Transformadas de seno y coseno

Transformadas variantes de Fourier

En matemáticas , las transformadas de Fourier seno y coseno son formas de la transformada de Fourier que no utilizan números complejos ni requieren frecuencia negativa . Son las formas utilizadas originalmente por Joseph Fourier y todavía se prefieren en algunas aplicaciones, como el procesamiento de señales o la estadística . ^[1]

Definición

La transformada seno de Fourier de f ( t ) , a veces denotada por o , es ${\displaystyle {\hat {f}}^{s}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}(f)}$

$${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt.}$$

Si t significa tiempo, entonces ξ es la frecuencia en ciclos por unidad de tiempo, pero en abstracto, pueden ser cualquier par de variables que sean duales entre sí.

Esta transformada es necesariamente una función impar de la frecuencia, es decir, para todo ξ :

$${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(-\xi )=-{\hat {f}}^{s}(\xi ).}$$

Los factores numéricos en las transformadas de Fourier se definen únicamente por su producto. Aquí, para que la fórmula de inversión de Fourier no tenga ningún factor numérico, aparece el factor 2 porque la función seno tiene norma L ² de ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}.}$

La transformada del coseno de Fourier de f ( t ) , a veces denotada por o , es ${\displaystyle {\hat {f}}^{c}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}(f)}$

$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt.}$$

Es necesariamente una función par de la frecuencia, es decir, para todo ξ :

$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )={\hat {f}}^{c}(-\xi ).}$$

frecuencia negativa necesario en la transformada de Fourier normal.

Simplificación para evitar t negativa

Algunos autores ^[2] sólo definen la transformada coseno para funciones pares de t , en cuyo caso su transformada seno es cero. Como el coseno también es par, se puede utilizar una fórmula más sencilla,

$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )=2\int _{0}^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt.}$$

De manera similar, si f es una función impar , entonces la transformada del coseno es cero y la transformada del seno se puede simplificar a

$${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )=2\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt.}$$

Otras convenciones

Así como la transformada de Fourier toma la forma de diferentes ecuaciones con diferentes factores constantes (ver Transformada de Fourier § Otras convenciones ), otros autores también definen la transformada del coseno como ^[3]

$${\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\xi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt.}$$

$${\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\xi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt,}$$

^[4]

$${\displaystyle F_{c}(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)\cos(\alpha x)\,dx}$$

$${\displaystyle F_{s}(\alpha )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)\sin(\alpha x)\,dx}$$

tx ${\displaystyle \alpha }$

inversión de Fourier

La función original f puede recuperarse de su transformada bajo las hipótesis habituales, que f y ambas transformadas deben ser absolutamente integrables. Para más detalles sobre las diferentes hipótesis, véase teorema de inversión de Fourier .

La fórmula de inversión es ^[5]

$${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{c}(\xi )\cos(2\pi \xi t)\,d\xi +\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{s}(\xi )\sin(2\pi \xi t)\,d\xi ,}$$

lo que tiene la ventaja de que todas las cantidades son reales. Usando la fórmula de suma para el coseno , esto se puede reescribir como

$${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cos(2\pi \xi (\tau -t))\,d\tau \,d\xi .}$$

Si la función original f es una función par , entonces la transformada seno es cero; Si f es una función impar , entonces la transformada del coseno es cero. En cualquier caso, la fórmula de inversión se simplifica.

Relación con exponenciales complejas

La forma de la transformada de Fourier que se utiliza con más frecuencia hoy en día es

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\xi t}\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\left(\cos(2\pi \xi t)-i\,\sin(2\pi \xi t)\right)dt&&{\text{Euler's Formula}}\\&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \xi t)\,dt\right)-i\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \xi t)\,dt\right)\\&={\hat {f}}^{c}(\xi )-i{\hat {f}}^{s}(\xi )\end{aligned}}}$$

Evaluación numérica

Es probable que el uso de métodos estándar de evaluación numérica para integrales de Fourier, como la cuadratura gaussiana o tanh-sinh, conduzca a resultados completamente incorrectos, ya que la suma de la cuadratura está (para la mayoría de los integrandos de interés) muy mal condicionada. Se requieren métodos numéricos especiales que exploten la estructura de la oscilación, un ejemplo de los cuales es el método de Ooura para integrales de Fourier ^[6]. Este método intenta evaluar el integrando en ubicaciones que se acercan asintóticamente a los ceros de la oscilación (ya sea el seno o el coseno). , reduciendo rápidamente la magnitud de los términos positivos y negativos que se suman.

Ver también

• Transformada de coseno discreta
• Transformada seno discreta

Referencias

• Whittaker, Edmund y James Watson, Un curso de análisis moderno , cuarta edición, Universidad de Cambridge. Prensa, 1927, págs.189, 211

1. "Aspectos destacados de la historia de la transformada de Fourier". pulse.embs.org . Consultado el 8 de octubre de 2018 .
2. Mary L. Boas , Métodos matemáticos en las ciencias físicas , 2.ª edición, John Wiley & Sons Inc, 1983. ISBN 0-471-04409-1 
3. "Transformada de Fourier, transformadas coseno y seno". cnyack.homestead.com . Consultado el 8 de octubre de 2018 .
4. Coleman, Matthew P. (2013). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales con MATLAB (Segunda ed.). Boca Ratón. pag. 221.ISBN​ 978-1-4398-9846-8. OCLC  822959644.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )
5. Poincaré, Henri (1895). Teoría analítica de la propagación del calor. París: G. Carré. págs. 108 y siguientes.
6. Takuya Ooura, Masatake Mori, Una fórmula exponencial doble robusta para integrales de tipo Fourier , Revista de matemáticas computacionales y aplicadas 112.1-2 (1999): 229-241.