Transformada de Fourier

Transformada matemática que expresa una función del tiempo en función de la frecuencia.

Un ejemplo de aplicación de la transformada de Fourier es la determinación de los tonos constituyentes de una forma de onda musical . Esta imagen es el resultado de aplicar una transformada Q constante (una transformada relacionada con Fourier ) a la forma de onda de un acorde de piano de do mayor . Los primeros tres picos de la izquierda corresponden a las frecuencias de la frecuencia fundamental del acorde (C, E, G). Los picos más pequeños restantes son sobretonos de frecuencias más altas de los tonos fundamentales. Un algoritmo de detección de tono podría utilizar la intensidad relativa de estos picos para inferir qué notas presionó el pianista.

En física , ingeniería y matemáticas , la transformada de Fourier ( FT ) es una transformada integral que convierte una función en una forma que describe las frecuencias presentes en la función original. La salida de la transformada es una función de frecuencia de valor complejo . El término transformada de Fourier se refiere tanto a esta función de valores complejos como a la operación matemática . Cuando es necesario hacer una distinción, la transformada de Fourier a veces se denomina representación en el dominio de la frecuencia de la función original. La transformada de Fourier es análoga a descomponer el sonido de un acorde musical en las intensidades de sus tonos constituyentes .

La sinusoide roja se puede describir mediante amplitud máxima (1), pico a pico (2), RMS (3) y longitud de onda (4). Las sinusoides rojas y azules tienen una diferencia de fase de θ .

Las funciones que están localizadas en el dominio del tiempo tienen transformadas de Fourier que se distribuyen en el dominio de la frecuencia y viceversa, un fenómeno conocido como principio de incertidumbre. El caso crítico de este principio es la función gaussiana , de importancia sustancial en la teoría de la probabilidad y la estadística , así como en el estudio de fenómenos físicos que exhiben una distribución normal (p. ej., difusión ). La transformada de Fourier de una función gaussiana es otra función gaussiana. Joseph Fourier introdujo la transformada en su estudio de la transferencia de calor , donde las funciones gaussianas aparecen como soluciones de la ecuación del calor .

La transformada de Fourier se puede definir formalmente como una integral de Riemann impropia , lo que la convierte en una transformada integral, aunque esta definición no es adecuada para muchas aplicaciones que requieren una teoría de integración más sofisticada. ^{[nota 1]} Por ejemplo, muchas aplicaciones relativamente simples utilizan la función delta de Dirac , que puede tratarse formalmente como si fuera una función, pero la justificación requiere un punto de vista matemáticamente más sofisticado. ^{[nota 2]}

La transformada de Fourier también se puede generalizar a funciones de varias variables en el espacio euclidiano , enviando una función de 'espacio de posición' tridimensional a una función de impulso tridimensional (o una función de espacio y tiempo a una función de impulso 4). ). Esta idea hace que la transformada espacial de Fourier sea muy natural en el estudio de las ondas, así como en la mecánica cuántica , donde es importante poder representar las soluciones de las ondas como funciones de la posición o del momento y, a veces, de ambos. En general, las funciones a las que se aplican los métodos de Fourier tienen valores complejos y posiblemente valores vectoriales . ^{[nota 3]} Es posible una generalización aún mayor de funciones en grupos , que, además de la transformada de Fourier original en R o R ⁿ , incluye en particular la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT, grupo = Z ), la transformada de Fourier discreta (DFT, grupo = Z mod N ) y la serie de Fourier o transformada circular de Fourier (grupo = S 1 , el círculo unitario ≈ intervalo finito cerrado con puntos finales identificados). Este último se emplea habitualmente para manejar funciones periódicas . La transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo para calcular la DFT.

Definición

La transformada de Fourier es un proceso de análisis que descompone una función de valores complejos en sus frecuencias constituyentes y sus amplitudes. El proceso inverso es la síntesis , que se recrea a partir de su transformación. ${\displaystyle \textstyle f(x)}$ ${\displaystyle \textstyle f(x)}$

Podemos comenzar con una analogía, la serie de Fourier , que analiza en un intervalo acotado algún número real positivo. Las frecuencias constituyentes son un conjunto discreto de armónicos en frecuencias cuya amplitud y fase están dadas por la fórmula de análisis: ${\displaystyle \textstyle f(x)}$ ${\displaystyle \textstyle x\in [-P/2,P/2],}$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}},n\in \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle c_{n}={\tfrac {1}{P}}\int _{-P/2}^{P/2}f(x)\,e^{-i2\pi {\frac {n}{P}}x}\,dx.}$

La serie de Fourier real es la fórmula de síntesis:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},\quad \textstyle x\in [-P/2,P/2].}$

La analogía para una función se puede obtener formalmente a partir de la fórmula de análisis tomando el límite como , y al mismo tiempo tomando como ^[1] (Kaiser 1994, p. 29), (Rahman 2011, p. 11). Haciendo esto formalmente, obtenemos, para decrecientes rápidamente : ^{[nota 4] [2]} ${\displaystyle \textstyle f(x)}$ ${\displaystyle P\to \infty }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}\to \xi \in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f}$

Transformada de Fourier

Es fácil ver, asumiendo la hipótesis de rápida disminución, que la integral Ec.1 converge para todo real y (usando el lema de Riemann-Lebesgue ) que la función transformada también está rápidamente decreciente. La validez de esta definición para clases de funciones que no necesariamente están decreciendo rápidamente se analiza más adelante en esta sección. ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle f}$

La evaluación de la ecuación 1 para todos los valores de produce la función en el dominio de la frecuencia . El número complejo , en coordenadas polares, transmite tanto la amplitud como la fase de la frecuencia . La interpretación intuitiva de la ecuación 1 es que el efecto de multiplicar por es restar de cada componente de frecuencia de la función ^{[nota 5]} Sólo el componente que estaba en la frecuencia puede producir un valor distinto de cero de la integral infinita, porque (al menos formalmente) todos los demás componentes desplazados son oscilatorios y se integran a cero. (ver § Ejemplo) ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle \xi .}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle e^{-i2\pi \xi x}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle \xi }$

La fórmula de síntesis correspondiente para dicha función es:

transformada inversa

La ecuación 2 es una representación de una suma ponderada de funciones exponenciales complejas. ${\displaystyle f(x)}$

Esto también se conoce como teorema de inversión de Fourier y se introdujo por primera vez en la Teoría analítica del calor de Fourier .^{[3] [4] [5] [6]}

Las funciones y se denominan par de transformada de Fourier . ^[7]   Una notación común para designar pares de transformadas es: ^[8] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

${\displaystyle f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi ),}$   Por ejemplo   ${\displaystyle \operatorname {rect} (x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ \operatorname {sinc} (\xi ).}$

Definición de funciones integrables de Lebesgue

Hasta ahora nos hemos ocupado de funciones de Schwartz, que decaen rápidamente en el infinito, con todas sus derivadas. Esto excluye de la definición muchas funciones de importancia práctica, como la función rect . Una función medible se llama (Lebesgue) integrable si la integral de Lebesgue de su valor absoluto es finita: ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \|f\|_{1}=\int _{\mathbb {R} }|f(x)|\,dx<\infty .}$

Dos funciones medibles son equivalentes si son iguales excepto en un conjunto de medida cero. Se denota el conjunto de todas las clases de equivalencia de funciones integrables . Entonces: ^[9] ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$

Definición  :  la transformada de Fourier de una función integrable de Lebesgue se define mediante la fórmula Ec.1 . ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$

La integral Ec.1 está bien definida para todos debido al supuesto . (Se puede demostrar que la función está acotada y es uniformemente continua en el dominio de la frecuencia y, además, según el lema de Riemann-Lebesgue , es cero en el infinito). ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \|f\|_{1}<\infty }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{\infty }\cap C(\mathbb {R} )}$

Sin embargo, la clase de funciones integrables de Lebesgue no es ideal desde el punto de vista de la transformada de Fourier porque no existe una caracterización sencilla de la imagen y, por tanto, no existe una caracterización sencilla de la transformada inversa.

Unitaridad y definición de funciones cuadradas integrables.

Si bien la ecuación 1 define la transformada de Fourier para funciones (de valores complejos) en , es fácil ver que no está bien definida para otras clases de integrabilidad, lo más importante . Para funciones en , y con las convenciones de la Ec.1 , la transformada de Fourier es un operador unitario con respecto al producto interno de Hilbert en , restringido al subespacio denso de funciones integrables. Por tanto, admite una extensión continua única a un operador unitario en , también llamada transformada de Fourier. Esta extensión es importante en parte porque la transformada de Fourier preserva el espacio de modo que, a diferencia del caso de , la transformada de Fourier y la transformada inversa están en el mismo plano, siendo transformaciones del mismo espacio de funciones consigo mismo. ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{1}\cap L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{1}}$

Es importante destacar que, para las funciones en , la transformada de Fourier ya no viene dada por la ecuación 1 (interpretada como una integral de Lebesgue). Por ejemplo, la función está en pero no , por lo que la integral Ec.1 diverge. En tales casos, la transformada de Fourier se puede obtener explícitamente regularizando la integral y luego pasando a un límite. En la práctica, la integral a menudo se considera una integral impropia en lugar de una integral de Lebesgue adecuada, pero a veces para la convergencia es necesario utilizar un límite débil o un valor principal en lugar de los límites (puntuales) implícitos en una integral impropia. Titchmarsh (1986) y Dym y McKean (1985) ofrecen cada uno tres formas rigurosas de extender la transformada de Fourier a funciones integrables al cuadrado utilizando este procedimiento. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle f(x)=(1+x^{2})^{-1/2}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{1}}$

Las convenciones elegidas en este artículo son las de análisis armónico y se caracterizan como convenciones únicas tales que la transformada de Fourier es unitaria en L ² y un homomorfismo de álgebra de L ¹ a L ^∞ , sin volver a normalizar la medida de Lebesgue. ^[10]

Frecuencia angular (ω)

Cuando la variable independiente ( ) representa el tiempo (a menudo denotada por ), la variable de transformación ( ) representa la frecuencia (a menudo denotada por ). Por ejemplo, si el tiempo se mide en segundos , entonces la frecuencia está en hercios . La transformada de Fourier también se puede escribir en términos de frecuencia angular , cuyas unidades son radianes por segundo. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega =2\pi \xi ,}$

La sustitución en la ecuación 1 produce esta convención, donde la función se reetiqueta ${\displaystyle \xi ={\tfrac {\omega }{2\pi }}}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ ${\displaystyle {\widehat {f_{1}}}:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{3}}}(\omega )&\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega \,x}\,dx={\widehat {f_{1}}}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{3}}}(\omega )\cdot e^{i\omega \,x}\,d\omega .\end{aligned}}}$

A diferencia de la definición de la ecuación 1 , la transformada de Fourier ya no es una transformación unitaria y hay menos simetría entre las fórmulas de la transformada y su inversa. Esas propiedades se restauran dividiendo el factor en partes iguales entre la transformación y su inversa, lo que lleva a otra convención: ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f_{2}}}(\omega )&\triangleq {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\widehat {f_{1}}}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f_{2}}}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}}$

Se pueden crear variaciones de las tres convenciones conjugando el núcleo exponencial complejo de la transformada directa e inversa. Los signos deben ser opuestos.

Ampliación de la definición

Porque , la transformada de Fourier se puede definir mediante la interpolación de Marcinkiewicz . ${\displaystyle 1<p<2}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

La transformada de Fourier se puede definir en dominios distintos de la línea real. La transformada de Fourier en el espacio euclidiano y la transformada de Fourier en grupos localmente abelianos se analizan más adelante en este artículo.

La transformada de Fourier también puede definirse para distribuciones templadas , duales al espacio de funciones rápidamente decrecientes ( funciones de Schwartz ). Una función de Schwartz es una función suave que decae en el infinito, junto con todas sus derivadas. El espacio de funciones de Schwartz se denota por , y su dual es el espacio de distribuciones templadas. Es fácil ver, diferenciando bajo la integral y aplicando el lema de Riemann-Lebesgue, que la transformada de Fourier de una función de Schwartz (definida por la fórmula Ec.1 ) es nuevamente una función de Schwartz. La transformada de Fourier de una distribución templada se define por la dualidad: ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \langle {\widehat {T}},\phi \rangle =\langle T,{\widehat {\phi }}\rangle ;\quad \forall \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ).}$

Existen muchas otras caracterizaciones de la transformada de Fourier. Por ejemplo, se utiliza el teorema de Stone-von Neumann : la transformada de Fourier es el único entrelazador unitario para las representaciones simplécticas y euclidianas de Schrödinger del grupo de Heisenberg .

Fondo

Historia

En 1822, Fourier afirmó (ver Joseph Fourier § La teoría analítica del calor ) que cualquier función, ya sea continua o discontinua, puede expandirse a una serie de senos. ^[11] Ese importante trabajo fue corregido y ampliado por otros para proporcionar la base para las diversas formas de la transformada de Fourier utilizadas desde entonces.

Fig.1 Cuando la función se representa en el plano complejo, el vector formado por sus partes imaginaria y real gira alrededor del origen. Su parte real es una onda sinusoidal. ${\displaystyle A\cdot e^{i2\pi \xi t}}$ ${\displaystyle y(t)}$

Sinusoides complejos

En general, los coeficientes son números complejos, que tienen dos formas equivalentes (ver fórmula de Euler ): ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\underbrace {Ae^{i\theta }} _{\text{polar coordinate form}}=\underbrace {A\cos(\theta )+iA\sin(\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.}$

El producto con ( Ec.2 ) tiene estas formas: ${\displaystyle e^{i2\pi \xi x}}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )\cdot e^{i2\pi \xi x}=Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi \xi x}=\underbrace {Ae^{i(2\pi \xi x+\theta )}} _{\text{polar coordinate form}}=\underbrace {A\cos(2\pi \xi x+\theta )+iA\sin(2\pi \xi x+\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.}$

Es de destacar la facilidad con la que se simplificó el producto utilizando la forma polar y con qué facilidad se dedujo la forma rectangular mediante la aplicación de la fórmula de Euler.

Frecuencia negativa

La fórmula de Euler introduce la posibilidad de ecuaciones diferenciales parciales negativas.   Y la ecuación 1 está definida. Solo ciertos valores complejos tienen transformaciones (consulte Señal analítica . Un ejemplo simple es ). Pero la frecuencia negativa es necesaria para caracterizar todos los demás valores complejos que se encuentran en el procesamiento de señales , ecuaciones diferenciales parciales. , radar , óptica no lineal , mecánica cuántica y otros. ${\displaystyle \xi .}$ ${\displaystyle \forall \xi \in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}=0,\ \forall \ \xi <0}$ ${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}\ (\xi _{0}>0).}$ ${\displaystyle f(x),}$

Para una ecuación de valor real, 1 tiene la propiedad de simetría (ver § Conjugación a continuación). Esta redundancia permite que la ecuación 2 distinga de   Pero, por supuesto, no puede decirnos el signo real de porque y son indistinguibles solo en la recta de números reales. ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\widehat {f}}^{*}(\xi )}$ ${\displaystyle f(x)=\cos(2\pi \xi _{0}x)}$ ${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}.}$ ${\displaystyle \xi _{0},}$ ${\displaystyle \cos(2\pi \xi _{0}x)}$ ${\displaystyle \cos(2\pi (-\xi _{0})x)}$

Transformada de Fourier para funciones periódicas

La transformada de Fourier de una función periódica no se puede definir utilizando directamente la fórmula integral. Para que se defina la integral en la ecuación 1 , la función debe ser absolutamente integrable . En cambio es común utilizar series de Fourier . Es posible ampliar la definición para incluir funciones periódicas viéndolas como distribuciones templadas .

Esto permite ver una conexión entre la serie de Fourier y la transformada de Fourier para funciones periódicas que tienen una serie de Fourier convergente . Si es una función periódica , con periodo , que tiene una serie de Fourier convergente, entonces: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot \delta \left(\xi -{\tfrac {n}{P}}\right),}$

donde están los coeficientes de la serie de Fourier y es la función delta de Dirac . En otras palabras, la transformada de Fourier es una función de peine de Dirac cuyos dientes se multiplican por los coeficientes de la serie de Fourier. ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$

Muestreo de la transformada de Fourier

La transformada de Fourier de una función integrable se puede muestrear a intervalos regulares de longitud arbitraria. Estas muestras se pueden deducir de un ciclo de una función periódica que tiene coeficientes de serie de Fourier proporcionales a esas muestras mediante la fórmula de suma de Poisson : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}.}$ ${\displaystyle f_{P}}$

${\displaystyle f_{P}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x+nP)={\frac {1}{P}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad \forall k\in \mathbb {Z} }$

La integrabilidad de asegura que la suma periódica converja. Por tanto, las muestras se pueden determinar mediante análisis de series de Fourier: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)}$

${\displaystyle {\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)=\int _{P}f_{P}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx.}$

Cuando tiene soporte compacto , tiene un número finito de términos dentro del intervalo de integración. Cuando no tiene soporte compacto, la evaluación numérica de requiere una aproximación, como disminuir o truncar el número de términos. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f_{P}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f_{P}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Ejemplo

Las siguientes figuras proporcionan una ilustración visual de cómo la transformada de Fourier mide si una frecuencia está presente en una función particular. La función representada oscila a 3  Hz (si mide segundos) y tiende rápidamente a 0 (el segundo factor en esta ecuación es una función envolvente que da forma a la sinusoide continua en un pulso corto). fue elegido especialmente para tener una transformada de Fourier real que se pueda trazar fácilmente. La primera imagen es su gráfica. Para poder calcular debemos integrar el producto. Las siguientes 2 imágenes son las partes real e imaginaria de ese producto. La parte real del integrando tiene un valor promedio no negativo, porque los signos alternos de y oscilan a la misma velocidad y en la misma fase, mientras que y son la misma velocidad pero en fase ortogonal. El resultado es que cuando integras la parte real del integrando obtienes un número relativamente grande (en este caso ). Además, cuando se intenta medir una frecuencia que no está presente, como en el caso de que observemos que tanto el componente real como el imaginario del producto varían rápidamente entre valores positivos y negativos. Por lo tanto, la integral es muy pequeña y el valor de la transformada de Fourier para esa frecuencia es casi cero. La situación general suele ser más complicada que esto, pero heurísticamente así es como la transformada de Fourier mide qué cantidad de una frecuencia individual está presente en una función. ${\displaystyle f(t)=\cos(2\pi \ 3t)\ e^{-\pi t^{2}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(3)}$ ${\displaystyle f(t)e^{-i2\pi 3t}.}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (e^{-i2\pi 3t})}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (e^{-i2\pi 3t})}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(5),}$ ${\displaystyle \displaystyle f(t).}$

Función original que muestra oscilación de 3 Hz. Partes reales e imaginarias del integrando para la transformada de Fourier a 3 Hz

• 
  Partes reales e imaginarias del integrando para la transformada de Fourier a 5 Hz
• 
  Magnitud de la transformada de Fourier, con 3 y 5 Hz etiquetados.

Para reforzar un punto anterior, la razón de la respuesta en   Hz es que     y     son indistinguibles. La transformada de     tendría solo una respuesta, cuya amplitud es la integral de la envolvente suave:   mientras que   (segundo gráfico arriba) es   ${\displaystyle \xi =-3}$ ${\displaystyle \cos(2\pi 3t)}$ ${\displaystyle \cos(2\pi (-3)t)}$ ${\displaystyle e^{i2\pi 3t}\cdot e^{-\pi t^{2}}}$ ${\displaystyle e^{-\pi t^{2}},}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (f(t)\cdot e^{-i2\pi 3t})}$ ${\displaystyle e^{-\pi t^{2}}(1+\cos(2\pi 6t))/2.}$

Propiedades de la transformada de Fourier

Sea y represente funciones integrables medibles por Lebesgue en la recta real que satisfagan: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\,dx<\infty .}$

Denotamos las transformadas de Fourier de estas funciones como y respectivamente. ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )}$

Propiedades básicas

La transformada de Fourier tiene las siguientes propiedades básicas: ^[12]

Linealidad

${\displaystyle a\ f(x)+b\ h(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ a\ {\widehat {f}}(\xi )+b\ {\widehat {h}}(\xi );\quad \ a,b\in \mathbb {C} }$

Cambio de hora

${\displaystyle f(x-x_{0})\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ e^{-i2\pi x_{0}\xi }\ {\widehat {f}}(\xi );\quad \ x_{0}\in \mathbb {R} }$

Cambio de frecuencia

${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}f(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(\xi -\xi _{0});\quad \ \xi _{0}\in \mathbb {R} }$

Escala de tiempo

${\displaystyle f(ax)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right);\quad \ a\neq 0}$

El caso conduce a la propiedad de inversión del tiempo : ${\displaystyle a=-1}$

${\displaystyle f(-x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(-\xi )}$

Simetría

Cuando las partes real e imaginaria de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares , hay cuatro componentes, indicados a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO. Y hay un mapeo uno a uno entre los cuatro componentes de una función de tiempo compleja y los cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {Time\ domain}}\quad &\ f\quad &=\quad &f_{_{RE}}\quad &+\quad &f_{_{RO}}\quad &+\quad i\ &f_{_{IE}}\quad &+\quad &\underbrace {i\ f_{_{IO}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}\quad &{\widehat {f}}\quad &=\quad &{\widehat {f}}_{RE}\quad &+\quad &\overbrace {i\ {\widehat {f}}_{IO}} \quad &+\quad i\ &{\widehat {f}}_{IE}\quad &+\quad &{\widehat {f}}_{RO}\end{aligned}}}$

De esto se desprenden varias relaciones, por ejemplo :

• La transformada de una función de valor real ( f _RE + f _RO ) es la función simétrica par f̂ _RE + i f̂ _IO . Por el contrario, una transformación simétrica par implica un dominio del tiempo de valor real.
• La transformada de una función con valores imaginarios ( i f _IE + i f _IO ) es la función simétrica impar f̂ _RO + i f̂ _IE , y lo contrario es cierto.
• La transformada de una función simétrica par ( f _RE + if IO ₎ es la función de valor real f̂ _RE + f̂ _RO , y lo contrario es cierto.
• La transformada de una función simétrica impar ( f _RO + i f _IE ) es la función de valor imaginario i f̂ _IE + i f̂ _IO , y lo contrario es cierto.

Conjugación

${\displaystyle {\bigl (}f(x){\bigr )}^{*}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ \left({\widehat {f}}(-\xi )\right)^{*}}$

(Nota : el ∗ denota conjugación compleja ).

En particular, si es real , entonces es incluso simétrico (también conocido como función hermitiana ): ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\bigl (}{\widehat {f}}(\xi ){\bigr )}^{*}.}$

Y si es puramente imaginario, entonces es simétrico impar : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )=-{\widehat {f}}(\xi ).}$

Parte real e imaginaria en el tiempo.

${\displaystyle \operatorname {Re} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2}}\left({\widehat {f}}(\xi )+{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2i}}\left({\widehat {f}}(\xi )-{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)}$

El componente de frecuencia cero.

Sustituyendo en la definición obtenemos: ${\displaystyle \xi =0}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx.}$

La integral de sobre su dominio se conoce como valor promedio o polarización DC de la función. ${\displaystyle f}$

Invertibilidad y periodicidad.

En condiciones adecuadas, la función puede recuperarse de su transformada de Fourier . De hecho, denotar el operador de la transformada de Fourier por , entonces , para funciones adecuadas, aplicar la transformada de Fourier dos veces simplemente invierte la función: , lo que puede interpretarse como "invertir el tiempo". Dado que invertir el tiempo es biperiódico, aplicarlo dos veces produce , por lo que el operador de transformada de Fourier es cuatroperiódico y, de manera similar, la transformada inversa de Fourier se puede obtener aplicando la transformada de Fourier tres veces: . En particular, la transformada de Fourier es invertible (en condiciones adecuadas). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}f:={\hat {f}}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {F}}^{2}f\right)(x)=f(-x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}(f)=f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{3}\left({\hat {f}}\right)=f}$

Más precisamente, al definir el operador de paridad de manera que tenemos: ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(x)=f(-x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{0}&=\mathrm {id} ,\\{\mathcal {F}}^{1}&={\mathcal {F}},\\{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{4}&=\mathrm {id} \end{aligned}}}$

Estas igualdades de operadores requieren una definición cuidadosa del espacio de funciones en cuestión, definiendo la igualdad de funciones (¿igualdad en cada punto? ¿igualdad en casi todas partes ?) y definiendo la igualdad de operadores, es decir, definiendo la topología en el espacio de funciones y el espacio de operadores en pregunta. Estos no son válidos para todas las funciones, pero sí lo son en diversas condiciones, que son el contenido de las diversas formas del teorema de inversión de Fourier .

Esta periodicidad cuádruple de la transformada de Fourier es similar a una rotación del plano de 90°, particularmente porque la iteración doble produce una inversión y, de hecho, esta analogía puede precisarse. Si bien la transformada de Fourier puede interpretarse simplemente como un cambio entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, y la transformada de Fourier inversa los vuelve a cambiar, de manera más geométrica puede interpretarse como una rotación de 90° en el dominio del tiempo-frecuencia (considerando el tiempo como el eje x y frecuencia como eje y ), y la transformada de Fourier se puede generalizar a la transformada fraccionaria de Fourier , que implica rotaciones en otros ángulos. Esto se puede generalizar aún más a transformaciones canónicas lineales , que se pueden visualizar como la acción del grupo lineal especial SL ₂ ( R ) en el plano tiempo-frecuencia, con la forma simpléctica conservada correspondiente al principio de incertidumbre, a continuación. Este enfoque se estudia particularmente en el procesamiento de señales , bajo análisis tiempo-frecuencia .

Unidades

La variable de frecuencia debe tener unidades inversas a las unidades del dominio de la función original (normalmente denominada t o x ). Por ejemplo, si t se mide en segundos, ξ debe estar en ciclos por segundo o hercios . Si la escala de tiempo está en unidades de 2 π segundos, entonces normalmente se usa otra letra griega ω para representar la frecuencia angular (donde ω = 2π ξ ) en unidades de radianes por segundo. Si se utiliza x para unidades de longitud, entonces ξ debe estar en longitud inversa, por ejemplo, números de onda . Es decir, existen dos versiones de la recta real: una que es el rango de t y medida en unidades de t , y la otra que es el rango de ξ y medida en unidades inversas a las unidades de t . Estas dos versiones distintas de la línea real no pueden equipararse entre sí. Por tanto, la transformada de Fourier va de un espacio de funciones a un espacio de funciones diferente: funciones que tienen un dominio de definición diferente.

En general, siempre se debe considerar que ξ es una forma lineal en el espacio de su dominio, es decir, que la segunda recta real es el espacio dual de la primera recta real. Consulte el artículo sobre álgebra lineal para obtener una explicación más formal y más detalles. Este punto de vista se vuelve esencial en las generalizaciones de la transformada de Fourier a grupos de simetría generales , incluido el caso de las series de Fourier.

Que no existe una forma preferida (a menudo se dice "ninguna manera canónica") de comparar las dos versiones de la línea real que están involucradas en la transformada de Fourier: fijar las unidades en una línea no fuerza la escala de las unidades en la otra. la otra línea—es la razón de la plétora de convenciones rivales sobre la definición de la transformada de Fourier. Las diversas definiciones resultantes de diferentes elecciones de unidades difieren por diversas constantes.

En otras convenciones, la transformada de Fourier tiene i en el exponente en lugar de −i , y viceversa para la fórmula de inversión. Esta convención es común en la física moderna ^[13] y es la predeterminada para Wolfram Alpha, y no significa que la frecuencia se haya vuelto negativa, ya que no existe una definición canónica de positividad para la frecuencia de una onda compleja. Simplemente significa que es la amplitud de la onda     en lugar de la onda   (la primera, con su signo menos, se ve a menudo en la dependencia del tiempo para las soluciones de onda plana sinusoidal de la ecuación de la onda electromagnética , o en la dependencia del tiempo para la onda cuántica). funciones ). Muchas de las identidades que involucran la transformada de Fourier siguen siendo válidas en esas convenciones, siempre que todos los términos que involucran explícitamente i lo reemplacen por −i . En ingeniería eléctrica, la letra j se usa normalmente para la unidad imaginaria en lugar de i porque i se usa para corriente. ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle e^{-i2\pi \xi x}}$ ${\displaystyle e^{i2\pi \xi x}}$

Cuando se utilizan unidades adimensionales , es posible que los factores constantes ni siquiera estén escritos en la definición de transformación. Por ejemplo, en teoría de probabilidad , la función característica Φ de la función de densidad de probabilidad f de una variable aleatoria X de tipo continuo se define sin signo negativo en la exponencial, y como se ignoran las unidades de x , tampoco existe 2 π :

${\displaystyle \phi (\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i\lambda x}\,dx.}$

(En teoría de la probabilidad y en estadística matemática, se prefiere el uso de la transformada de Fourier-Stieltjes, porque muchas variables aleatorias no son de tipo continuo y no poseen una función de densidad, y no se deben tratar funciones sino distribuciones , es decir , medidas que poseen "átomos".)

Desde el punto de vista superior de los caracteres de grupo , que es mucho más abstracto, todas estas elecciones arbitrarias desaparecen, como se explicará en la sección posterior de este artículo, que trata la noción de la transformada de Fourier de una función en una abeliana localmente compacta. grupo .

Continuidad uniforme y el lema de Riemann-Lebesgue

La función rectangular es integrable de Lebesgue .

La función sinc , que es la transformada de Fourier de la función rectangular, es acotada y continua, pero no integrable de Lebesgue.

La transformada de Fourier puede definirse en algunos casos para funciones no integrables, pero las transformadas de Fourier de funciones integrables tienen varias propiedades importantes.

La transformada de Fourier f̂ de cualquier función integrable f es uniformemente continua y ^[14]

${\displaystyle \left\|{\hat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}}$

Por el lema de Riemann-Lebesgue , ^[15]

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty .}$

Sin embargo, no es necesario que sea integrable. Por ejemplo, la transformada de Fourier de la función rectangular , que es integrable, es la función sinc , que no es integrable de Lebesgue , porque sus integrales impropias se comportan de manera análoga a la serie armónica alterna , al converger a una suma sin ser absolutamente convergente . ${\displaystyle {\hat {f}}}$

Generalmente no es posible escribir la transformada inversa como una integral de Lebesgue . Sin embargo, cuando tanto f como son integrables, la igualdad inversa ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\xi }\,d\xi }$

se mantiene para casi todos los x . Como resultado, la transformada de Fourier es inyectiva en L ¹ ( R ) .

Teorema de Plancherel y teorema de Parseval

Sean f ( x ) y g ( x ) integrables, y sean f̂ ( ξ ) y ĝ ( ξ ) sus transformadas de Fourier. Si f ( x ) y g ( x ) también son integrables al cuadrado , entonces la fórmula de Parseval es la siguiente: ^[16]

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi ){\overline {{\hat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,}$

donde la barra denota conjugación compleja .

El teorema de Plancherel , que se desprende de lo anterior, establece que ^[17]

${\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi .}$

El teorema de Plancherel permite extender la transformada de Fourier, mediante un argumento de continuidad, a un operador unitario en L ² ( R ) . En L ¹ ( R ) ∩ L ² ( R ) , esta extensión concuerda con la transformada de Fourier original definida en L ¹ ( R ) , ampliando así el dominio de la transformada de Fourier a L ¹ ( R ) + L ² ( R ) (y en consecuencia a L ^p ( R ) para 1 ≤ p ≤ 2 ). El teorema de Plancherel tiene la interpretación en las ciencias de que la transformada de Fourier preserva la energía de la cantidad original. La terminología de estas fórmulas no está del todo estandarizada. El teorema de Parseval se demostró sólo para series de Fourier y fue demostrado por primera vez por Lyapunov. Pero la fórmula de Parseval también tiene sentido para la transformada de Fourier, por lo que, aunque en el contexto de la transformada de Fourier fue demostrada por Plancherel, todavía se la conoce como fórmula de Parseval, o relación de Parseval, o incluso teorema de Parseval.

Véase Dualidad de Pontryagin para obtener una formulación general de este concepto en el contexto de grupos abelianos localmente compactos.

Fórmula de suma de Poisson

La fórmula de suma de Poisson (PSF) es una ecuación que relaciona los coeficientes de la serie de Fourier de la suma periódica de una función con los valores de la transformada continua de Fourier de la función. La fórmula de suma de Poisson dice que para funciones suficientemente regulares f ,

${\displaystyle \sum _{n}{\hat {f}}(n)=\sum _{n}f(n).}$

Tiene una variedad de formas útiles que se derivan de la básica mediante la aplicación de las propiedades de escalado y cambio de tiempo de la transformada de Fourier. La fórmula tiene aplicaciones en ingeniería, física y teoría de números . El dual en el dominio de la frecuencia de la fórmula de suma de Poisson estándar también se denomina transformada de Fourier de tiempo discreto .

La suma de Poisson se asocia generalmente con la física de los medios periódicos, como la conducción de calor en un círculo. La solución fundamental de la ecuación del calor en un círculo se llama función theta . Se utiliza en teoría de números para demostrar las propiedades de transformación de las funciones theta, que resultan ser un tipo de forma modular , y está conectado de manera más general con la teoría de formas automórficas donde aparece en un lado de la fórmula de la traza de Selberg .

Diferenciación

Supongamos que f ( x ) es una función diferenciable absolutamente continua, y que tanto f como su derivada f′ son integrables. Entonces la transformada de Fourier de la derivada viene dada por

${\displaystyle {\widehat {f'\,}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d}{dx}}f(x)\right\}=i2\pi \xi {\hat {f}}(\xi ).}$

De manera más general, la transformación de Fourier de la n- ésima derivada f ^{( n )} viene dada por

${\displaystyle {\widehat {f^{(n)}}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)\right\}=(i2\pi \xi )^{n}{\hat {f}}(\xi ).}$

Analógicamente, entonces ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\hat {f}}(\xi )\right\}=(i2\pi x)^{n}f(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x^{n}f(x)\right\}=\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\hat {f}}(\xi ).}$

Aplicando la transformada de Fourier y utilizando estas fórmulas, algunas ecuaciones diferenciales ordinarias se pueden transformar en ecuaciones algebraicas, que son mucho más fáciles de resolver. Estas fórmulas también dan lugar a la regla general " f ( x ) es suave si y sólo si f̂ ( ξ ) cae rápidamente a 0 para | ξ | → ∞ ". Al usar reglas análogas para la transformada inversa de Fourier, también se puede decir " f ( x ) cae rápidamente a 0 para | x | → ∞ si y sólo si f̂ ( ξ ) es suave".

Teorema de convolución

La transformada de Fourier se traduce entre convolución y multiplicación de funciones. Si f ( x ) y g ( x ) son funciones integrables con transformadas de Fourier f̂ ( ξ ) y ĝ ( ξ ) respectivamente, entonces la transformada de Fourier de la convolución viene dada por el producto de las transformadas de Fourier f̂ ( ξ ) y ĝ ( ξ ) (según otras convenciones para la definición de la transformada de Fourier puede aparecer un factor constante).

Esto significa que si:

${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,}$

donde ∗ denota la operación de convolución, entonces:

${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\,{\hat {g}}(\xi ).}$

En la teoría de sistemas invariantes de tiempo lineal (LTI) , es común interpretar g ( x ) como la respuesta al impulso de un sistema LTI con entrada f ( x ) y salida h ( x ) , ya que sustituyendo el impulso unitario por f ( x ) produce h ( x ) = g ( x ) . En este caso, ĝ ( ξ ) representa la respuesta de frecuencia del sistema.

Por el contrario, si f ( x ) se puede descomponer como el producto de dos funciones cuadradas integrables p ( x ) y q ( x ) , entonces la transformada de Fourier de f ( x ) viene dada por la convolución de las respectivas transformadas de Fourier p̂ ( ξ ) y q̂ ( ξ ) .

Teorema de correlación cruzada

De manera análoga, se puede demostrar que si h ( x ) es la correlación cruzada de f ( x ) y g ( x ) :

${\displaystyle h(x)=(f\star g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}g(x+y)\,dy}$

entonces la transformada de Fourier de h ( x ) es:

${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}\,{\hat {g}}(\xi ).}$

Como caso especial, la autocorrelación de la función f ( x ) es:

${\displaystyle h(x)=(f\star f)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}f(x+y)\,dy}$

para cual

${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )=\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}.}$

Funciones propias

La transformada de Fourier es una transformada lineal que tiene funciones propias que obedecen con ${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=\lambda \psi ,}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} .}$

Se encuentra un conjunto de funciones propias observando que la ecuación diferencial homogénea

${\displaystyle \left[U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+U(x)\right]\psi (x)=0}$

conduce a funciones propias de la transformada de Fourier siempre que la forma de la ecuación permanezca invariante bajo la transformada de Fourier. ^{[nota 6]} En otras palabras, cada solución y su transformada de Fourier obedecen a la misma ecuación. Suponiendo la unicidad de las soluciones, cada solución debe ser, por tanto, una función propia de la transformada de Fourier. La forma de la ecuación permanece sin cambios bajo la transformada de Fourier si se puede expandir en una serie de potencias en la que para todos los términos el mismo factor de cualquiera de ellos surge de los factores introducidos por las reglas de diferenciación al transformar la ecuación diferencial homogénea de Fourier porque este factor puede luego ser cancelado. El permisible más simple conduce a la distribución normal estándar . ^[18] ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}(\xi )}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle U(x)}$ ${\displaystyle \pm 1,\pm i}$ ${\displaystyle i^{n}}$ ${\displaystyle U(x)=x}$

De manera más general, también se encuentra un conjunto de funciones propias observando que las reglas de diferenciación implican que la ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle \left[W\left({\frac {i}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+W(x)\right]\psi (x)=C\psi (x)}$

con constante y siendo una función par no constante permanece invariante en forma cuando se aplica la transformada de Fourier a ambos lados de la ecuación. El ejemplo más sencillo lo proporciona el cual equivale a considerar la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico cuántico . ^[19] Las soluciones correspondientes proporcionan una elección importante de una base ortonormal para L 2 ( R ) y están dadas por las funciones de Hermite del "físico" . De manera equivalente se puede utilizar ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle W(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle W(x)=x^{2}}$

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {n!}}}e^{-\pi x^{2}}\mathrm {He} _{n}\left(2x{\sqrt {\pi }}\right),}$

donde He _n ( x ) son los polinomios de Hermite del "probabilista" , definidos como

${\displaystyle \mathrm {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$

Según esta convención para la transformada de Fourier, tenemos que

${\displaystyle {\hat {\psi }}_{n}(\xi )=(-i)^{n}\psi _{n}(\xi ).}$

En otras palabras, las funciones de Hermite forman un sistema ortonormal completo de funciones propias para la transformada de Fourier en L ² ( R ) . ^{[12] [20]} Sin embargo, esta elección de funciones propias no es única. Porque solo hay cuatro valores propios diferentes de la transformada de Fourier (las raíces cuartas de la unidad ±1 y ± i ) y cualquier combinación lineal de funciones propias con el mismo valor propio da otra función propia. ^[21] Como consecuencia de esto, es posible descomponer L ² ( R ) como una suma directa de cuatro espacios H ₀ , H ₁ , H ₂ y H ₃ donde la transformada de Fourier actúa sobre He _k simplemente multiplicando por Yo ^k . ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {id} }$

Dado que el conjunto completo de funciones de Hermite ψ _n proporciona una resolución de la identidad, diagonalizan el operador de Fourier, es decir, la transformada de Fourier se puede representar mediante una suma de términos ponderados por los valores propios anteriores, y estas sumas se pueden sumar explícitamente:

${\displaystyle {\mathcal {F}}[f](\xi )=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(\xi )~.}$

Este enfoque para definir la transformada de Fourier fue propuesto por primera vez por Norbert Wiener . ^[22] Entre otras propiedades, las funciones de Hermite disminuyen exponencialmente rápido tanto en el dominio de la frecuencia como del tiempo y, por lo tanto, se utilizan para definir una generalización de la transformada de Fourier, es decir, la transformada fraccionaria de Fourier utilizada en el análisis de tiempo-frecuencia. ^[23] En física , esta transformación fue introducida por Edward Condon . ^[24] Este cambio de funciones básicas es posible porque la transformada de Fourier es una transformada unitaria cuando se utilizan las convenciones correctas. En consecuencia, en las condiciones adecuadas se puede esperar que resulte de un generador autoadjunto a través de ^[25] ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=e^{-itN}\psi .}$

El operador es el operador numérico del oscilador armónico cuántico escrito como ^{[26] [27]} ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N\equiv {\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}-1\right).}$

Puede interpretarse como el generador de transformadas fraccionarias de Fourier para valores arbitrarios de t , y de la transformada continua de Fourier convencional para el valor particular con el núcleo de Mehler implementando la transformada activa correspondiente . Las funciones propias de son las funciones de Hermite que, por tanto, también son funciones propias de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle t=\pi /2,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

Al extender la transformada de Fourier a distribuciones, el peine de Dirac también es una función propia de la transformada de Fourier.

Conexión con el grupo Heisenberg

El grupo de Heisenberg es un cierto grupo de operadores unitarios en el espacio de Hilbert L ² ( R ) de funciones cuadradas valoradas complejas integrables f en la recta real, generado por las traslaciones ( T _y f )( x ) = f ( x + y ) y multiplicación por e ^{i 2π ξx} , ( M _ξ f )( x ) = e ^{i 2π ξx} f ( x ) . Estos operadores no conmutan, ya que su conmutador (grupo) está

${\displaystyle \left(M_{\xi }^{-1}T_{y}^{-1}M_{\xi }T_{y}f\right)(x)=e^{i2\pi \xi y}f(x)}$

que es la multiplicación por la constante (independiente de x ) e ^{i 2π ξy} ∈ U (1) (el grupo circular de números complejos de módulo unitario). Como grupo abstracto, el grupo de Heisenberg es el grupo de Lie tridimensional de ternas ( x , ξ , z ) ∈ R ² × U (1) , con la ley del grupo

${\displaystyle \left(x_{1},\xi _{1},t_{1}\right)\cdot \left(x_{2},\xi _{2},t_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},\xi _{1}+\xi _{2},t_{1}t_{2}e^{i2\pi \left(x_{1}\xi _{1}+x_{2}\xi _{2}+x_{1}\xi _{2}\right)}\right).}$

Denota el grupo de Heisenberg por H ₁ . El procedimiento anterior describe no sólo la estructura del grupo, sino también una representación unitaria estándar de H ₁ en un espacio de Hilbert, que denotamos por ρ  : H ₁ → B ( L ² ( R ) ) . Defina el automorfismo lineal de R ² por

${\displaystyle J{\begin{pmatrix}x\\\xi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\xi \\x\end{pmatrix}}}$

de modo que J ² = − I . Este J se puede extender a un automorfismo único de H ₁ :

${\displaystyle j\left(x,\xi ,t\right)=\left(-\xi ,x,te^{-i2\pi \xi x}\right).}$

Según el teorema de Stone-von Neumann , las representaciones unitarias ρ y ρ ∘ j son unitariamente equivalentes, por lo que existe un entrelazador único W ∈ U ( L ² ( R )) tal que

${\displaystyle \rho \circ j=W\rho W^{*}.}$

Este operador W es la transformada de Fourier.

Muchas de las propiedades estándar de la transformada de Fourier son consecuencias inmediatas de este marco más general. ^[28] Por ejemplo, el cuadrado de la transformada de Fourier, W ² , es un entrelazador asociado con J ² = − I , por lo que tenemos ( W ² f )( x ) = f (− x ) es el reflejo de la función original f .

Dominio complejo

La integral de la transformada de Fourier.

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \xi t}f(t)\,dt}$

se puede estudiar para valores complejos de su argumento ξ . Dependiendo de las propiedades de f , esto podría no converger fuera del eje real en absoluto, o podría converger a una función analítica compleja para todos los valores de ξ = σ + iτ , o algo intermedio. ^[29]

El teorema de Paley-Wiener dice que f es suave (es decir, n veces diferenciable para todos los enteros positivos n ) y se soporta de forma compacta si y sólo si f̂ ( σ + iτ ) es una función holomorfa para la cual existe una constante a > 0 tal que para cualquier número entero n ≥ 0 ,

${\displaystyle \left\vert \xi ^{n}{\hat {f}}(\xi )\right\vert \leq Ce^{a\vert \tau \vert }}$

para alguna constante C . (En este caso, f se apoya en [− a , a ] .) Esto se puede expresar diciendo que f̂ es una función entera que está decreciendo rápidamente en σ (para τ fija ) y de crecimiento exponencial en τ (uniformemente en σ ). ^[30]

(Si f no es uniforme, sino sólo L ² , la afirmación sigue siendo válida siempre que n = 0 . ^[31] ) El espacio de tales funciones de una variable compleja se llama espacio de Paley-Wiener. Este teorema se ha generalizado a grupos de Lie semisimples . ^[32]

Si f se apoya en la media línea t ≥ 0 , entonces se dice que f es "causal" porque la función de respuesta al impulso de un filtro físicamente realizable debe tener esta propiedad, ya que ningún efecto puede preceder a su causa. Paley y Wiener demostraron que entonces f̂ se extiende a una función holomorfa en el semiplano inferior complejo τ <0 que tiende a cero cuando τ tiende al infinito. ^[33] Lo contrario es falso y no se sabe cómo caracterizar la transformada de Fourier de una función causal. ^[34]

transformada de Laplace

La transformada de Fourier f̂ ( ξ ) está relacionada con la transformada de Laplace F ( s ) , que también se utiliza para la solución de ecuaciones diferenciales y el análisis de filtros .

Puede suceder que una función f para la cual la integral de Fourier no converge en absoluto en el eje real, tenga sin embargo una transformada de Fourier compleja definida en alguna región del plano complejo .

Por ejemplo, si f ( t ) es de crecimiento exponencial, es decir,

${\displaystyle \vert f(t)\vert <Ce^{a\vert t\vert }}$

para algunas constantes C , a ≥ 0 , entonces ^[35]

${\displaystyle {\hat {f}}(i\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi \tau t}f(t)\,dt,}$

convergente para todos 2π τ < − a , es la transformada de Laplace bilateral de f .

La versión más habitual ("unilateral") de la transformada de Laplace es

${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.}$

Si f también es causal y analítica, entonces: Por lo tanto, extender la transformada de Fourier al dominio complejo significa que incluye la transformada de Laplace como un caso especial en el caso de funciones causales, pero con el cambio de la variable s = i 2π ξ . ${\displaystyle {\hat {f}}(i\tau )=F(-2\pi \tau ).}$

Desde otro punto de vista, quizás más clásico, la transformada de Laplace por su forma implica un término regulador exponencial adicional que le permite converger fuera de la línea imaginaria donde se define la transformada de Fourier. Como tal, puede converger como máximo para series e integrales exponencialmente divergentes, mientras que la descomposición de Fourier original no puede, lo que permite el análisis de sistemas con elementos divergentes o críticos. Dos ejemplos particulares de procesamiento de señales lineales son la construcción de redes de filtros paso todo a partir de filtros de peine críticos y mitigadores mediante cancelación exacta de polo-cero en el círculo unitario. Estos diseños son comunes en el procesamiento de audio, donde se busca una respuesta de fase altamente no lineal, como en la reverberación.

Además, cuando se buscan respuestas de impulso extendidas en forma de pulsos para el trabajo de procesamiento de señales, la forma más fácil de producirlas es tener un circuito que produzca una respuesta temporal divergente y luego cancelar su divergencia mediante una respuesta compensatoria opuesta retrasada. Allí sólo el circuito de retardo intermedio admite una descripción clásica de Fourier, lo cual es fundamental. Ambos circuitos laterales son inestables y no admiten una descomposición de Fourier convergente. Sin embargo, admiten una descripción del dominio de Laplace, con semiplanos de convergencia idénticos en el plano complejo (o en el caso discreto, el plano Z), donde sus efectos se cancelan.

En las matemáticas modernas, la transformada de Laplace se incluye convencionalmente bajo la égida de los métodos de Fourier. Ambos están subsumidos por la idea mucho más general y abstracta de análisis armónico .

inversión

Aún así , si es una analítica compleja para a ≤ τ ≤ b , entonces ${\displaystyle \xi =\sigma +i\tau }$ ${\displaystyle {\widehat {f}}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +ia)e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma =\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +ib)e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma }$

por el teorema integral de Cauchy . Por lo tanto, la fórmula de inversión de Fourier puede utilizar la integración a lo largo de diferentes rectas, paralelas al eje real. ^[36]

Teorema: Si f ( t ) = 0 para t <0 , y | f ( t ) | < Ce ^{a | t |} para algunas constantes C , a > 0 , entonces

${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +i\tau )e^{i2\pi \xi t}\,d\sigma ,}$

para cualquier τ < −a/2π.

Este teorema implica la fórmula de inversión de Mellin para la transformación de Laplace, ^[35]

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{i2\pi }}\int _{b-i\infty }^{b+i\infty }F(s)e^{st}\,ds}$

para cualquier b > a , donde F ( s ) es la transformada de Laplace de f ( t ) .

Las hipótesis pueden debilitarse, como en los resultados de Carleson y Hunt, a f ( t ) e ^{− siendo} L ¹ , siempre que f sea de variación acotada en una vecindad cerrada de t (cf. teorema de Dirichlet-Dini), la El valor de f en t se considera la media aritmética de los límites izquierdo y derecho, y siempre que las integrales se tomen en el sentido de los valores principales de Cauchy. ^[37]

También están disponibles versiones L ² de estas fórmulas de inversión. ^[38]

Transformada de Fourier en el espacio euclidiano

La transformada de Fourier se puede definir en cualquier número arbitrario de dimensiones n . Como ocurre con el caso unidimensional, existen muchas convenciones. Para una función integrable f ( x ) , este artículo toma la definición:

${\displaystyle {\hat {f}}({\boldsymbol {\xi }})={\mathcal {F}}(f)({\boldsymbol {\xi }})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i2\pi {\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} }$

donde x y ξ son vectores n -dimensionales y x · ξ es el producto escalar de los vectores. Alternativamente, ξ puede considerarse como perteneciente al espacio vectorial dual , en cuyo caso el producto escalar se convierte en la contracción de x y ξ , generalmente escrito como ⟨ x , ξ ⟩ . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\star }}$

Todas las propiedades básicas enumeradas anteriormente son válidas para la transformada de Fourier de n dimensiones, al igual que el teorema de Plancherel y Parseval. Cuando la función es integrable, la transformada de Fourier sigue siendo uniformemente continua y se cumple el lema de Riemann-Lebesgue . ^[15]

Principio de incertidumbre

En términos generales, cuanto más concentrada esté f ( x ) , más extendida debe estar su transformada de Fourier f̂ ( ξ ) . En particular, se puede considerar que la propiedad de escala de la transformada de Fourier dice: si comprimimos una función en x , su transformada de Fourier se extiende en ξ . No es posible concentrar arbitrariamente tanto una función como su transformada de Fourier.

El equilibrio entre la compactación de una función y su transformada de Fourier se puede formalizar en la forma de un principio de incertidumbre al considerar una función y su transformada de Fourier como variables conjugadas con respecto a la forma simpléctica en el dominio tiempo-frecuencia : desde el Desde el punto de vista de la transformación canónica lineal , la transformada de Fourier es una rotación de 90 ° en el dominio tiempo-frecuencia y conserva la forma simpléctica .

Supongamos que f ( x ) es una función integrable y integrable al cuadrado . Sin pérdida de generalidad, supongamos que f ( x ) está normalizado:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=1.}$

Del teorema de Plancherel se deduce que f̂ ( ξ ) también está normalizado.

La dispersión alrededor de x = 0 puede medirse mediante la dispersión alrededor de cero ^[39] definida por

${\displaystyle D_{0}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx.}$

En términos de probabilidad, este es el segundo momento de | f ( x ) | ² sobre cero.

El principio de incertidumbre establece que, si f ( x ) es absolutamente continua y las funciones x · f ( x ) y f ′ ( x ) son integrables al cuadrado, entonces ^[12]

${\displaystyle D_{0}(f)D_{0}({\hat {f}})\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}}$.

La igualdad se logra sólo en el caso

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}}\\\therefore {\hat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\xi ^{2}}\end{aligned}}}$

donde σ > 0 es arbitrario y C ₁ =⁴ √ 2/√σ​de modo que f es L ² -normalizado. ^[12] En otras palabras, donde f es una función gaussiana (normalizada) con varianza σ ² /2 π , centrada en cero, y su transformada de Fourier es una función gaussiana con varianza σ ⁻² /2 π .

De hecho, esta desigualdad implica que:

${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }(\xi -\xi _{0})^{2}\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}}$

para cualquier x ₀ , ξ ₀ ∈ R . ^[40]

En mecánica cuántica , las funciones de onda de momento y posición son pares de transformadas de Fourier, dentro de un factor de la constante de Planck . Si se tiene debidamente en cuenta esta constante, la desigualdad anterior se convierte en el enunciado del principio de incertidumbre de Heisenberg . ^[41]

Un principio de incertidumbre más fuerte es el principio de incertidumbre de Hirschman , que se expresa como:

${\displaystyle H\left(\left|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\hat {f}}\right|^{2}\right)\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)}$

donde H ( p ) es la entropía diferencial de la función de densidad de probabilidad p ( x ) :

${\displaystyle H(p)=-\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\log {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx}$

donde los logaritmos pueden estar en cualquier base que sea consistente. La igualdad se logra para una Gaussiana, como en el caso anterior.

Transformadas de seno y coseno

La formulación original de la transformada de Fourier no utilizaba números complejos, sino senos y cosenos. Los estadísticos y otros todavía utilizan este formulario. Una función f absolutamente integrable para la cual se cumple la inversión de Fourier se puede expandir en términos de frecuencias genuinas (evitando frecuencias negativas, que a veces se consideran difíciles de interpretar físicamente ^[42] ) λ por

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}a(\lambda )\cos(2\pi \lambda t)+b(\lambda )\sin(2\pi \lambda t){\bigr )}\,d\lambda .}$

Esto se llama expansión como integral trigonométrica o expansión integral de Fourier. Las funciones de coeficiente a y b se pueden encontrar utilizando variantes de la transformada de coseno de Fourier y la transformada de seno de Fourier (las normalizaciones, nuevamente, no están estandarizadas):

${\displaystyle a(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \lambda t)\,dt}$

y

${\displaystyle b(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \lambda t)\,dt.}$

La literatura más antigua se refiere a las dos funciones de transformada, la transformada del coseno de Fourier, a , y la transformada del seno de Fourier, b .

La función f se puede recuperar de la transformada seno y coseno usando

${\displaystyle f(t)=2\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cos {\bigl (}2\pi \lambda (\tau -t){\bigr )}\,d\tau \,d\lambda .}$

junto con identidades trigonométricas. Esto se conoce como fórmula integral de Fourier. ^{[35] [43] [44] [45]}

Armónicos esféricos

Denotemos por A _k el conjunto de polinomios armónicos homogéneos de grado k en R ⁿ . El conjunto A _k está formado por armónicos esféricos sólidos de grado k . Los armónicos esféricos sólidos desempeñan un papel similar en dimensiones superiores al de los polinomios de Hermite en dimensión uno. Específicamente, si f ( x ) = e ^{−π| x | 2} P ( x ) para algún P ( x ) en A _k , entonces f̂ ( ξ ) = i ^{− k} f ( ξ ) . Sea el conjunto H _k la clausura en L ² ( R ⁿ ) de combinaciones lineales de funciones de la forma f (| x | ) P ( x ) donde P ( x ) está en A _k . El espacio L ² ( R ⁿ ) es entonces una suma directa de los espacios H _k y la transformada de Fourier asigna cada espacio H _k a sí mismo y es posible caracterizar la acción de la transformada de Fourier en cada espacio H _k . ^[15]

Sea f ( x ) = f ₀ (| x |) P ( x ) (con P ( x ) en A _k ), entonces

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=F_{0}(|\xi |)P(\xi )}$

dónde

${\displaystyle F_{0}(r)=2\pi i^{-k}r^{-{\frac {n+2k-2}{2}}}\int _{0}^{\infty }f_{0}(s)J_{\frac {n+2k-2}{2}}(2\pi rs)s^{\frac {n+2k}{2}}\,ds.}$

Aquí J _{( n + 2 k − 2)/2} denota la función de Bessel de primer tipo con ordennorte + 2 k - 2/2. Cuando k = 0 , esto proporciona una fórmula útil para la transformada de Fourier de una función radial. ^[46] Esta es esencialmente la transformada de Hankel . Además, existe una recursión simple que relaciona los casos n + 2 y n ^[47] que permite calcular, por ejemplo, la transformada tridimensional de Fourier de una función radial a partir de una unidimensional.

Problemas de restricción

En dimensiones superiores resulta interesante estudiar problemas de restricción para la transformada de Fourier. La transformada de Fourier de una función integrable es continua y la restricción de esta función a cualquier conjunto está definida. Pero para una función integrable al cuadrado, la transformada de Fourier podría ser una clase general de funciones integrables al cuadrado. Como tal, la restricción de la transformada de Fourier de una función L ² ( R ⁿ ) no se puede definir en conjuntos de medida 0. Todavía es un área activa de estudio para comprender los problemas de restricción en L ^p para 1 < p < 2 . En algunos casos es posible definir la restricción de una transformada de Fourier a un conjunto S , siempre que S tenga una curvatura distinta de cero. El caso en el que S es la esfera unitaria en R ⁿ es de particular interés. En este caso, el teorema de restricción de Tomas- Stein establece que la restricción de la transformada de Fourier a la esfera unitaria en R ⁿ es un operador acotado en L ^p siempre que 1 ≤ p ≤2 norte + 2/norte + 3.

Una diferencia notable entre la transformada de Fourier en 1 dimensión y en dimensiones superiores se refiere al operador de suma parcial. Considere una colección creciente de conjuntos mensurables E _R indexados por R ∈ (0,∞) : como bolas de radio R centradas en el origen, o cubos de lado 2 R. Para una función integrable dada f , considere la función f _R definida por:

${\displaystyle f_{R}(x)=\int _{E_{R}}{\hat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\cdot \xi }\,d\xi ,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Supongamos además que f ∈ L ^p ( R ⁿ ) . Para n = 1 y 1 < p < ∞ , si se toma E _R = (− R , R ) , entonces f _R converge a f en L ^p cuando R tiende al infinito, por la acotación de la transformada de Hilbert . Ingenuamente uno puede esperar que lo mismo sea cierto para n > 1 . En el caso de que E _R se considere un cubo con una longitud de lado R , entonces la convergencia aún se cumple. Otro candidato natural es la bola euclidiana E _R = { ξ  : | ξ | < R } . Para que este operador de suma parcial converja, es necesario que el multiplicador de la bola unitaria esté acotado en L ^p ( R ⁿ ) . Para n ≥ 2 es un célebre teorema de Charles Fefferman que el multiplicador de la bola unitaria nunca está acotado a menos que p = 2 . ^[22] De hecho, cuando p ≠ 2 , esto muestra que no solo f _R no puede converger a f en L ^p , sino que para algunas funciones f ∈ L ^p ( R ⁿ ) , f _R ni siquiera es un elemento de L ^pag .

Transformada de Fourier en espacios funcionales

En espacios L p

En L ¹

La definición de la transformada de Fourier mediante la fórmula integral.

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx}$

es válido para funciones integrables de Lebesgue f ; es decir, f ∈ L ¹ ( R ⁿ ) .

La transformada de Fourier F  : L ¹ ( R ⁿ ) → L ^∞ ( R ⁿ ) es un operador acotado . Esto se desprende de la observación de que

${\displaystyle \left\vert {\hat {f}}(\xi )\right\vert \leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert f(x)\vert \,dx,}$

lo que muestra que su norma de operador está acotada por 1. De hecho, es igual a 1, lo que se puede ver, por ejemplo, en la transformada de la función rect. La imagen de L ¹ es un subconjunto del espacio C ₀ ( R ⁿ ) de funciones continuas que tienden a cero en el infinito (el lema de Riemann-Lebesgue ), aunque no es el espacio completo. De hecho, no existe una caracterización sencilla de la imagen.

En L ²

Dado que las funciones suaves con soporte compacto son integrables y densas en L ² ( R ⁿ ) , el teorema de Plancherel nos permite extender la definición de la transformada de Fourier a funciones generales en L ² ( R ⁿ ) mediante argumentos de continuidad. La transformada de Fourier en L ² ( R ⁿ ) ya no viene dada por una integral de Lebesgue ordinaria, aunque puede calcularse mediante una integral impropia , lo que significa aquí que para una función L ² f ,

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\lim _{R\to \infty }\int _{|x|\leq R}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx}$

donde el límite se toma en el sentido L ² . (De manera más general, se puede tomar una secuencia de funciones que están en la intersección de L ¹ y L ² y que converge a f en la norma L ² , y definir la transformada de Fourier de f como el límite L ² de la norma L 2 transformadas de estas funciones. ^[48] )

Muchas de las propiedades de la transformada de Fourier en L ¹ se trasladan a L ² , mediante un argumento limitante adecuado.

Además, F  : L ² ( R ⁿ ) → L ² ( R ⁿ ) es un operador unitario . ^[49] Para que un operador sea unitario es suficiente demostrar que es biyectivo y preserva el producto interno, por lo que en este caso esto se deriva del teorema de inversión de Fourier combinado con el hecho de que para cualquier f , g ∈ L ² ( R ⁿ ) tenemos

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\mathcal {F}}g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {F}}f(x)g(x)\,dx.}$

En particular, la imagen de L ² ( R ⁿ ) está bajo la transformada de Fourier.

En otros L ^p

La definición de la transformada de Fourier se puede extender a funciones en L ^p ( R ⁿ ) para 1 ≤ p ≤ 2 descomponiendo dichas funciones en una parte de cola gruesa en L ² más una parte de cuerpo grasa en L ¹ . En cada uno de estos espacios, la transformada de Fourier de una función en L ^p ( R ⁿ ) está en L ^q ( R ⁿ ) , donde q =pag/pag -1es el conjugado de Hölder de p (por la desigualdad de Hausdorff-Young ). Sin embargo, excepto p = 2 , la imagen no se caracteriza fácilmente. Otras ampliaciones se vuelven más técnicas. La transformada de Fourier de funciones en L ^p para el rango 2 < p < ∞ requiere el estudio de distribuciones. ^[14] De hecho, se puede demostrar que hay funciones en L ^p con p > 2 de modo que la transformada de Fourier no está definida como una función. ^[15]

Distribuciones templadas

Se podría considerar ampliar el dominio de la transformada de Fourier de L ¹ + L ² considerando funciones generalizadas o distribuciones. Una distribución en R ⁿ es una funcional lineal continua en el espacio C _c ( R ⁿ ) de funciones suaves soportadas de forma compacta, equipada con una topología adecuada. La estrategia es entonces considerar la acción de la transformada de Fourier sobre C _c ( R ⁿ ) y pasar a distribuciones por dualidad. El obstáculo para hacer esto es que la transformada de Fourier no asigna C _c ( R ⁿ ) a C _c ( R ⁿ ) . De hecho, la transformada de Fourier de un elemento en C _c ( R ⁿ ) no puede desaparecer en un conjunto abierto; consulte la discusión anterior sobre el principio de incertidumbre. El espacio derecho aquí es el espacio ligeramente mayor de las funciones de Schwartz . La transformada de Fourier es un automorfismo en el espacio de Schwartz, como espacio vectorial topológico, y por tanto induce un automorfismo en su dual, el espacio de distribuciones templadas. ^[15] Las distribuciones templadas incluyen todas las funciones integrables mencionadas anteriormente, así como funciones de crecimiento polinomial de buen comportamiento y distribuciones de soporte compacto.

Para la definición de la transformada de Fourier de una distribución templada, sean f y g funciones integrables, y sean f̂ y ĝ sus transformadas de Fourier respectivamente. Entonces la transformada de Fourier obedece a la siguiente fórmula de multiplicación, ^[15]

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(x)g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\hat {g}}(x)\,dx.}$

Toda función integrable f define (induce) una distribución T _f por la relación

${\displaystyle T_{f}(\varphi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx}$

para todas las funciones de Schwartz φ . Entonces tiene sentido definir la transformada de Fourier T̂ _f de T _f por

${\displaystyle {\hat {T}}_{f}(\varphi )=T_{f}\left({\hat {\varphi }}\right)}$

para todas las funciones de Schwartz φ . Extendiendo esto a todas las distribuciones templadas T se obtiene la definición general de la transformada de Fourier.

Las distribuciones se pueden diferenciar y la compatibilidad antes mencionada de la transformada de Fourier con la diferenciación y la convolución sigue siendo válida para las distribuciones templadas.

Generalizaciones

Transformada de Fourier-Stieltjes

La transformada de Fourier de una medida finita de Borel μ en R ⁿ viene dada por: ^[50]

${\displaystyle {\hat {\mu }}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i2\pi x\cdot \xi }\,d\mu .}$

Esta transformada sigue disfrutando de muchas de las propiedades de la transformada de Fourier de funciones integrables. Una diferencia notable es que el lema de Riemann-Lebesgue no cumple con las medidas. ^[14] En el caso de que dμ = f ( x ) dx , entonces la fórmula anterior se reduce a la definición habitual para la transformada de Fourier de f . En el caso de que μ sea la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria X , la transformada de Fourier-Stieltjes está estrechamente relacionada con la función característica , pero las convenciones típicas en teoría de probabilidades toman e ^iξx en lugar de e ^{− i 2π ξx} . ^[12] En el caso de que la distribución tenga una función de densidad de probabilidad, esta definición se reduce a la transformada de Fourier aplicada a la función de densidad de probabilidad, nuevamente con una elección diferente de constantes.

La transformada de Fourier se puede utilizar para caracterizar las medidas. El teorema de Bochner caracteriza qué funciones pueden surgir como la transformada de Fourier-Stieltjes de una medida positiva en el círculo. ^[14]

Además, la función delta de Dirac , aunque no es una función, es una medida finita de Borel. Su transformada de Fourier es una función constante (cuyo valor específico depende de la forma de la transformada de Fourier utilizada).

Grupos abelianos localmente compactos

La transformada de Fourier se puede generalizar a cualquier grupo abeliano localmente compacto. Un grupo abeliano localmente compacto es un grupo abeliano que es al mismo tiempo un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto , de modo que la operación del grupo es continua. Si G es un grupo abeliano localmente compacto, tiene una medida invariante de traducción μ , llamada medida de Haar . Para un grupo abeliano localmente compacto G , el conjunto de representaciones unitarias irreducibles, es decir, unidimensionales, se denominan caracteres . Con su estructura de grupo natural y la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos (es decir, la topología inducida por la topología compacta-abierta en el espacio de todas las funciones continuas desde hasta el grupo circular ), el conjunto de caracteres Ĝ es en sí mismo un local grupo abeliano compacto, llamado dual de Pontryagin de G. Para una función f en L ¹ ( G ) , su transformada de Fourier está definida por ^[14] ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{G}\xi (x)f(x)\,d\mu \quad {\text{for any }}\xi \in {\hat {G}}.}$

El lema de Riemann-Lebesgue se cumple en este caso; f̂ ( ξ ) es una función que desaparece en el infinito en Ĝ .

La transformada de Fourier en T = R/Z es un ejemplo; aquí T es un grupo abeliano localmente compacto, y la medida de Haar μ en T puede considerarse como la medida de Lebesgue en [0,1). Considere la representación de T en el plano complejo C que es un espacio vectorial complejo unidimensional. Hay un grupo de representaciones (que son irreducibles ya que C es 1-dim) donde for . ${\displaystyle \{e_{k}:T\rightarrow GL_{1}(C)=C^{*}\mid k\in Z\}}$ ${\displaystyle e_{k}(x)=e^{i2\pi kx}}$ ${\displaystyle x\in T}$

El carácter de tal representación, que es la huella de para cada uno y , es él mismo. En el caso de la representación de un grupo finito, la tabla de caracteres del grupo G son filas de vectores tales que cada fila es el carácter de una representación irreducible de G , y estos vectores forman una base ortonormal del espacio de funciones de clase que se asignan desde G a C por el lema de Schur. Ahora el grupo T ya no es finito sino compacto y conserva la ortonormalidad de la tabla de caracteres. Cada fila de la tabla es la función y el producto interno entre dos funciones de clase (todas las funciones son funciones de clase ya que T es abeliano) se define con el factor de normalización . La secuencia es una base ortonormal del espacio de funciones de clase . ${\displaystyle e_{k}(x)}$ ${\displaystyle x\in T}$ ${\displaystyle k\in Z}$ ${\displaystyle e^{i2\pi kx}}$ ${\displaystyle e_{k}(x)}$ ${\displaystyle x\in T,}$ ${\displaystyle f,g\in L^{2}(T,d\mu )}$ ${\textstyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y){\overline {g}}(y)d\mu (y)}$ ${\displaystyle |T|=1}$ ${\displaystyle \{e_{k}\mid k\in Z\}}$ ${\displaystyle L^{2}(T,d\mu )}$

Para cualquier representación V de un grupo finito G , se puede expresar como el intervalo ( son los irreps de G ), tal que . De manera similar para y , . El dual de Pontriagin es y para , es su transformada de Fourier para . ${\displaystyle \chi _{v}}$ ${\textstyle \sum _{i}\left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle \chi _{v_{i}}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\textstyle \left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{v}(g){\overline {\chi }}_{v_{i}}(g)}$ ${\displaystyle G=T}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(T,d\mu )}$ ${\textstyle f(x)=\sum _{k\in Z}{\hat {f}}(k)e_{k}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}}$ ${\displaystyle \{e_{k}\}(k\in Z)}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(T,d\mu )}$ ${\textstyle {\hat {f}}(k)={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y)e^{-i2\pi ky}dy}$ ${\displaystyle e_{k}\in {\hat {T}}}$

Transformada de Gelfand

La transformada de Fourier es también un caso especial de la transformada de Gelfand . En este contexto particular, está estrechamente relacionado con el mapa de dualidad de Pontryagin definido anteriormente.

Dado un grupo topológico G de Hausdorff abeliano localmente compacto , como antes consideramos el espacio L ¹ ( G ) , definido usando una medida de Haar. Con convolución como multiplicación, L ¹ ( G ) es un álgebra abeliana de Banach . También tiene una involución * dada por

${\displaystyle f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}}.}$

Tomando la terminación con respecto a la norma C * más grande posible se obtiene su álgebra C * envolvente , llamada grupo C * -álgebra C *( G ) de G . (Cualquier norma C * en L ¹ ( G ) está limitada por la norma L ¹ , por lo tanto, su supremo existe).

Dada cualquier C * -álgebra abeliana A , la transformada de Gelfand da un isomorfismo entre A y C ₀ ( A ^) , donde A ^ son los funcionales lineales multiplicativos, es decir, representaciones unidimensionales, en A con la topología débil-*. El mapa está simplemente dado por

${\displaystyle a\mapsto {\bigl (}\varphi \mapsto \varphi (a){\bigr )}}$

Resulta que los funcionales lineales multiplicativos de C *( G ) , después de una identificación adecuada, son exactamente los caracteres de G , y la transformada de Gelfand, cuando se restringe al subconjunto denso L ¹ ( G ) es la transformada de Fourier-Pontryagin.

Grupos compactos no abelianos

La transformada de Fourier también se puede definir para funciones en un grupo no abeliano, siempre que el grupo sea compacto . Eliminando el supuesto de que el grupo subyacente es abeliano, las representaciones unitarias irreducibles no siempre tienen por qué ser unidimensionales. Esto significa que la transformada de Fourier en un grupo no abeliano toma valores como operadores espaciales de Hilbert. ^[51] La transformada de Fourier en grupos compactos es una herramienta importante en la teoría de la representación ^[52] y el análisis armónico no conmutativo .

Sea G un grupo topológico compacto de Hausdorff . Sea Σ la colección de todas las clases de isomorfismo de representaciones unitarias irreducibles de dimensión finita , junto con una elección definida de representación U ^{( σ )} en el espacio de Hilbert H _σ de dimensión finita d _σ para cada σ ∈ Σ . Si μ es una medida finita de Borel en G , entonces la transformada de Fourier-Stieltjes de μ es el operador en H _σ definido por

${\displaystyle \left\langle {\hat {\mu }}\xi ,\eta \right\rangle _{H_{\sigma }}=\int _{G}\left\langle {\overline {U}}_{g}^{(\sigma )}\xi ,\eta \right\rangle \,d\mu (g)}$

donde U ^{( σ )} es la representación compleja conjugada de U ^{( σ )} que actúa sobre H _σ . Si μ es absolutamente continua con respecto a la medida de probabilidad invariante por la izquierda λ en G , representada como

${\displaystyle d\mu =f\,d\lambda }$

para algunos f ∈ L ¹ ( λ ) , se identifica la transformada de Fourier de f con la transformada de Fourier-Stieltjes de μ .

el mapeo

${\displaystyle \mu \mapsto {\hat {\mu }}}$

define un isomorfismo entre el espacio de Banach M ( G ) de medidas finitas de Borel (ver espacio rca ) y un subespacio cerrado del espacio de Banach C _∞ (Σ) que consta de todas las secuencias E = ( E _σ ) indexadas por Σ de (acotado) operadores lineales E _σ  : H _σ → H _σ para los cuales la norma

${\displaystyle \|E\|=\sup _{\sigma \in \Sigma }\left\|E_{\sigma }\right\|}$

es finito. El " teorema de convolución " afirma que, además, este isomorfismo de los espacios de Banach es de hecho un isomorfismo isométrico de C*-álgebras en un subespacio de C _∞ (Σ) . La multiplicación en M ( G ) viene dada por la convolución de medidas y la involución * definida por

${\displaystyle f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}},}$

y C _∞ (Σ) tiene una estructura de álgebra C * natural como operadores espaciales de Hilbert.

El teorema de Peter-Weyl se cumple, y sigue una versión de la fórmula de inversión de Fourier ( teorema de Plancherel ): si f ∈ L ² ( G ) , entonces

${\displaystyle f(g)=\sum _{\sigma \in \Sigma }d_{\sigma }\operatorname {tr} \left({\hat {f}}(\sigma )U_{g}^{(\sigma )}\right)}$

donde la sumatoria se entiende como convergente en el sentido L ² .

La generalización de la transformada de Fourier a la situación no conmutativa también ha contribuido en parte al desarrollo de la geometría no conmutativa . ^{[ cita necesaria ]} En este contexto, una generalización categórica de la transformada de Fourier a grupos no conmutativos es la dualidad Tannaka-Krein , que reemplaza el grupo de caracteres con la categoría de representaciones. Sin embargo, esto pierde la conexión con las funciones armónicas.

Alternativas

En términos de procesamiento de señales , una función (de tiempo) es una representación de una señal con resolución temporal perfecta , pero sin información de frecuencia, mientras que la transformada de Fourier tiene resolución de frecuencia perfecta , pero sin información temporal: la magnitud de la transformada de Fourier en un punto es cuánto contenido de frecuencia hay, pero la ubicación solo viene dada por la fase (argumento de la transformada de Fourier en un punto), y las ondas estacionarias no están localizadas en el tiempo: una onda sinusoidal continúa hasta el infinito, sin decaer. Esto limita la utilidad de la transformada de Fourier para analizar señales localizadas en el tiempo, en particular transitorios , o cualquier señal de extensión finita.

Como alternativas a la transformada de Fourier, en el análisis tiempo-frecuencia , se utilizan transformadas tiempo-frecuencia o distribuciones tiempo-frecuencia para representar señales en una forma que tiene cierta información de tiempo y cierta información de frecuencia; según el principio de incertidumbre, existe un intercambio. entre estos. Estas pueden ser generalizaciones de la transformada de Fourier, como la transformada de Fourier de tiempo corto o la transformada fraccionada de Fourier , u otras funciones para representar señales, como en las transformadas wavelet y chirplet , siendo el análogo wavelet de la transformada de Fourier (continua) el transformada wavelet continua . ^[23]

Aplicaciones

Algunos problemas, como ciertas ecuaciones diferenciales, se vuelven más fáciles de resolver cuando se aplica la transformada de Fourier. En ese caso la solución al problema original se recupera mediante la transformada inversa de Fourier.

Las operaciones lineales realizadas en un dominio (tiempo o frecuencia) tienen operaciones correspondientes en el otro dominio, que a veces son más fáciles de realizar. La operación de diferenciación en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación por la frecuencia, ^{[nota 7]} por lo que algunas ecuaciones diferenciales son más fáciles de analizar en el dominio de la frecuencia. Además, la convolución en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación ordinaria en el dominio de la frecuencia (ver Teorema de convolución ). Después de realizar las operaciones deseadas, se puede realizar la transformación del resultado al dominio del tiempo. El análisis armónico es el estudio sistemático de la relación entre los dominios de frecuencia y tiempo, incluidos los tipos de funciones u operaciones que son "más simples" en uno u otro, y tiene conexiones profundas con muchas áreas de las matemáticas modernas.

Análisis de ecuaciones diferenciales.

Quizás el uso más importante de la transformación de Fourier sea resolver ecuaciones diferenciales parciales . Muchas de las ecuaciones de la física matemática del siglo XIX pueden tratarse de esta manera. Fourier estudió la ecuación del calor, que en una dimensión y en unidades adimensionales es

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial y(x,t)}{\partial t}}.}$

El ejemplo que daremos, un poco más difícil, es la ecuación de onda en una dimensión,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}t}}.}$

Como siempre, el problema no es encontrar una solución: hay infinitas. El problema es el llamado "problema de frontera": encontrar una solución que satisfaga las "condiciones de frontera".

${\displaystyle y(x,0)=f(x),\qquad {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=g(x).}$

Aquí, f y g reciben funciones. Para la ecuación del calor, sólo se puede requerir una condición de contorno (normalmente la primera). Pero para la ecuación de onda, todavía hay infinitas soluciones y que satisfacen la primera condición de frontera. Pero cuando se imponen ambas condiciones, sólo hay una solución posible.

Es más fácil encontrar la transformada de Fourier ŷ de la solución que encontrar la solución directamente. Esto se debe a que la transformación de Fourier convierte la diferenciación en multiplicación por la variable dual de Fourier, por lo que una ecuación diferencial parcial aplicada a la función original se transforma en multiplicación por funciones polinómicas de las variables duales aplicadas a la función transformada. Una vez determinada ŷ , podemos aplicar la transformación de Fourier inversa para encontrar y .

El método de Fourier es el siguiente. Primero, tenga en cuenta que cualquier función de las formas

${\displaystyle \cos {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}{\mbox{ or }}\sin {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}}$

satisface la ecuación de onda. Éstas se llaman soluciones elementales.

En segundo lugar, tenga en cuenta que, por lo tanto, cualquier integral

$${\displaystyle {\begin{aligned}y(x,t)=\int _{0}^{\infty }d\xi {\Bigl [}&a_{+}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+a_{-}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x-t){\bigr )}+{}\\&b_{+}(\xi )\sin {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+b_{-}(\xi )\sin \left(2\pi \xi (x-t)\right){\Bigr ]}\end{aligned}}}$$

satisface la ecuación de onda para arbitrario a ₊ , a ₋ , b ₊ , b ₋ . Esta integral puede interpretarse como una combinación lineal continua de soluciones para la ecuación lineal.

Ahora bien, esto se parece a la fórmula de la síntesis de Fourier de una función. De hecho, esta es la transformada de Fourier inversa real de a _± y b _± en la variable x .

El tercer paso es examinar cómo encontrar las funciones de coeficientes desconocidos específicos a _± y b _± que conducirán a que y satisfaga las condiciones de contorno. Estamos interesados ​​en los valores de estas soluciones en t = 0 . Entonces pondremos t = 0 . Suponiendo que se satisfacen las condiciones necesarias para la inversión de Fourier, podemos encontrar las transformadas seno y coseno de Fourier (en la variable x ) de ambos lados y obtener

${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\cos(2\pi \xi x)\,dx=a_{+}+a_{-}}$

y

${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\sin(2\pi \xi x)\,dx=b_{+}+b_{-}.}$

De manera similar, tomando la derivada de y con respecto a t y luego aplicando las transformaciones de seno y coseno de Fourier se obtiene

${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\sin(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(-a_{+}+a_{-}\right)}$

y

${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\cos(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(b_{+}-b_{-}\right).}$

Estas son cuatro ecuaciones lineales para las cuatro incógnitas a _± y b _± , en términos de las transformadas seno y coseno de Fourier de las condiciones de contorno, que se resuelven fácilmente mediante álgebra elemental, siempre que se puedan encontrar estas transformadas.

En resumen, elegimos un conjunto de soluciones elementales, parametrizadas por ξ , de las cuales la solución general sería una combinación lineal (continua) en forma de integral sobre el parámetro ξ . Pero esta integral tenía la forma de una integral de Fourier. El siguiente paso fue expresar las condiciones de frontera en términos de estas integrales e igualarlas a las funciones dadas f y g . Pero estas expresiones también tomaron la forma de una integral de Fourier debido a las propiedades de la transformada de Fourier de una derivada. El último paso fue explotar la inversión de Fourier aplicando la transformación de Fourier a ambos lados, obteniendo así expresiones para las funciones de coeficientes a _± y b _± en términos de las condiciones de contorno dadas f y g .

Desde un punto de vista más elevado, el procedimiento de Fourier puede reformularse de manera más conceptual. Como hay dos variables, usaremos la transformación de Fourier tanto en x como en t en lugar de operar como lo hizo Fourier, quien solo transformó en las variables espaciales. Tenga en cuenta que ŷ debe considerarse en el sentido de una distribución ya que y ( x , t ) no va a ser L ¹ : como onda, persistirá en el tiempo y, por lo tanto, no es un fenómeno transitorio. Pero será acotada y, por tanto, su transformada de Fourier puede definirse como una distribución. Las propiedades operativas de la transformación de Fourier que son relevantes para esta ecuación son que toma la diferenciación en x para multiplicarla por i 2π ξ y la diferenciación con respecto a t para multiplicarla por i 2π f donde f es la frecuencia. Entonces la ecuación de onda se convierte en una ecuación algebraica en ŷ :

${\displaystyle \xi ^{2}{\hat {y}}(\xi ,f)=f^{2}{\hat {y}}(\xi ,f).}$

Esto equivale a requerir ŷ ( ξ , f ) = 0 a menos que ξ = ± f . De inmediato, esto explica por qué la elección de soluciones elementales que hicimos anteriormente funcionó tan bien: obviamente f̂ = δ ( ξ ± f ) serán soluciones. Aplicando la inversión de Fourier a estas funciones delta, obtenemos las soluciones elementales que elegimos anteriormente. Pero desde un punto de vista superior, no se eligen soluciones elementales, sino que se considera el espacio de todas las distribuciones que se apoyan en la cónica (degenerada) ξ ² − f ² = 0 .

También podemos considerar las distribuciones apoyadas en la cónica que están dadas por las distribuciones de una variable en la recta ξ = f más las distribuciones en la recta ξ = − f de la siguiente manera: si Φ es cualquier función de prueba,

${\displaystyle \iint {\hat {y}}\phi (\xi ,f)\,d\xi \,df=\int s_{+}\phi (\xi ,\xi )\,d\xi +\int s_{-}\phi (\xi ,-\xi )\,d\xi ,}$

donde s ₊ y s ₋ son distribuciones de una variable.

Entonces la inversión de Fourier da, para las condiciones de contorno, algo muy similar a lo que teníamos más concretamente arriba (pongamos Φ ( ξ , f ) = e ^{i 2π( xξ + tf )} , que es claramente de crecimiento polinómico):

${\displaystyle y(x,0)=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )+s_{-}(\xi ){\bigr \}}e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi }$

y

${\displaystyle {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )-s_{-}(\xi ){\bigr \}}i2\pi \xi e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi .}$

Ahora, como antes, al aplicar la transformación de Fourier de una variable en la variable x a estas funciones de x se obtienen dos ecuaciones en las dos distribuciones desconocidas s _± (que pueden considerarse funciones ordinarias si las condiciones de contorno son L ¹ o L ² ).

Desde un punto de vista de cálculo, el inconveniente, por supuesto, es que primero se deben calcular las transformadas de Fourier de las condiciones de contorno, luego ensamblar la solución a partir de ellas y luego calcular una transformada de Fourier inversa. Las fórmulas de forma cerrada son raras, excepto cuando hay alguna simetría geométrica que puede explotarse y los cálculos numéricos son difíciles debido a la naturaleza oscilatoria de las integrales, lo que hace que la convergencia sea lenta y difícil de estimar. Para cálculos prácticos, a menudo se utilizan otros métodos.

El siglo XX ha visto la extensión de estos métodos a todas las ecuaciones diferenciales parciales lineales con coeficientes polinómicos y la extensión de la noción de transformación de Fourier para incluir operadores integrales de Fourier y también algunas ecuaciones no lineales.

Espectroscopia de transformada de Fourier

La transformada de Fourier también se utiliza en resonancia magnética nuclear (RMN) y en otros tipos de espectroscopia , por ejemplo, infrarrojos ( FTIR ). En RMN, se adquiere una señal de desintegración por inducción libre (FID) de forma exponencial en el dominio del tiempo y se transforma mediante Fourier a una forma de línea de Lorentz en el dominio de la frecuencia. La transformada de Fourier también se utiliza en imágenes por resonancia magnética (MRI) y espectrometría de masas .

Mecánica cuántica

La transformada de Fourier es útil en mecánica cuántica al menos de dos maneras diferentes. Para empezar, la estructura conceptual básica de la mecánica cuántica postula la existencia de pares de variables complementarias , conectadas por el principio de incertidumbre de Heisenberg . Por ejemplo, en una dimensión, la variable espacial q de, digamos, una partícula, sólo puede medirse mediante el " operador de posición " de la mecánica cuántica a costa de perder información sobre el momento p de la partícula. Por lo tanto, el estado físico de la partícula puede describirse mediante una función, llamada "función de onda", de q o mediante una función de p pero no mediante una función de ambas variables. La variable p se llama variable conjugada de q . En la mecánica clásica, el estado físico de una partícula (que existe en una dimensión, para simplificar la exposición) se obtendría asignando valores definidos a p y q simultáneamente. Así, el conjunto de todos los estados físicos posibles es el espacio vectorial real bidimensional con un eje p y un eje q llamado espacio de fase .

Por el contrario, la mecánica cuántica elige una polarización de este espacio en el sentido de que elige un subespacio de la mitad de la dimensión, por ejemplo, el eje q solo, pero en lugar de considerar sólo puntos, toma el conjunto de todos los valores complejos. "funciones de onda" en este eje. Sin embargo, elegir el eje p es una polarización igualmente válida, que produce una representación diferente del conjunto de posibles estados físicos de la partícula. Ambas representaciones de la función de onda están relacionadas mediante una transformada de Fourier, de modo que

${\displaystyle \phi (p)=\int dq\,\psi (q)e^{-ipq/h},}$

o equivalente,

${\displaystyle \psi (q)=\int dp\,\phi (p)e^{ipq/h}.}$

Los estados físicamente realizables son L ² y, según el teorema de Plancherel , sus transformadas de Fourier también son L ² . (Tenga en cuenta que, dado que q está en unidades de distancia y p está en unidades de momento, la presencia de la constante de Planck en el exponente hace que el exponente sea adimensional , como debería ser).

Por tanto, la transformada de Fourier se puede utilizar para pasar de una forma de representar el estado de la partícula, mediante una función de onda de posición, a otra forma de representar el estado de la partícula: mediante una función de onda de momento. Son posibles infinitas polarizaciones diferentes y todas son igualmente válidas. Ser capaz de transformar estados de una representación a otra mediante la transformada de Fourier no sólo es conveniente sino también la razón subyacente del principio de incertidumbre de Heisenberg.

El otro uso de la transformada de Fourier tanto en la mecánica cuántica como en la teoría cuántica de campos es resolver la ecuación de onda aplicable. En mecánica cuántica no relativista, la ecuación de Schrödinger para una función de onda variable en el tiempo en una dimensión, no sujeta a fuerzas externas, es

${\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).}$

Esto es lo mismo que la ecuación del calor excepto por la presencia de la unidad imaginaria i . Se pueden utilizar métodos de Fourier para resolver esta ecuación.

En presencia de un potencial, dado por la función de energía potencial V ( x ) , la ecuación queda

${\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).}$

Las "soluciones elementales", como las llamamos anteriormente, son los llamados "estados estacionarios" de la partícula, y el algoritmo de Fourier, como se describió anteriormente, todavía se puede utilizar para resolver el problema del valor límite de la evolución futura de ψ dados sus valores para t = 0 . Ninguno de estos enfoques tiene mucha utilidad práctica en la mecánica cuántica. Los problemas de valores en la frontera y la evolución temporal de la función de onda no tienen mucho interés práctico: son los estados estacionarios los más importantes.

En la mecánica cuántica relativista, la ecuación de Schrödinger se convierte en una ecuación de onda, como era habitual en la física clásica, excepto que se consideran ondas de valores complejos. Un ejemplo sencillo, en ausencia de interacciones con otras partículas o campos, es la ecuación unidimensional libre de Klein-Gordon-Schrödinger-Fock, esta vez en unidades adimensionales,

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+1\right)\psi (x,t)={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t).}$

Esto es, desde el punto de vista matemático, lo mismo que la ecuación de onda de la física clásica resuelta anteriormente (pero con una onda de valor complejo, lo que no supone ninguna diferencia en los métodos). Esto es de gran utilidad en la teoría cuántica de campos: cada componente de Fourier separado de una onda puede tratarse como un oscilador armónico separado y luego cuantificarse, un procedimiento conocido como "segunda cuantificación". Los métodos de Fourier se han adaptado para abordar también interacciones no triviales.

Finalmente, el operador numérico del oscilador armónico cuántico se puede interpretar, por ejemplo a través del núcleo de Mehler , como el generador de la transformada de Fourier . ^[26] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Procesamiento de la señal

La transformada de Fourier se utiliza para el análisis espectral de series temporales. Sin embargo, el tema del procesamiento estadístico de señales no suele aplicar la transformada de Fourier a la señal misma. Incluso si una señal real es realmente transitoria, en la práctica se ha considerado aconsejable modelar una señal mediante una función (o, alternativamente, un proceso estocástico) que sea estacionaria en el sentido de que sus propiedades características sean constantes en todo el tiempo. La transformada de Fourier de dicha función no existe en el sentido habitual y se ha descubierto que es más útil para el análisis de señales tomar la transformada de Fourier de su función de autocorrelación.

La función de autocorrelación R de una función f está definida por

${\displaystyle R_{f}(\tau )=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f(t)f(t+\tau )\,dt.}$

Esta función es función del desfase temporal τ que transcurre entre los valores de f a correlacionar.

Para la mayoría de las funciones f que ocurren en la práctica, R es una función par acotada del retardo τ y para señales ruidosas típicas resulta ser uniformemente continua con un máximo en τ = 0 .

La función de autocorrelación, más propiamente llamada función de autocovarianza a menos que esté normalizada de alguna manera apropiada, mide la fuerza de la correlación entre los valores de f separados por un desfase temporal. Ésta es una forma de buscar la correlación de f con su propio pasado. Es útil incluso para otras tareas estadísticas además del análisis de señales. Por ejemplo, si f ( t ) representa la temperatura en el momento t , se espera una fuerte correlación con la temperatura en un desfase de 24 horas.

Posee una transformada de Fourier,

${\displaystyle P_{f}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }R_{f}(\tau )e^{-i2\pi \xi \tau }\,d\tau .}$

Esta transformada de Fourier se llama función de densidad espectral de potencia de f . (A menos que primero se filtren todos los componentes periódicos de f , esta integral divergerá, pero es fácil filtrar dichas periodicidades).

El espectro de potencia, como lo indica esta función de densidad P , mide la cantidad de varianza aportada a los datos por la frecuencia ξ . En las señales eléctricas, la variación es proporcional a la potencia promedio (energía por unidad de tiempo), por lo que el espectro de potencia describe cuánto contribuyen las diferentes frecuencias a la potencia promedio de la señal. Este proceso se llama análisis espectral de series de tiempo y es análogo al análisis habitual de varianza de datos que no son series de tiempo ( ANOVA ).

Saber qué frecuencias son "importantes" en este sentido es crucial para el diseño adecuado de los filtros y para la evaluación adecuada de los aparatos de medición. También puede resultar útil para el análisis científico de los fenómenos responsables de producir los datos.

El espectro de potencia de una señal también se puede medir aproximadamente directamente midiendo la potencia promedio que queda en una señal después de que se han filtrado todas las frecuencias fuera de una banda estrecha.

El análisis espectral también se lleva a cabo para señales visuales. El espectro de potencia ignora todas las relaciones de fase, lo cual es suficiente para muchos propósitos, pero para señales de video también se deben emplear otros tipos de análisis espectral, utilizando aún la transformada de Fourier como herramienta.

Otras notaciones

Otras notaciones comunes para incluyen: ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$

${\displaystyle {\tilde {f}}(\xi ),\ F(\xi ),\ {\mathcal {F}}\left(f\right)(\xi ),\ \left({\mathcal {F}}f\right)(\xi ),\ {\mathcal {F}}(f),\ {\mathcal {F}}\{f\},\ {\mathcal {F}}{\bigl (}f(t){\bigr )},\ {\mathcal {F}}{\bigl \{}f(t){\bigr \}}.}$

En las ciencias y la ingeniería también es común hacer sustituciones como estas:

${\displaystyle \xi \rightarrow f,\quad x\rightarrow t,\quad f\rightarrow x,\quad {\hat {f}}\rightarrow X.}$

Entonces el par transformado puede convertirse ${\displaystyle f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ {\hat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle x(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ X(f)}$

Una desventaja de la notación con letras mayúsculas es cuando se expresa una transformación como o que se vuelve más incómoda y ${\displaystyle {\widehat {f\cdot g}}}$ ${\displaystyle {\widehat {f'}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\cdot g\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f'\}.}$

En algunos contextos, como la física de partículas, se puede usar el mismo símbolo tanto para una función como para su transformada de Fourier, y las dos solo se distinguen por su argumento . Es decir, se referiría a la transformada de Fourier debido al argumento del momento, mientras que se referiría a la transformada de Fourier debido al argumento del momento. a la función original debido al argumento posicional. Aunque se pueden usar tildes como en para indicar transformadas de Fourier, también se pueden usar para indicar una modificación de una cantidad con una forma más invariante de Lorentz , como por ejemplo , por lo que se debe tener cuidado. De manera similar, a menudo denota la transformada de Hilbert de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(k_{1}+k_{2})}$ ${\displaystyle f(x_{0}+\pi {\vec {r}})}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\tilde {dk}}={\frac {dk}{(2\pi )^{3}2\omega }}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle f}$

La interpretación de la función compleja f̂ ( ξ ) puede facilitarse expresándola en forma de coordenadas polares.

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=A(\xi )e^{i\varphi (\xi )}}$

en términos de las dos funciones reales A ( ξ ) y φ ( ξ ) donde:

${\displaystyle A(\xi )=\left|{\hat {f}}(\xi )\right|,}$

es la amplitud y

${\displaystyle \varphi (\xi )=\arg \left({\hat {f}}(\xi )\right),}$

es la fase (ver función arg ).

Entonces la transformada inversa se puede escribir:

${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }A(\xi )\ e^{i{\bigl (}2\pi \xi x+\varphi (\xi ){\bigr )}}\,d\xi ,}$

que es una recombinación de todos los componentes de frecuencia de f ( x ) . Cada componente es una sinusoide compleja de la forma e ^{2π ixξ} cuya amplitud es A ( ξ ) y cuyo ángulo de fase inicial (en x = 0 ) es φ ( ξ ) .

La transformada de Fourier puede considerarse como un mapeo de espacios funcionales. Este mapeo se denota aquí por F y F ( f ) se usa para denotar la transformada de Fourier de la función f . Este mapeo es lineal, lo que significa que F también puede verse como una transformación lineal en el espacio funcional e implica que la notación estándar en álgebra lineal de aplicar una transformación lineal a un vector (aquí la función f ) se puede usar para escribir F. f en lugar de F ( f ) . Dado que el resultado de aplicar la transformada de Fourier es nuevamente una función, nos puede interesar el valor de esta función evaluado en el valor ξ para su variable, y esto se denota como F f ( ξ ) o como ( F f )( ξ ) . Observe que en el primer caso, se entiende implícitamente que F se aplica primero a f y luego la función resultante se evalúa en ξ , y no al revés.

En matemáticas y diversas ciencias aplicadas, a menudo es necesario distinguir entre una función f y el valor de f cuando su variable es igual a x , denotada por f ( x ) . Esto significa que una notación como F ( f ( x )) formalmente puede interpretarse como la transformada de Fourier de los valores de f en x . A pesar de este defecto, la notación anterior aparece con frecuencia, a menudo cuando se va a transformar una función particular o una función de una variable particular. Por ejemplo,

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {rect} (x){\bigr )}=\operatorname {sinc} (\xi )}$

a veces se usa para expresar que la transformada de Fourier de una función rectangular es una función sinc , o

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}f(x+x_{0}){\bigr )}={\mathcal {F}}{\bigl (}f(x){\bigr )}\,e^{i2\pi x_{0}\xi }}$

se utiliza para expresar la propiedad de desplazamiento de la transformada de Fourier.

Observe que el último ejemplo solo es correcto bajo el supuesto de que la función transformada es una función de x , no de x ₀ .

Como se analizó anteriormente, la función característica de una variable aleatoria es la misma que la transformada de Fourier-Stieltjes de su medida de distribución, pero en este contexto es típico adoptar una convención diferente para las constantes. La función característica típica está definida

${\displaystyle E\left(e^{it\cdot X}\right)=\int e^{it\cdot x}\,d\mu _{X}(x).}$

Como en el caso de la convención anterior de "frecuencia angular no unitaria", el factor de 2 π no aparece ni en la constante de normalización ni en el exponente. A diferencia de cualquiera de las convenciones que aparecen arriba, esta convención toma el signo opuesto en el exponente.

Métodos de cálculo

El método de cálculo apropiado depende en gran medida de cómo se representa la función matemática original y de la forma deseada de la función de salida.

Dado que la definición fundamental de una transformada de Fourier es una integral, las funciones que se pueden expresar como expresiones de forma cerrada comúnmente se calculan trabajando la integral analíticamente para producir como resultado una expresión de forma cerrada en la variable conjugada de la transformada de Fourier. Este es el método utilizado para generar tablas de transformadas de Fourier, ^[53] incluidas las que se encuentran en la siguiente tabla (transformada de Fourier#Tablas de transformadas de Fourier importantes).

Muchos sistemas de álgebra informática, como Matlab y Mathematica , que son capaces de integración simbólica , son capaces de calcular analíticamente transformadas de Fourier. Por ejemplo, para calcular la transformada de Fourier de cos(6π t ) e ^{−π t 2} se podría ingresar el comando integrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(-i*2*pi*f*t) from -inf to infen Wolfram Alpha . ^{[nota 8]}

Integración numérica de funciones de forma cerrada.

Si la función de entrada está en forma cerrada y la función de salida deseada es una serie de pares ordenados (por ejemplo, una tabla de valores a partir de la cual se puede generar un gráfico) en un dominio específico, entonces la transformada de Fourier se puede generar mediante integración numérica. en cada valor de la variable conjugada de Fourier (frecuencia, por ejemplo) para el cual se desea un valor de la variable de salida. ^[54] Tenga en cuenta que este método requiere calcular una integración numérica separada para cada valor de frecuencia para el cual se desea un valor de la transformada de Fourier. ^{[55] [56]} El enfoque de integración numérica funciona en una clase de funciones mucho más amplia que el enfoque analítico, porque produce resultados para funciones que no tienen integrales de transformada de Fourier de forma cerrada.

Integración numérica de una serie de pares ordenados.

Si la función de entrada es una serie de pares ordenados (por ejemplo, una serie de tiempo proveniente de la medición de una variable de salida repetidamente durante un intervalo de tiempo), entonces la función de salida también debe ser una serie de pares ordenados (por ejemplo, un número complejo versus frecuencia). sobre un dominio específico de frecuencias), a menos que se hagan ciertas suposiciones y aproximaciones que permitan aproximar la función de salida mediante una expresión de forma cerrada. En el caso general en el que se supone que las series de entrada disponibles de pares ordenados son muestras que representan una función continua durante un intervalo (amplitud versus tiempo, por ejemplo), la serie de pares ordenados que representan la función de salida deseada se puede obtener mediante integración numérica de los datos de entrada durante el intervalo disponible en cada valor de la variable conjugada de Fourier (frecuencia, por ejemplo) para el cual se desea el valor de la transformada de Fourier. ^[57]

La integración numérica explícita sobre los pares ordenados puede producir el valor de salida de la transformada de Fourier para cualquier valor deseado de la variable de la transformada de Fourier conjugada (frecuencia, por ejemplo), de modo que se pueda producir un espectro con cualquier tamaño de paso deseado y en cualquier rango de variable deseado para determinación precisa de amplitudes, frecuencias y fases correspondientes a picos aislados. A diferencia de las limitaciones de los métodos DFT y FFT, la integración numérica explícita puede tener cualquier tamaño de paso deseado y calcular la transformada de Fourier en cualquier rango deseado de la variable de la transformada de Fourier conjugada (por ejemplo, frecuencia).

Transformadas discretas de Fourier y transformadas rápidas de Fourier

Si los pares ordenados que representan la función de entrada original están igualmente espaciados en su variable de entrada (por ejemplo, pasos de tiempo iguales), entonces la transformada de Fourier se conoce como transformada de Fourier discreta (DFT), que se puede calcular mediante integración numérica explícita, mediante evaluación explícita de la definición DFT o mediante métodos de transformada rápida de Fourier (FFT). A diferencia de la integración explícita de los datos de entrada, el uso de los métodos DFT y FFT produce transformadas de Fourier descritas por pares ordenados de tamaño de paso igual al recíproco del intervalo de muestreo original. Por ejemplo, si los datos de entrada se muestrean cada 10 segundos, la salida de los métodos DFT y FFT tendrá un espaciado de frecuencia de 0,1 Hz.

Tablas de transformadas de Fourier importantes

Las siguientes tablas registran algunas transformadas de Fourier de forma cerrada. Para las funciones f ( x ) y g ( x ) denotamos sus transformadas de Fourier por f̂ y ĝ . Sólo se incluyen las tres convenciones más comunes. Puede resultar útil observar que la entrada 105 proporciona una relación entre la transformada de Fourier de una función y la función original, que puede verse como una relación entre la transformada de Fourier y su inversa.

Relaciones funcionales, unidimensionales.

Las transformadas de Fourier en esta tabla se pueden encontrar en Erdélyi (1954) o Kammler (2000, apéndice).

Funciones integrables al cuadrado, unidimensionales

Las transformadas de Fourier en esta tabla se pueden encontrar en Campbell & Foster (1948), Erdélyi (1954) o Kammler (2000, apéndice).

Distribuciones unidimensionales

Las transformadas de Fourier en esta tabla se pueden encontrar en Erdélyi (1954) o Kammler (2000, apéndice).

Funciones bidimensionales

Fórmulas para funciones generales n -dimensionales.

Ver también

• Procesamiento de señales analógicas
• Tira de Beevers-Lipson
• Transformada de Q constante
• Transformada discreta de Fourier
  • matriz DFT
• Transformada rápida de Fourier
• Operador integral de Fourier
• Teorema de inversión de Fourier
• multiplicador de Fourier
• series de Fourier
• Transformada seno de Fourier
• Transformada de Fourier-Deligne
• Transformada de Fourier-Mukai
• Transformada fraccionaria de Fourier
• Transformada indirecta de Fourier
• transformación integral
  • Transformada de Hankel
  • Transformación de Hartley
• transformada de Laplace
• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• Transformación canónica lineal
• Transformación de Mellin
• Transformación multidimensional
• NGC 4622 , especialmente la imagen NGC 4622 Transformada de Fourier m = 2 .
• Operador no local
• Transformada cuántica de Fourier
• Transformada cuadrática de Fourier
• Transformada de Fourier de corto tiempo
• Densidad espectral
  • Estimación de densidad espectral
• Integración simbólica
• Transformada de Fourier dispersiva de estiramiento de tiempo
• Transformar (matemáticas)

Notas

1. Dependiendo de la aplicación, un enfoque integral de Lebesgue , distributivo u otro puede ser el más apropiado.
2. Vretblad (2000) proporciona una justificación sólida para estos procedimientos formales sin profundizar demasiado en el análisis funcional o la teoría de distribuciones .
3. En la mecánica cuántica relativista se encuentran transformadas de Fourier con valores vectoriales de funciones de onda de múltiples componentes. En la teoría cuántica de campos , las transformadas de Fourier valoradas por el operador de funciones del espacio-tiempo valoradas por el operador se utilizan con frecuencia; véase, por ejemplo, Greiner y Reinhardt (1996).
4. Para este artículo, una función que decrece rápidamente es una función sobre los reales que tiende a cero junto con todas las derivadas como : . Véase función de Schwartz . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f^{(n)}(x)=0,n=0,1,2,\dots }$
5. Una posible fuente de confusión es la propiedad de cambio de frecuencia; es decir, la transformación de la función es.   El valor de esta función en     significa que una frecuencia se ha desplazado a cero (consulte también Frecuencia negativa ). ${\displaystyle f(x)e^{-i2\pi \xi _{0}x}}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi +\xi _{0}).}$ ${\displaystyle \xi =0}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{0}),}$ ${\displaystyle \xi _{0}}$
6. El operador se define reemplazando por en la expansión de Taylor de ${\displaystyle U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle U(x).}$
7. Hasta un factor constante imaginario cuya magnitud depende de la convención de transformada de Fourier que se utilice.
8. El comando directo fourier transform of cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2)también funcionaría para Wolfram Alpha, aunque las opciones para la convención (ver Transformada de Fourier § Otras convenciones) deben cambiarse de la opción predeterminada, que en realidad equivale a integrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(i*omega*t) /sqrt(2*pi) from -inf to inf.
9. En Gelfand y Shilov 1964, p. 363, con las convenciones no unitarias de esta tabla, la transformada de se da como de la que se sigue, con . ${\displaystyle |\mathbf {x} |^{\lambda }}$
   ${\displaystyle 2^{\lambda +n}\pi ^{{\tfrac {1}{2}}n}{\frac {\Gamma \left({\frac {\lambda +n}{2}}\right)}{\Gamma \left(-{\frac {\lambda }{2}}\right)}}|{\boldsymbol {\omega }}|^{-\lambda -n}}$
   ${\displaystyle \lambda =-\alpha }$

Citas

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enlaces externos

• Medios relacionados con la transformación de Fourier en Wikimedia Commons
• Enciclopedia de Matemáticas
• Weisstein, Eric W. "Transformada de Fourier". MundoMatemático .
• Transformada de Fourier en cristalografía