau, 1974

En diferentes épocas y en diferentes culturas y países, la educación matemática ha intentado alcanzar una variedad de objetivos diferentes. Estos objetivos han incluido:

Métodos

El método o métodos utilizados en cualquier contexto particular están determinados en gran medida por los objetivos que el sistema educativo pertinente intenta alcanzar. Los métodos de enseñanza de las matemáticas incluyen los siguientes:

Los juegos pueden motivar a los estudiantes a mejorar habilidades que normalmente se aprenden de memoria. En "Number Bingo", los jugadores lanzan 3 dados y luego realizan operaciones matemáticas básicas con esos números para obtener un nuevo número, que cubren en el tablero tratando de cubrir 4 casillas seguidas. Este juego se jugó en un "Día del Descubrimiento" organizado por Big Brother Mouse en Laos.

Contenido y niveles de edad.

Se enseñan diferentes niveles de matemáticas a diferentes edades y en secuencias algo diferentes en diferentes países. A veces una clase puede impartirse a una edad más temprana de lo normal como clase especial o de honores .

Las matemáticas elementales en la mayoría de los países se enseñan de manera similar, aunque existen diferencias. La mayoría de los países tienden a cubrir menos temas con mayor profundidad que en Estados Unidos. [24] Durante los años de escuela primaria, los niños aprenden sobre números enteros y aritmética, incluyendo suma, resta, multiplicación y división. [25] Se enseñan comparaciones y medidas , tanto en forma numérica como pictórica, así como fracciones y proporcionalidad , patrones y diversos temas relacionados con la geometría. [26]

En el nivel de escuela secundaria en la mayor parte de los EE. UU., álgebra , geometría y análisis ( precálculo y cálculo ) se imparten como cursos separados en diferentes años. Por otro lado, en la mayoría de los demás países (y en algunos estados de EE. UU.), las matemáticas se enseñan como una materia integrada, y cada año se estudian temas de todas las ramas de las matemáticas; De este modo, los estudiantes siguen un curso predefinido (que incluye varios temas) en lugar de elegir cursos a la carta como en los Estados Unidos. Incluso en estos casos, sin embargo, se pueden ofrecer varias opciones de "matemáticas", seleccionadas en función de los estudios que el estudiante pretende realizar después de la escuela secundaria. (En Sudáfrica, por ejemplo, las opciones son Matemáticas, Alfabetización Matemática y Matemáticas Técnicas). Por lo tanto, un plan de estudios orientado a las ciencias normalmente se superpone al primer año de matemáticas universitarias e incluye cálculo diferencial y trigonometría a los 16-17 años y cálculo integral. , números complejos , geometría analítica , funciones exponenciales y logarítmicas , y series infinitas en su último año de secundaria; De manera similar, a menudo se enseñan probabilidad y estadística .

A nivel universitario, los estudiantes de ciencias e ingeniería deberán tomar cálculo multivariable , ecuaciones diferenciales y álgebra lineal ; En varias universidades de EE. UU., la especialización o AS en matemáticas comprende sustancialmente estos cursos. Los estudiantes de matemáticas estudian otras áreas adicionales dentro de las matemáticas puras , y a menudo en matemáticas aplicadas, con el requisito de cursos avanzados específicos en análisis y álgebra moderna . Las matemáticas aplicadas pueden tomarse como una materia principal por derecho propio, mientras que se enseñan temas específicos dentro de otros cursos: por ejemplo, es posible que se requiera que los ingenieros civiles estudien mecánica de fluidos , [27] y las "matemáticas para la informática" podrían incluir la teoría de grafos. , permutación , probabilidad y pruebas matemáticas formales . [28] Los títulos de matemáticas puras y aplicadas a menudo incluyen módulos en teoría de la probabilidad o estadística matemática , mientras que un curso de métodos numéricos es un requisito común para las matemáticas aplicadas. La física ( teórica ) es intensiva en matemáticas y a menudo se superpone sustancialmente con la carrera de matemáticas puras o aplicadas. Las matemáticas empresariales suelen limitarse al cálculo introductorio y (a veces) a los cálculos matriciales ; Los programas de economía cubren además la optimización , a menudo ecuaciones diferenciales y álgebra lineal , y a veces análisis.

Estándares

A lo largo de la mayor parte de la historia, los estándares para la educación matemática fueron establecidos localmente, por escuelas o profesores individuales, dependiendo de los niveles de rendimiento que eran relevantes, realistas y considerados socialmente apropiados para sus alumnos.

En los tiempos modernos, ha habido un movimiento hacia estándares regionales o nacionales, generalmente bajo el paraguas de un plan de estudios escolar estándar más amplio. En Inglaterra , por ejemplo, los estándares para la educación matemática se establecen como parte del plan de estudios nacional de Inglaterra, [29] mientras que Escocia mantiene su propio sistema educativo. Muchos otros países tienen ministerios centralizados que establecen estándares o planes de estudio nacionales y, a veces, incluso libros de texto.

Ma (2000) resumió la investigación de otros que encontraron, basándose en datos a nivel nacional, que los estudiantes con puntuaciones más altas en pruebas estandarizadas de matemáticas habían tomado más cursos de matemáticas en la escuela secundaria. Esto llevó a algunos estados a exigir tres años de matemáticas en lugar de dos. Pero como este requisito a menudo se cumplía tomando otro curso de matemáticas de nivel inferior, los cursos adicionales tuvieron un efecto "diluido" en el aumento de los niveles de rendimiento. [30]

En América del Norte, el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM) publicó en 2000 los Principios y Estándares para Matemáticas Escolares para Estados Unidos y Canadá, lo que impulsó la tendencia hacia la reforma de las matemáticas . En 2006, el NCTM publicó Puntos Focales del Currículo , que recomiendan los temas matemáticos más importantes para cada nivel de grado hasta el octavo grado. Sin embargo, estos estándares eran pautas para implementar según lo eligieran los estados estadounidenses y las provincias canadienses. En 2010, el Centro de Mejores Prácticas de la Asociación Nacional de Gobernadores y el Consejo de Directores Escolares Estatales publicaron los Estándares Estatales Básicos Comunes para los estados de EE. UU., que posteriormente fueron adoptados por la mayoría de los estados. La adopción de los Estándares Estatales Básicos Comunes en matemáticas queda a discreción de cada estado y no es una obligación del gobierno federal. [31] "Los estados revisan periódicamente sus estándares académicos y pueden optar por cambiarlos o agregarlos para satisfacer mejor las necesidades de sus estudiantes". [32] El NCTM tiene afiliados estatales que tienen diferentes estándares educativos a nivel estatal. Por ejemplo, Missouri tiene el Consejo de Profesores de Matemáticas de Missouri (MCTM), que tiene sus pilares y estándares de educación enumerados en su sitio web. El MCTM también ofrece oportunidades de membresía a profesores y futuros profesores para que puedan mantenerse actualizados sobre los cambios en los estándares educativos de matemáticas. [33]

El Programa para la Evaluación Internacional de Estudiantes (PISA), creado por la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE), es un programa global que estudia las habilidades de lectura, ciencias y matemáticas de estudiantes de 15 años. [34] La primera evaluación se realizó en el año 2000 con la participación de 43 países. [35] PISA ha repetido esta evaluación cada tres años para proporcionar datos comparables, ayudando a guiar la educación global para preparar mejor a los jóvenes para las economías futuras. Ha habido muchas ramificaciones tras los resultados de las evaluaciones trienales de PISA debido a respuestas implícitas y explícitas de las partes interesadas, que han conducido a reformas educativas y cambios de políticas. [35] [36] [21]

Investigación

Según Hiebert y Grouws, "todavía no existen teorías sólidas y útiles sobre la enseñanza en el aula". [37] Sin embargo, existen teorías útiles sobre cómo los niños aprenden matemáticas, y en las últimas décadas se han realizado muchas investigaciones para explorar cómo estas teorías se pueden aplicar a la enseñanza. Los siguientes resultados son ejemplos de algunos de los hallazgos actuales en el campo de la educación matemática.

Resultados importantes [37]

Uno de los resultados más sólidos de las investigaciones recientes es que la característica más importante de una enseñanza eficaz es brindar a los estudiantes "la oportunidad de aprender". Los profesores pueden establecer expectativas, tiempos, tipos de tareas, preguntas, respuestas aceptables y tipos de discusiones que influirán en las oportunidades de aprendizaje de los estudiantes. Esto debe implicar tanto la eficiencia de las habilidades como la comprensión conceptual.

Comprensión conceptual [37]

Dos de las características más importantes de la enseñanza en la promoción de la comprensión conceptual son prestar atención explícita a los conceptos y permitir que los estudiantes tengan dificultades con matemáticas importantes. Ambas características han sido confirmadas a través de una amplia variedad de estudios. La atención explícita a los conceptos implica establecer conexiones entre hechos, procedimientos e ideas. (Esto se considera a menudo como uno de los puntos fuertes de la enseñanza de matemáticas en los países del este asiático, donde los profesores suelen dedicar alrededor de la mitad de su tiempo a establecer conexiones. En el otro extremo está Estados Unidos, donde prácticamente no se establecen conexiones en las aulas escolares. [38] ) Estas conexiones se pueden hacer mediante la explicación del significado de un procedimiento, preguntas que comparan estrategias y soluciones de problemas, notando cómo un problema es un caso especial de otro, recordando a los estudiantes el punto principal, discutiendo cómo se conectan las lecciones y pronto.
La lucha deliberada y productiva con las ideas matemáticas se refiere al hecho de que cuando los estudiantes se esfuerzan con ideas matemáticas importantes, incluso si esta lucha inicialmente implica confusión y errores, el resultado es un mayor aprendizaje. Esto es cierto ya sea que la lucha se deba a una enseñanza intencionalmente desafiante y bien implementada o a una enseñanza involuntariamente confusa y defectuosa.

Evaluación formativa [39]

La evaluación formativa es la forma mejor y más económica de impulsar el rendimiento y la participación de los estudiantes y la satisfacción profesional de los docentes. Los resultados superan los de reducir el tamaño de las clases o aumentar el conocimiento del contenido de los docentes. La evaluación eficaz se basa en aclarar lo que los estudiantes deben saber, crear actividades apropiadas para obtener la evidencia necesaria, brindar buena retroalimentación, alentar a los estudiantes a tomar el control de su aprendizaje y permitir que los estudiantes sean recursos unos para otros.

Tarea [40]

Las tareas que llevan a los estudiantes a practicar lecciones pasadas o prepararse para lecciones futuras son más efectivas que aquellas que repasan la lección actual. Los estudiantes se benefician de la retroalimentación. Los estudiantes con problemas de aprendizaje o baja motivación pueden beneficiarse de las recompensas. Para los niños más pequeños, las tareas ayudan a desarrollar habilidades simples, pero no a medidas más amplias de logro.

Estudiantes con dificultades [40]

Los estudiantes con dificultades genuinas (no relacionadas con la motivación o la instrucción anterior) luchan con hechos básicos , responden impulsivamente, luchan con representaciones mentales, tienen un sentido numérico deficiente y una memoria a corto plazo deficiente. Las técnicas que se han considerado productivas para ayudar a estos estudiantes incluyen el aprendizaje asistido por pares, la enseñanza explícita con ayudas visuales, la instrucción basada en evaluaciones formativas y alentar a los estudiantes a pensar en voz alta.

Razonamiento algebraico [40]

Los niños de escuela primaria necesitan pasar mucho tiempo aprendiendo a expresar propiedades algebraicas sin símbolos antes de aprender la notación algebraica. Al aprender símbolos, muchos estudiantes creen que las letras siempre representan incógnitas y luchan con el concepto de variable . Prefieren el razonamiento aritmético a las ecuaciones algebraicas para resolver problemas planteados. Se necesita tiempo para pasar de las generalizaciones aritméticas a las algebraicas para describir patrones. Los estudiantes a menudo tienen problemas con el signo menos y entienden que el signo igual significa "la respuesta es...".

Metodología

Como ocurre con otras investigaciones educativas (y las ciencias sociales en general), la investigación en educación matemática depende tanto de estudios cuantitativos como cualitativos. La investigación cuantitativa incluye estudios que utilizan estadísticas inferenciales para responder preguntas específicas, como si un determinado método de enseñanza da resultados significativamente mejores que el status quo. Los mejores estudios cuantitativos implican ensayos aleatorios en los que a los estudiantes o clases se les asignan aleatoriamente diferentes métodos para probar sus efectos. Dependen de muestras grandes para obtener resultados estadísticamente significativos.

La investigación cualitativa , como los estudios de casos , la investigación acción , el análisis del discurso y las entrevistas clínicas , dependen de muestras pequeñas pero enfocadas en un intento de comprender el aprendizaje de los estudiantes y observar cómo y por qué un método determinado da los resultados que produce. Dichos estudios no pueden establecer de manera concluyente que un método es mejor que otro, como pueden hacerlo los ensayos aleatorios, pero a menos que se comprenda por qué el tratamiento X es mejor que el tratamiento Y, la aplicación de los resultados de los estudios cuantitativos a menudo conducirá a "mutaciones letales" [37] de el hallazgo en aulas reales. La investigación cualitativa exploratoria también es útil para sugerir nuevas hipótesis , que eventualmente pueden probarse mediante experimentos aleatorios. Por lo tanto, tanto los estudios cualitativos como los cuantitativos se consideran esenciales en educación, al igual que en otras ciencias sociales. [41] Muchos estudios son “mixtos”, combinando simultáneamente aspectos de investigación tanto cuantitativa como cualitativa, según corresponda.

Ensayos aleatorios

Ha habido cierta controversia sobre las fortalezas relativas de los diferentes tipos de investigación. Debido a la opinión de que los ensayos aleatorios proporcionan evidencia clara y objetiva sobre “lo que funciona”, los formuladores de políticas a menudo consideran sólo esos estudios. Algunos académicos han impulsado experimentos más aleatorios en los que los métodos de enseñanza se asignan aleatoriamente a las clases. [42] [43] En otras disciplinas relacionadas con sujetos humanos, como la biomedicina , la psicología y la evaluación de políticas, los experimentos controlados y aleatorios siguen siendo el método preferido para evaluar los tratamientos. [44] [45] Los estadísticos educativos y algunos profesores de matemáticas han estado trabajando para aumentar el uso de experimentos aleatorios para evaluar los métodos de enseñanza. [43] Por otro lado, muchos académicos en escuelas educativas han argumentado en contra de aumentar el número de experimentos aleatorios, a menudo debido a objeciones filosóficas, como la dificultad ética de asignar aleatoriamente a los estudiantes a varios tratamientos cuando los efectos de dichos tratamientos aún no se han determinado. Se sabe que son eficaces [46] o la dificultad de garantizar un control rígido de la variable independiente en entornos escolares reales y fluidos. [47]

En Estados Unidos, el Panel Asesor Nacional de Matemáticas (NMAP) publicó un informe en 2008 basado en estudios, algunos de los cuales utilizaron la asignación aleatoria de tratamientos a unidades experimentales , como aulas o estudiantes. La preferencia del informe NMAP por experimentos aleatorios recibió críticas de algunos académicos. [48] ​​En 2010, What Works Clearinghouse (esencialmente el brazo de investigación del Departamento de Educación ) respondió a la controversia en curso ampliando su base de investigación para incluir estudios no experimentales, incluidos diseños de regresión discontinua y estudios de caso único . [49]

Organizaciones

Ver también

Aspectos de la educación matemática

problemas norteamericanos

Dificultades matemáticas

Referencias

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Otras lecturas

enlaces externos

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