Por lo general, los instructores preparan a los estudiantes con ejemplos resueltos : se plantea el ejercicio y luego se proporciona una respuesta modelo. A menudo se muestran varios ejemplos resueltos antes de que los estudiantes estén preparados para intentar realizar los ejercicios por su cuenta. Algunos textos, como los de Schaum's Outlines , se centran en ejemplos resueltos en lugar de en el tratamiento teórico de un tema matemático.
Descripción general
Según Lev Vygotsky , los ejercicios apropiados se encuentran en una zona donde los estudiantes pueden completar la tarea con orientación.
En la escuela primaria, los estudiantes comienzan con ejercicios aritméticos de un solo dígito . Posteriormente, la mayoría de los ejercicios involucran al menos dos dígitos. Un ejercicio común en álgebra elemental requiere la factorización de polinomios . Otro ejercicio es completar el cuadrado en un polinomio cuadrático . Un problema escrito producido artificialmente es un género de ejercicio destinado a mantener las matemáticas relevantes. Stephen Leacock describió este tipo: [1]
El estudiante de aritmética que ha dominado las primeras cuatro reglas de su arte y se ha esforzado exitosamente con sumas y fracciones se encuentra enfrentado a una extensión ininterrumpida de preguntas conocidas como problemas. Se trata de historias cortas de aventuras e industria en las que se omite el final y, aunque delatan un fuerte parecido familiar, no están exentas de un cierto elemento de romance.
Los estudiantes deben dominar el tema relevante y los ejercicios son apropiados para eso. Pero si los ejercicios de memoria son el único tipo de problemas que los estudiantes ven en sus clases, les estamos haciendo un flaco favor.
Abogó por plantear retos:
Por "problemas reales"... me refiero a tareas matemáticas que plantean un desafío honesto al estudiante y en las que el estudiante necesita trabajar para obtener una solución.
Marvin Bittinger expresó un sentimiento similar cuando preparó la segunda edición [3] de su libro de texto:
En respuesta a los comentarios de los usuarios, los autores han agregado ejercicios que requieren del estudiante algo más que una comprensión de los objetivos inmediatos de la lección en cuestión, pero que no son necesariamente un gran desafío.
La zona de desarrollo próximo de cada estudiante, o cohorte de estudiantes, establece los ejercicios en un nivel de dificultad que los desafía pero no los frustra.
Algunos comentarios en el prefacio de un libro de texto de cálculo [4] muestran el lugar central de los ejercicios en el libro:
Los ejercicios ocupan aproximadamente una cuarta parte del texto (en nuestra opinión, la parte más importante del texto). ... Los ejercicios complementarios al final de cada capítulo amplían los otros conjuntos de ejercicios y proporcionan ejercicios acumulativos que requieren habilidades de capítulos anteriores.
Este texto incluye "Funciones y gráficos en aplicaciones" (Cap. 0.6), que consta de catorce páginas de preparación para problemas planteados.
Los autores de un libro sobre campos finitos eligieron sus ejercicios libremente: [5]
Para realzar el atractivo de este libro como libro de texto , hemos incluido ejemplos resueltos en puntos apropiados del texto y hemos incluido listas de ejercicios para los Capítulos 1 a 9. Estos ejercicios van desde problemas de rutina hasta demostraciones alternativas de teoremas clave. , pero que también contiene material que va más allá de lo tratado en el texto.
Como matemáticos realizamos ciertas operaciones mentales sobre los símbolos de números o cantidades y, avanzando paso a paso desde operaciones más simples a operaciones más complejas, podemos expresar la misma cosa en muchas formas diferentes. La equivalencia de estas diferentes formas, aunque es una consecuencia necesaria de axiomas evidentes por sí mismos, no siempre lo es, en nuestra opinión, evidente por sí misma; pero el matemático, que gracias a una larga práctica se ha familiarizado con muchas de estas formas y se ha vuelto experto en los procesos que conducen de una a otra, puede a menudo transformar una expresión desconcertante en otra que explique su significado en un lenguaje más inteligible.
Los profesores individuales de varias universidades utilizan ejercicios como parte de sus cursos de matemáticas. Al investigar la resolución de problemas en las universidades, Schoenfeld señaló: [7]
Ofertas de división superior para estudiantes de matemáticas, donde en su mayor parte los estudiantes trabajaban en colecciones de problemas que habían sido compilados por sus instructores individuales. En tales cursos se hacía hincapié en aprender haciendo, sin un intento de enseñar heurísticas específicas: los estudiantes resolvieron muchos problemas porque (según el modelo de instrucción implícito detrás de tales cursos) así es como uno se vuelve bueno en matemáticas.
Dichas colecciones de ejercicios pueden ser propiedad del instructor y de su institución. Como ejemplo del valor de las series de ejercicios, considere el logro de Toru Kumon y su método Kumon . En su programa, un estudiante no avanza antes de dominar cada nivel de ejercicio. En la Escuela Rusa de Matemáticas , los estudiantes comienzan a resolver problemas de varios pasos desde el primer grado, aprendiendo a aprovechar resultados anteriores para avanzar hacia la solución.
En la década de 1960, WH Freeman and Company tradujo del ruso y publicó colecciones de ejercicios matemáticos : The URSS Olympiad Problem Book (1962), [8] Problems in Higher Algebra (1965), [9] y Problems in Differential Equations (1963). ). [10]
Aproximadamente en el año 980, Al-Sijzi escribió su libro Ways of Making Easy the Derivation of Geometrical Figures , que fue traducido y publicado por Jan Hogendijk en 1996. [12]
Una colección de ejercicios en árabe recibió una traducción al español como Compendio de Álgebra de Abenbéder y se revisó en Nature . [13]
En primer lugar, era casi toda exposición con muy pocos ejercicios. Este último adquirió importancia en los siglos XVIII y XIX. Como comparación, podríamos mirar otro best seller, a saber, Tutor's Assistant de Walkingame , publicado por primera vez en 1751, del cual el 70 por ciento estaba dedicado a ejercicios, frente a aproximadamente el 1 por ciento de Recorde. La inclusión de ejercicios fue uno de los avances posteriores más significativos en los libros de texto de aritmética, y fue paralelo al desarrollo de la educación cuando los profesores comenzaron a utilizar los libros de texto como fuente de ejercicios. Recorde escribía principalmente para aquellos que estaban aprendiendo por sí mismos, eruditos que no tendrían a nadie que comprobara sus respuestas a los ejercicios.
En Europa antes de 1900, la ciencia de la perspectiva gráfica enmarcaba ejercicios geométricos. Por ejemplo, en 1719 Brook Taylor escribió en Nuevos principios de perspectiva lineal
[El Lector] encontrará mucho más placer en observar cuán extensos son estos Principios, aplicándolos a Casos particulares que él mismo ideará, mientras se ejercita en este Arte,... [15]
taylor continuó
...pues la verdadera y mejor manera de aprender cualquier Arte, es no ver muchos Ejemplos realizados por otra Persona; sino poseer primero sus Principios y luego familiarizarlos ejercitándose en la Práctica. [dieciséis]
El uso de pizarras para escribir en las escuelas proporcionó un formato temprano para los ejercicios. El crecimiento de los programas de ejercicio siguió a la introducción de exámenes escritos y estudios basados en lápiz y papel.
...un curso de "matemáticas especiales". Se trata de una concentración extraordinariamente fuerte de educación matemática (hasta 16 horas por semana), en la que se estudian a fondo la geometría analítica elemental y la mecánica, y recientemente también el cálculo infinitesimal, y se convierten en herramientas de dominio seguro mediante numerosos ejercicios.
Sylvestre Lacroix fue un profesor y expositor talentoso. Su libro sobre geometría descriptiva utiliza secciones denominadas "Problema" para ejercitar la comprensión del lector. En 1816 escribió Ensayos sobre la enseñanza en general y sobre la enseñanza de las matemáticas en particular, que enfatizaban la necesidad de ejercitar y probar:
El examinador, obligado, a corto plazo, a multiplicar sus preguntas lo suficiente como para cubrir los temas que plantea, a la mayor parte de la materia enseñada, no puede ser menos minucioso, ya que si, para abreviar, deja de lado las solicitudes, De esta manera no se ganará nada para las facultades de los alumnos. [18]
Andrew Warwick ha llamado la atención sobre la cuestión histórica de los ejercicios:
La inclusión de ejercicios y problemas ilustrativos al final de los capítulos en los libros de texto de física matemática es ahora tan común que parece poco excepcional, pero es importante apreciar que este recurso pedagógico es de origen relativamente reciente y se introdujo en un contexto histórico específico. [19] : 168
Ese aprendizaje acumulativo y competitivo también lo lograron de manera más efectiva los tutores privados que utilizaban clases individuales, manuscritos especialmente preparados y ejemplos y problemas calificados, que los profesores universitarios que impartían clases numerosas al ritmo de los mediocres. [19] : 79
Al explicar la relación entre examen y ejercicio, escribe
...en la década de 1830, eran los problemas de los exámenes, más que los ejercicios de los libros de texto, los que definían el estándar al que aspiraban los estudiantes ambiciosos...[los estudiantes de Cambridge] no sólo esperaban encontrar su camino a través del más mínimo esbozo de un ejemplo. , pero se les enseñó a considerar tales ejercicios como una preparación útil para abordar problemas difíciles en los exámenes. [19] : 152
Al explicar cómo se arraigó la reforma, Warwick escribió:
En Cambridge se creía ampliamente que la mejor manera de enseñar matemáticas, incluidos los nuevos métodos analíticos, era a través de ejemplos y problemas prácticos y, a mediados de la década de 1830, algunos miembros de la primera generación de jóvenes universitarios a quienes se les había enseñado análisis superior. De esta manera comenzaron a realizar sus propias investigaciones y a ser nombrados examinadores del Tripos. [19] : 155
Warwick informa que en Alemania, Franz Ernst Neumann casi al mismo tiempo "desarrolló un sistema común de ejercicios graduados que introducía a los estudiantes a una jerarquía de habilidades y técnicas matemáticas esenciales, y... comenzó a construir sus propios conjuntos de problemas a través de los cuales sus estudiantes podían aprender su oficio." [19] : 174
En Rusia, Stephen Timoshenko reformó la instrucción en torno a ejercicios. En 1913 enseñaba resistencia de materiales en la Universidad Estatal de Medios de Comunicación de Petersburgo . Como escribió en 1968,
En el Instituto no se impartían ejercicios [prácticos] y en los exámenes a los estudiantes sólo se les planteaban preguntas teóricas del libro de texto adoptado. Tenía que poner fin a este tipo de enseñanza lo antes posible. Los estudiantes entendieron claramente la situación, se dieron cuenta de la necesidad de una mejor asimilación del tema y no se opusieron al fuerte aumento de su carga de trabajo. La principal dificultad la planteaban los profesores o, más exactamente, los examinadores, que estaban acostumbrados a basar sus exámenes en el libro. Poner problemas prácticos en los exámenes complicaba su trabajo. Eran personas de edad avanzada... la única esperanza era incorporar a la enseñanza a gente más joven. [20]
^ Alan H. Schoenfeld (1988) "Resolución de problemas", (ver página 85), capítulo 5 de Educación matemática en escuelas secundarias y universidades de dos años por Paul J. Campbell y Louis S. Grinstein, Garland Publishing, ISBN 0-8240 -8522-1
^ R. Lidl y H. Niederreitter (1986) Introducción a los campos finitos y sus aplicaciones , página viii, Cambridge University Press
^ JC Maxwell (1890) Artículos científicos de James Clerk Maxwell, volumen 2, editor de WD Niven , página 216, a través de Internet Archive
^ Schoenfeld 1988 p.82
^ DO Shklansky, NN Chetzov e IM Yaglom , traducido por John Maykovich, revisado por Irving Sussman, The URSS Olympiad Problem Book , WH Freeman and Company
^ DK Faddeev & IS Sominski, traducido por Joel Lee Brenner (1965) Problemas en álgebra superior , WH Freeman & Company
^ Aleksei Fedorovich Filippov , traductor y editor JL Brenner (1963,6) Problemas en ecuaciones diferenciales , WH Freeman
^ Jan Hogendijk (1996) Las formas de facilitar la derivación de figuras geométricas por Al-Sijzi
^ GB Mathews (1917) Compendio de Álgebra de Abenbéder de Nature 98:466,7 (#2465).
^ John Denniss y Fenny Smith, "Robert Recorde and his notable Arithmetic", páginas 25 a 38 en Gareth Roberts & Fenny Smith (editores) (2012) Robert Recorde: The Life and Times of a Tudor Mathematician , Cardiff: University of Wales Press ISBN 978-0-7083-2526-1
^ Brook Taylor (1719) Nuevos principios de la perspectiva lineal , Prefacio, p vi, como se encuentra en Kirsti Andersen (1992) Trabajo de Brook Taylor sobre la perspectiva lineal , p. 152, Springer, ISBN 0-387-97486-5
^ Taylor pág. vii, Andersen pág.153
^ Felix Klein , traductor de M. Ackerman (1979) Desarrollo de las matemáticas en el siglo XIX , p. 59, Math Sci Press
^ SF Lacroix (1816) Essais sur l'enseignement en general, et sur celui des mathematiques en particulier , página 201
Vladimir Arnold (2004) Ejercicios para estudiantes de 5 a 15 años en la plataforma IMAGINARY
James Alfred Ewing (1911) Ejemplos de matemáticas, mecánica, navegación y astronomía náutica, calor y vapor, electricidad, para uso de oficiales subalternos a flote de Internet Archive .
Jim Hefferon y otros (2004)Álgebra lineal en Wikilibros
Álgebra lineal en Wikilibros