En educación científica , un problema planteado es un ejercicio matemático (como en un libro de texto , hoja de trabajo o examen ) donde se presenta información importante sobre el problema en lenguaje común en lugar de en notación matemática . Como la mayoría de los problemas planteados implican algún tipo de narrativa , a veces se les denomina problemas de historia y pueden variar en la cantidad de lenguaje técnico utilizado.
Un problema verbal típico:
Tess pinta dos tablas de una cerca cada cuatro minutos, pero Allie puede pintar tres tablas cada dos minutos. Si hay 240 tablas en total, ¿cuántas horas les tomará pintar la cerca, trabajando juntas?
Los problemas planteados como los anteriores se pueden examinar a través de cinco etapas:
Primero es necesario abordar las propiedades lingüísticas de un problema planteado. Para comenzar el proceso de solución, primero hay que entender qué plantea el problema y qué tipo de solución será la respuesta. En el problema anterior, es necesario examinar las palabras "minutos", "total", "horas" y "juntos".
El siguiente paso es visualizar lo que podría significar la solución a este problema. Para nuestro problema planteado, la solución podría visualizarse examinando si el número total de horas será mayor o menor que si estuviera expresado en minutos. Además, se debe determinar si las dos niñas terminarán a un ritmo más rápido o más lento si trabajan juntas.
Después de esto, se debe planificar un método de solución utilizando términos matemáticos. Un esquema para analizar las propiedades matemáticas es clasificar las cantidades numéricas del problema en cantidades conocidas (valores dados en el texto), cantidades deseadas (valores por encontrar) y cantidades auxiliares (valores encontrados como etapas intermedias del problema). Esto se encuentra en las secciones "Variables" y "Ecuaciones" anteriores.
A continuación, los procesos matemáticos deben aplicarse al proceso de solución formulado. Por ahora, esto se hace únicamente en el contexto matemático.
Finalmente, se debe visualizar nuevamente la solución propuesta y determinar si la solución parece tener sentido para el contexto realista del problema. Después de visualizar si es razonable, se puede trabajar para analizar más a fondo y establecer conexiones entre conceptos matemáticos y problemas realistas. [1]
La importancia de estos cinco pasos en la formación docente se analiza al final de la siguiente sección.
Los problemas escritos comúnmente incluyen preguntas de modelado matemático , donde se brindan datos e información sobre un determinado sistema y se requiere que un estudiante desarrolle un modelo. Por ejemplo:
Como las habilidades de desarrollo de los estudiantes en todos los grados varían, la relevancia para los estudiantes y la aplicación de los problemas planteados también varía. El primer ejemplo es accesible para estudiantes de primaria y puede usarse para enseñar el concepto de resta . El segundo ejemplo sólo puede resolverse utilizando conocimientos geométricos , específicamente el de la fórmula para el volumen de un cilindro con un radio y una altura determinados , y requiere una comprensión del concepto de " tasa ".
Existen numerosas habilidades que se pueden desarrollar para aumentar la comprensión y la fluidez de los estudiantes en la resolución de problemas planteados. Los dos tallos principales de estas habilidades son las habilidades cognitivas y las habilidades académicas relacionadas. El dominio cognitivo consta de habilidades como el razonamiento no verbal y la velocidad de procesamiento . Ambas habilidades funcionan para fortalecer muchos otros campos del pensamiento. Otras habilidades cognitivas incluyen la comprensión del lenguaje , la memoria de trabajo y la atención . Si bien estos no tienen el único propósito de resolver problemas matemáticos, cada uno de ellos afecta la capacidad de resolver dichos problemas matemáticos. Por ejemplo, si la persona que resuelve el problema matemático tiene una comprensión limitada del idioma (inglés, español, etc.), es más probable que ni siquiera entienda lo que plantea el problema. En el ejemplo 1 (arriba), si uno no comprende la definición de la palabra "gastado", malinterpretará todo el propósito del problema verbal. Esto alude a cómo las habilidades cognitivas conducen al desarrollo de los conceptos matemáticos. Algunas de las habilidades matemáticas relacionadas necesarias para resolver problemas planteados son el vocabulario matemático y la comprensión lectora. Esto nuevamente se puede conectar con el ejemplo anterior. Con una comprensión de la palabra "gastado" y el concepto de resta, se puede deducir que este problema verbal relaciona los dos. [2] Esto lleva a la conclusión de que los problemas planteados son beneficiosos en cada nivel de desarrollo, a pesar de que estos dominios variarán según las etapas académicas y de desarrollo.
La discusión en esta sección y la anterior instan a examinar cómo los hallazgos de estas investigaciones pueden afectar la formación docente . Una de las primeras formas es que cuando un maestro comprende la estructura de solución de los problemas planteados, es probable que tenga una mayor comprensión de los niveles de comprensión de sus alumnos. Cada uno de estos estudios de investigación apoyó el hallazgo de que, en muchos casos, los estudiantes no suelen tener dificultades para ejecutar los procedimientos matemáticos. Más bien, la brecha de comprensión proviene de no tener una comprensión firme de las conexiones entre los conceptos matemáticos y la semántica de los problemas realistas. Cuando un maestro examina el proceso de solución de un estudiante, comprender cada uno de los pasos le ayudará a comprender cómo adaptarse mejor a sus necesidades específicas de aprendizaje. Otro aspecto a abordar es la importancia de enseñar y promover múltiples procesos de solución. La fluidez procesal a menudo se enseña sin hacer hincapié en la comprensión conceptual y aplicable. Esto deja a los estudiantes con una brecha entre su comprensión matemática y sus habilidades realistas para resolver problemas. No se discutirán aquí las formas en que los profesores pueden prepararse mejor y promover este tipo de aprendizaje. [1] [3]
La notación moderna que permite expresar simbólicamente las ideas matemáticas se desarrolló en Europa a partir del siglo XVI. Antes de esto, todos los problemas y soluciones matemáticos se escribían con palabras; cuanto más complicado es el problema, más laboriosa y complicada es la explicación verbal.
Se pueden encontrar ejemplos de problemas planteados que se remontan a la época babilónica . Aparte de unos pocos textos de procedimientos para encontrar cosas como raíces cuadradas, la mayoría de los problemas de la antigua Babilonia están formulados en un lenguaje de medición de objetos y actividades cotidianos. Los estudiantes tenían que encontrar longitudes de canales excavados, pesos de piedras, longitudes de cañas rotas, áreas de campos, cantidad de ladrillos utilizados en una construcción, etc.
Las matemáticas del antiguo Egipto también tienen ejemplos de problemas planteados. El Papiro Matemático de Rhind incluye un problema que se puede traducir como:
Hay siete casas; en cada casa hay siete gatos; cada gato mata siete ratones; cada ratón ha comido siete granos de cebada; cada grano habría producido siete hekat . ¿Cuál es la suma de todas las cosas enumeradas?
En tiempos más modernos, la naturaleza a veces confusa y arbitraria de los problemas planteados ha sido objeto de sátira. Gustave Flaubert escribió este disparate problema, hoy conocido como La edad del capitán :
Como ahora estás estudiando geometría y trigonometría, te daré un problema. Un barco navega por el océano. Salió de Boston con un cargamento de algodón. Recauda 200 toneladas. Tiene destino Le Havre. El palo mayor está roto, el grumete está en cubierta, hay 12 pasajeros a bordo, el viento sopla del este-noreste, el reloj marca las tres y cuarto de la tarde. Es el mes de mayo. ¿Cuántos años tiene el capitán?
Los problemas escritos también han sido satirizados en Los Simpson , cuando un problema escrito extenso ("Un tren expreso que viaja a 60 millas por hora sale de Santa Fe con destino a Phoenix, a 520 millas de distancia. Al mismo tiempo, un tren local que viaja a 30 millas por hora transportando 40 pasajeros salen de Phoenix con destino a Santa Fe...") se detiene con un personaje de colegial que en lugar de eso imagina que está en el tren.
Tanto la versión original británica como la estadounidense del programa Winning Lines implican problemas planteados. Sin embargo, los problemas están redactados de manera que no revelen información numérica obvia y, por lo tanto, permitan a los concursantes descubrir las partes numéricas de las preguntas para obtener las respuestas.