El Papiro Matemático de Rhind ( RMP ; también designado como papiro Museo Británico 10057 y pBM 10058) es uno de los ejemplos más conocidos de las matemáticas del antiguo Egipto . Lleva el nombre de Alexander Henry Rhind , un anticuario escocés , que compró el papiro en 1858 en Luxor, Egipto ; aparentemente fue encontrado durante excavaciones ilegales en o cerca del Ramesseum . Data de alrededor del 1550 a.C. [1] El Museo Británico, donde ahora se conserva la mayor parte del papiro, lo adquirió en 1865 junto con el Rollo de cuero matemático egipcio , también propiedad de Henry Rhind. [2] Hay algunos fragmentos pequeños conservados en el Museo de Brooklyn en la ciudad de Nueva York [3] [4] y falta una sección central de 18 cm (7,1 pulgadas). Es uno de los dos Papiros Matemáticos más conocidos junto con el Papiro Matemático de Moscú . El Papiro de Rhind es más grande que el Papiro Matemático de Moscú, mientras que este último es más antiguo. [3]
El Papiro Matemático de Rhind data del Segundo Período Intermedio de Egipto . Fue copiado por el escriba Ahmes (es decir, Ahmose; Ahmes es una transcripción más antigua favorecida por los historiadores de las matemáticas), de un texto ahora perdido del reinado del rey Amenemhat III ( dinastía XII ). Escrito en escritura hierática , este manuscrito egipcio mide 33 cm (13 pulgadas) de alto y consta de múltiples partes que en total suman más de 5 m (16 pies) de largo. El papiro comenzó a transliterarse y traducirse matemáticamente a finales del siglo XIX. El aspecto de la traducción matemática sigue siendo incompleto en varios aspectos. El documento está fechado en el año 33 del rey hicso Apophis y también contiene una nota histórica posterior separada en su reverso que probablemente data del período ("Año 11") de su sucesor, Khamudi . [5]
En los párrafos iniciales del papiro, Ahmes presenta el papiro como un "cálculo preciso para investigar las cosas y el conocimiento de todas las cosas, los misterios... todos los secretos". Él continúa con:
Este libro fue copiado en el año de reinado 33, mes 4 de Akhet , bajo la majestad del rey del Alto y Bajo Egipto, Awserre, dado vida, a partir de una copia antigua hecha en tiempos del rey del Alto y Bajo Egipto Nimaatre. El escriba Ahmose escribe esta copia. [2]
Se han publicado varios libros y artículos sobre el Papiro Matemático de Rhind, y algunos de ellos se destacan. [3] El Papiro Rhind fue publicado en 1923 por Peet y contiene una discusión del texto que siguió al esquema de los Libros I, II y III de Griffith. [6] Chace publicó un compendio en 1927-29 que incluía fotografías del texto. [7] Robins y Shute publicaron en 1987 una descripción más reciente del papiro de Rhind.
La primera parte del papiro Rhind consta de tablas de referencia y una colección de 21 problemas aritméticos y 20 algebraicos. Los problemas comienzan con expresiones fraccionarias simples, seguidas de problemas de finalización ( sekem ) y ecuaciones lineales más complicadas ( problemas ajá ). [3]
La primera parte del papiro la ocupa la tabla 2/ n . Las fracciones 2/ n para n impares que van del 3 al 101 se expresan como sumas de fracciones unitarias . Por ejemplo, . La descomposición de 2/ n en fracciones unitarias nunca tiene más de 4 términos como, por ejemplo, en .
A esta tabla le sigue una tabla mucho más pequeña de expresiones fraccionarias para los números del 1 al 9 divididos por 10. Por ejemplo, la división de 7 por 10 se registra como:
Después de estas dos tablas, el papiro registra 91 problemas en total, que los modernos han designado como problemas (o números) del 1 al 87, incluidos otros cuatro elementos que han sido designados como problemas 7B, 59B, 61B y 82B. Los problemas 1 a 7, 7B y 8 a 40 tratan de aritmética y álgebra elemental.
Los problemas 1 a 6 calculan las divisiones de una cierta cantidad de hogazas de pan entre 10 hombres y registran el resultado en fracciones unitarias. Los problemas del 7 al 20 muestran cómo multiplicar las expresiones 1 + 1/2 + 1/4 = 7/4 y 1 + 2/3 + 1/3 = 2 por diferentes fracciones. Los problemas 21 a 23 son problemas de finalización, que en notación moderna son simplemente problemas de resta. Los problemas 24 a 34 son problemas tipo "ajá"; estas son ecuaciones lineales . El problema 32, por ejemplo, corresponde (en notación moderna) a resolver x + 1/3 x + 1/4 x = 2 para x. Los problemas 35 a 38 implican divisiones del heqat, que es una unidad de volumen del antiguo Egipto. A partir de este punto, diversas unidades de medida se vuelven mucho más importantes a lo largo del resto del papiro y, de hecho, una consideración importante en el resto del papiro es el análisis dimensional . Los problemas 39 y 40 calculan la división de panes y usan progresiones aritméticas . [2]
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La segunda parte del papiro de Rhind, que son los problemas 41 a 59, 59B y 60, consta de problemas de geometría . Peet se refirió a estos problemas como "problemas de medición". [3]
Los problemas 41 a 46 muestran cómo encontrar el volumen de graneros cilíndricos y rectangulares. En el problema 41, Ahmes calcula el volumen de un granero cilíndrico. Dado el diámetro d y la altura h, el volumen V viene dado por:
En notación matemática moderna (y usando d = 2r) esto da . El término fraccionario 256/81 aproxima el valor de π a 3,1605..., un error de menos del uno por ciento.
El problema 47 es una tabla con igualdades fraccionarias que representan las diez situaciones en las que la cantidad de volumen físico de "100 heqats cuádruples" se divide por cada uno de los múltiplos de diez, del diez al cien. Los cocientes se expresan en términos de fracciones del ojo de Horus , a veces también utilizando una unidad de volumen mucho más pequeña conocida como "ro cuádruple". El cuádruple heqat y el cuádruple ro son unidades de volumen derivadas de los más simples heqat y ro, de modo que estas cuatro unidades de volumen satisfacen las siguientes relaciones: 1 cuádruple heqat = 4 heqat = 1280 ro = 320 cuádruple ro. De este modo,
Los problemas 48 a 55 muestran cómo calcular una variedad de áreas . El problema 48 es notable porque calcula de manera sucinta el área de un círculo aproximando π . Específicamente, el problema 48 refuerza explícitamente la convención (utilizada en toda la sección de geometría) de que "el área de un círculo es igual a la de su cuadrado circunscrito en la proporción 64/81". De manera equivalente, el papiro aproxima π a 256/81, como ya se señaló anteriormente en la explicación del problema 41.
Otros problemas muestran cómo encontrar el área de rectángulos, triángulos y trapecios.
Los últimos seis problemas están relacionados con las pendientes de las pirámides . Un problema buscado se informa de la siguiente manera: [8]
La solución al problema se da como la relación entre la mitad del lado de la base de la pirámide y su altura, o la relación entre el recorrido y la elevación de su cara. En otras palabras, la cantidad encontrada para el seked es la cotangente del ángulo formado por la base de la pirámide y su cara. [8]
La tercera parte del papiro de Rhind consta del resto de los 91 problemas, siendo 61, 61B, 62–82, 82B, 83–84 y los "números" 85–87, que son elementos que no son de naturaleza matemática. Esta sección final contiene tablas de datos más complicadas (que frecuentemente involucran fracciones del ojo de Horus), varios problemas de pefsu que son problemas algebraicos elementales relacionados con la preparación de alimentos, e incluso un problema divertido (79) que sugiere progresiones geométricas, series geométricas y ciertos Problemas y acertijos posteriores de la historia. El problema 79 cita explícitamente "siete casas, 49 gatos, 343 ratones, 2401 espigas de espelta, 16807 hekats". En particular, el problema 79 se refiere a una situación en la que en siete casas hay siete gatos cada una, los cuales comen siete ratones, cada uno de los cuales habría comido siete espigas de grano, cada una de las cuales habría producido siete medidas de grano. La tercera parte del papiro de Rhind es, por tanto, una especie de miscelánea que se basa en lo que ya se ha presentado. El problema 61 se refiere a multiplicaciones de fracciones. Mientras tanto, el problema 61B proporciona una expresión general para calcular 2/3 de 1/n, donde n es impar. En notación moderna la fórmula dada es
La técnica dada en 61B está estrechamente relacionada con la derivación de la tabla 2/n.
Los problemas 62 a 68 son problemas generales de naturaleza algebraica. Los problemas 69 a 78 son todos problemas pefsu de una forma u otra. Implican cálculos sobre la fortaleza del pan y la cerveza, con respecto a determinadas materias primas utilizadas en su producción. [2]
El problema 79 suma cinco términos en una progresión geométrica . Su lenguaje sugiere fuertemente el acertijo y la canción infantil más modernos " Como iba a St Ives ". [3] Los problemas 80 y 81 calculan las fracciones del ojo de Horus de hinu (o heqats). Los últimos cuatro elementos matemáticos, los problemas 82, 82B y 83-84, calculan la cantidad de alimento necesaria para varios animales, como aves y bueyes. [2] Sin embargo, estos problemas, especialmente el 84, están plagados de ambigüedad generalizada, confusión y simple inexactitud.
Los últimos tres elementos del papiro de Rhind se designan como "números" 85 a 87, a diferencia de "problemas", y se encuentran ampliamente dispersos en el reverso o reverso del papiro. Son, respectivamente, una pequeña frase que finaliza el documento (y que tiene algunas posibilidades de traducción, que se detallan a continuación), un trozo de papel no relacionado con el cuerpo del documento, que se utiliza para mantenerlo unido (aunque contiene palabras y fracciones egipcias). que ya son familiares para el lector del documento), y una pequeña nota histórica que se cree que fue escrita algún tiempo después de completar el cuerpo escrito del papiro. Se cree que esta nota describe acontecimientos durante la " dominación hicsa ", un período de interrupción externa en la sociedad del antiguo Egipto que está estrechamente relacionado con su segundo período intermedio. Con estas erratas no matemáticas pero histórica y filológicamente intrigantes, la escritura del papiro llega a su fin.
Gran parte del material del Papiro Rhind se refiere a las unidades de medida del Antiguo Egipto y especialmente al análisis dimensional utilizado para convertir entre ellas. En la imagen se muestra una concordancia de las unidades de medida utilizadas en el papiro.
Esta tabla resume el contenido del Papiro Rhind mediante una paráfrasis moderna y concisa. Se basa en la exposición en dos volúmenes del papiro que fue publicada por Arnold Buffum Chace en 1927 y 1929. [7] En general, el papiro consta de cuatro secciones: una página de título, la tabla 2/n, una pequeña "tabla 1–9/10" y 91 problemas o "números". Estos últimos están numerados del 1 al 87 e incluyen cuatro elementos matemáticos que los modernos han designado como problemas 7B, 59B, 61B y 82B. Los números 85 a 87, por su parte, no son elementos matemáticos que formen parte del cuerpo del documento, sino que son respectivamente: una pequeña frase que finaliza el documento, un trozo de "papel de desecho" que se utiliza para mantener unido el documento (que ya contiene escrito no relacionado), y una nota histórica que se cree que describe un período de tiempo poco después de la finalización del cuerpo del papiro. Estos tres últimos elementos están escritos en áreas dispares del reverso (parte posterior) del papiro, lejos del contenido matemático. Por lo tanto, Chace los diferencia al diseñarlos como números en lugar de problemas , como los otros 88 elementos numerados.
![{\displaystyle V=\left[\right(1-1/9\left)d\right]^{2}h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f5a3a40effc46bd46f4a32c16e30c2b66959210)
