IM 67118 , también conocida como Db 2-146 , es una antigua tablilla de arcilla babilónica de la colección del Museo de Irak que contiene la solución a un problema de geometría plana relativo a un rectángulo con un área y una diagonal determinadas. En la última parte del texto, se demuestra que la solución es correcta utilizando el teorema de Pitágoras . Se cree que los pasos de la solución representan operaciones geométricas de cortar y pegar que implican un diagrama del cual, se ha sugerido, los antiguos mesopotámicos podrían haber derivado, en una época anterior, el teorema de Pitágoras.
La tablilla fue excavada en 1962 en Tell edh-Dhiba'i , un antiguo asentamiento babilónico cerca de la actual Bagdad que alguna vez fue parte del reino de Eshnunna , y fue publicada por Taha Baqir ese mismo año. [1] [2] Data aproximadamente de 1770 a. C. (según la cronología media ), durante el reinado de Ibal-pi-el II , quien gobernó Eshnunna al mismo tiempo que Hammurabi gobernó Babilonia . [3] La tableta mide 11,5 × 6,8 × 3,3 cm (4½" x 2¾" x 1¼"). [4] Su idioma es el acadio , escrito en escritura cuneiforme . Hay 19 líneas de texto en el anverso de la tableta y seis en su El reverso también contiene un diagrama que consta del rectángulo del problema y una de sus diagonales. A lo largo de esa diagonal está escrita su longitud en notación sexagesimal ; el área del rectángulo está escrita en la región triangular debajo de la diagonal .
En lenguaje matemático moderno, el problema planteado en la tableta es el siguiente: un rectángulo tiene área A = 0,75 y diagonal c = 1,25. ¿Cuáles son las longitudes a y b de los lados del rectángulo?
Se puede entender que la solución se desarrolla en dos etapas: en la etapa 1, la cantidad se calcula en 0,25. En la etapa 2, se utiliza el método bien comprobado de la antigua Babilonia para completar el cuadrado para resolver lo que efectivamente es el sistema de ecuaciones b − a = 0,25, ab = 0,75. [6] Geométricamente, este es el problema de calcular las longitudes de los lados de un rectángulo cuya área A y diferencia de longitud de los lados b − a son conocidas, lo cual era un problema recurrente en las matemáticas de la antigua Babilonia. [7] En este caso se encuentra que b = 1 y a = 0,75. El método de solución sugiere que quienquiera que ideó la solución estaba usando la propiedad c 2 − 2 A = c 2 − 2 ab = ( b − a ) 2 . Sin embargo, hay que destacar que la notación moderna para ecuaciones y la práctica de representar parámetros e incógnitas mediante letras eran inauditas en la antigüedad. Ahora es ampliamente aceptado, como resultado del extenso análisis de Jens Høyrup del vocabulario de las matemáticas de la antigua Babilonia, que detrás de los procedimientos en textos como IM 67118 había un conjunto de operaciones geométricas estándar de cortar y pegar, no un álgebra simbólica. . [8] [9]
Del vocabulario de la solución Høyrup deduce que c 2 , el cuadrado de la diagonal, debe entenderse como un cuadrado geométrico, del cual se debe "cortar", es decir, quitar un área igual a 2 A , dejando un cuadrado con lado b − a . Høyrup sugiere que el cuadrado de la diagonal posiblemente se formó haciendo cuatro copias del rectángulo, cada una girada 90°, y que el área 2 A era el área de los cuatro triángulos rectángulos contenidos en el cuadrado de la diagonal. El resto es el pequeño cuadrado en el centro de la figura. [10]
El procedimiento geométrico para calcular las longitudes de los lados de un rectángulo de área A dada y diferencia de longitud de los lados b − a fue transformar el rectángulo en un gnomon de área A cortando una pieza rectangular de dimensiones a× ½( b − a ) y pegando esta pieza en el costado del rectángulo. Luego, el gnomon se completó hasta formar un cuadrado añadiéndole un cuadrado más pequeño de lado ½( b − a ). [11] [7] En este problema, el lado del cuadrado completado se calcula como . Luego, la cantidad ½( b − a )=0,125 se suma al lado horizontal del cuadrado y se resta del lado vertical. Los segmentos de línea resultantes son los lados del rectángulo deseado. [11]
Una dificultad para reconstruir los diagramas geométricos de la antigua Babilonia es que las tablillas conocidas nunca incluyen diagramas en las soluciones (incluso en soluciones geométricas donde se describen construcciones explícitas en el texto), aunque los diagramas a menudo se incluyen en las formulaciones de problemas. Høyrup sostiene que la geometría de cortar y pegar se habría realizado en algún medio distinto de la arcilla, tal vez en arena o en un "ábaco de polvo", al menos en las primeras etapas de la formación de un escriba antes de que se desarrollara la facilidad mental con el cálculo geométrico. desarrollado. [12] [13]
Friberg describe algunas tablillas que contienen dibujos de "figuras dentro de figuras", incluida la MS 2192, en la que la banda que separa dos triángulos equiláteros concéntricos se divide en tres trapecios. Escribe: " La idea de calcular el área de una banda triangular como el área de una cadena de trapecios es una variación de la idea de calcular el área de una banda cuadrada como el área de una cadena de cuatro rectángulos. Esta es una solución simple. idea, y es probable que fuera conocida por los matemáticos de la antigua Babilonia, aunque aún no se ha encontrado ningún texto matemático cuneiforme donde esta idea entre de manera explícita". Sostiene que esta idea está implícita en el texto de IM 67118. [14] También invita a una comparación con el diagrama de YBC 7329, en el que se muestran dos cuadrados concéntricos. La banda que separa los cuadrados no está subdividida en cuatro rectángulos en esta tablilla, pero el valor numérico del área de uno de los rectángulos sí aparece junto a la figura. [15]
La solución b = 1, a = 0,75 se demuestra correcta calculando las áreas de cuadrados con las longitudes de los lados correspondientes, sumando estas áreas y calculando la longitud de los lados del cuadrado con el área resultante, es decir, tomando el cuadrado raíz. Esta es una aplicación del teorema de Pitágoras, y el resultado concuerda con el valor dado, c = 1,25. [11] [16] Que el área también sea correcta se verifica calculando el producto, ab . [11]
La siguiente traducción está hecha por Britton, Proust y Shnider y se basa en la traducción de Høyrup, [17] que a su vez se basa en la copia manual y la transliteración de Baqir, [18] con algunas pequeñas correcciones. Los números sexagesimales babilónicos se traducen a notación decimal con dígitos de base 60 separados por comas. Por tanto, 1,15 significa 1 + 15/60 = 5/4 = 1,25. Tenga en cuenta que no había un "punto sexagesimal" en el sistema babilónico, por lo que la potencia general de 60 multiplicando un número tenía que inferirse del contexto. La traducción es "conforme", que, como la describe Eleanor Robson , "implica traducir consistentemente términos técnicos babilónicos con palabras o neologismos existentes en inglés que coincidan lo más posible con los significados originales"; también conserva el orden de las palabras en acadio . [9] Las antiguas matemáticas babilónicas usaban diferentes palabras para la multiplicación dependiendo del contexto geométrico subyacente y de manera similar para las otras operaciones aritméticas. [19]
Anverso
- Si sobre un (rectángulo con) diagonal, (alguien) te pregunta
- así, 1,15 la diagonal, 45 la superficie;
- ¿Largo y ancho correspondientes a qué? Usted, por su procedimiento,
- 1,15, su diagonal, su contraparte establece:
- hazlos aguantar: 1,33,45 aparece,
- 1,33,45 puede (?) tu (?) mano sostener (?)
- 45 tu superficie a dos traer: 1,30 sube.
- De 1,33,45 cortado: 3,45 [20] el resto.
- Se toma el lado igual a 3,45: sale 15. Su media parte,
- Sube 7,30, sube a 7,30: sube 56,15
- 56,15 tu mano. 45 tu superficie sobre tu mano,
- Aparece 45,56,15. El lado igual de 45,56,15 toma:
- 52,30 sube, 52,30 su contraparte se acuesta,
- 7,30 que has retenido a uno
- agregar: de uno
- cortar. 1 tu largo, 45 el ancho. Si 1 es la longitud,
- 45 ¿A qué corresponde el ancho, la superficie y la diagonal?
- (Tú por tu) fabricación, la longitud haz que se mantenga:
- (Surge 1...) que tu cabeza aguante.
Contrarrestar
- [...]: 45, el ancho, hacer espera:
- Sale 33,45. A su longitud agregue:
- Aparece 1,33,45. El lado igual de 1,33,45 toma:
- Sale 1,15. 1,15 tu diagonal. tu longitud
- al ancho subir, 45 tu superficie.
- De ahí el procedimiento. [21]
El planteamiento del problema se proporciona en las líneas 1 a 3, la etapa 1 de la solución en las líneas 3 a 9, la etapa 2 de la solución en las líneas 9 a 16 y la verificación de la solución en las líneas 16 a 24. Tenga en cuenta que "1,15 su diagonal, su contraparte se coloca: haga que se mantengan" significa formar un cuadrado colocando copias perpendiculares de la diagonal, el "lado igual" es el lado de un cuadrado o la raíz cuadrada de su área. , "que tu cabeza sostenga" significa recordar, y "tu mano" puede referirse a "una almohadilla o un dispositivo de cálculo". [11]
El problema 2 de la tableta MS 3971 de la colección Schøyen , publicada por Friberg, es idéntico al problema de IM 67118. La solución es muy similar pero se procede sumando 2 A a c 2 , en lugar de restarlo. El lado del cuadrado resultante es igual a b + a = 1,75 en este caso. El sistema de ecuaciones b + a = 1,75, ab = 0,75 se resuelve nuevamente completando el cuadrado. MS 3971 no contiene ningún diagrama y no realiza el paso de verificación. Su lenguaje es "conciso" y utiliza muchos logogramas sumerios en comparación con el "detallado" IM 67118, que está en acadio silábico. [22] Friberg cree que este texto proviene de Uruk, en el sur de Irak , y lo fecha antes de 1795 a.C. [23]
Friberg señala un problema similar en un papiro demótico egipcio del siglo III a. C., P. Cairo , problemas 34 y 35, publicado por Parker en 1972. [24] Friberg también ve una posible conexión con la explicación de AA Vaiman de una entrada en el Antiguo Tabla babilónica de constantes TMS 3, que dice "57 36, constante del šàr". Vaiman señala que el signo cuneiforme de šàr se asemeja a una cadena de cuatro triángulos rectángulos dispuestos en un cuadrado, como en la figura propuesta. El área de dicha cadena es 24/25 (igual a 57 36 en sexagesimal) si se suponen 3-4-5 triángulos rectángulos con hipotenusa normalizada a longitud 1. [24] Høyrup escribe que el problema de IM 67118 "aparece, resuelto precisamente de la misma manera, en un manual hebreo de 1116 d.C.". [25]
Aunque el problema en IM 67118 se refiere a un rectángulo específico, cuyos lados y diagonal forman una versión escalada del triángulo rectángulo 3-4-5, el lenguaje de la solución es general y generalmente especifica el papel funcional de cada número tal como está. usado. En la última parte del texto, se ve una formulación abstracta en algunos lugares, sin hacer referencia a valores particulares ("la longitud hace que se mantenga", "Tu longitud al ancho aumenta"). Høyrup ve en esto "un rastro inequívoco de la 'regla pitagórica' en una formulación abstracta". [26]
Se desconoce la manera de descubrir la regla pitagórica, pero algunos estudiosos ven un posible camino en el método de solución utilizado en IM 67118. La observación de que al restar 2 A de c 2 se obtiene ( b − a ) 2 sólo es necesario aumentarla con a Reordenamiento geométrico de áreas correspondientes a a 2 , b 2 y −2 A = −2 ab para obtener una prueba de reordenamiento de la regla, una que es bien conocida en los tiempos modernos y que también se sugiere en el siglo III d.C. en el comentario de Zhao Shuang. sobre el antiguo chino Zhoubi Suanjing ( Gnomon de los Zhou ). [27] [24] [28] [29] La formulación de la solución en MS 3971, problema 2, al no tener áreas restadas, proporciona una derivación posiblemente aún más sencilla. [27] [30]
Høyrup propone la hipótesis, basada en parte en similitudes entre problemas planteados que reaparecen en una amplia gama de épocas y lugares y en el lenguaje y el contenido numérico de dichos problemas, de que gran parte del material matemático de los escribas de la antigua Babilonia fue importado de la tradición práctica de los topógrafos. , donde la resolución de acertijos se utilizaba como insignia de habilidad profesional. Høyrup cree que esta cultura de agrimensores sobrevivió a la desaparición de la cultura de los escribas de la antigua Babilonia que resultó de la conquista hitita de Mesopotamia a principios del siglo XVI a. C. y que influyó en las matemáticas de la antigua Grecia, de Babilonia durante el período seléucida, del imperio islámico, y de la Europa medieval. [31] Entre los problemas que Høyrup atribuye a esta tradición práctica de topógrafos se encuentran varios problemas de rectángulos que requieren completar el cuadrado, incluido el problema de IM 67118. [32] Sobre la base de que no se conocen referencias del tercer milenio a. C. a la regla pitagórica, y que la formulación de IM 67118 ya está adaptada a la cultura de los escribas, escribe Høyrup: " A juzgar sólo por esta evidencia, es probable que la regla pitagórica fuera descubierta en el entorno de los topógrafos legos, posiblemente como una consecuencia del problema tratado en Db 2-146 , en algún momento entre 2300 y 1825 a.C." [33] Así, se demuestra que la regla que lleva el nombre de Pitágoras , que nació alrededor del 570 a. C. y murió c.495 a. C., [34] fue descubierta unos 12 siglos antes de su nacimiento. [ cita necesaria ]
Las fechas de la vida [de Pitágoras] no pueden fijarse exactamente, pero suponiendo que la afirmación de Aristoxenus (ap. Porph. VP 9) de que abandonó Samos para escapar de la tiranía de Polícrates a la edad de cuarenta años sea aproximadamente correcta, podemos poner su nacimiento alrededor del 570 a. C., o unos años antes. En la antigüedad se estimaba de diversas formas la duración de su vida, pero se acepta que vivió hasta una edad bastante avanzada y, muy probablemente, murió alrededor de los setenta y cinco u ochenta años.
