Grupo abeliano localmente compacto

Estructura de grupo topológico que surge en el análisis de Fourier.

En varias áreas matemáticas , incluido el análisis armónico , la topología y la teoría de números , los grupos abelianos localmente compactos son grupos abelianos que tienen una topología particularmente conveniente. Por ejemplo, el grupo de los números enteros (dotados de la topología discreta ), o los números reales o el círculo (ambos con su topología habitual) son grupos abelianos localmente compactos.

Definición y ejemplos

Un grupo topológico se llama localmente compacto si el espacio topológico subyacente es localmente compacto y Hausdorff ; el grupo topológico se llama abeliano si el grupo subyacente es abeliano .

Ejemplos de grupos abelianos localmente compactos incluyen:

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$para n un entero positivo, con la suma de vectores como operación de grupo.
• Los números reales positivos con la multiplicación como operación. Este grupo es isomorfo por el mapa exponencial. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$
• Cualquier grupo abeliano finito, con topología discreta . Según el teorema de estructura para grupos abelianos finitos , todos esos grupos son productos de grupos cíclicos.
• Los números enteros bajo suma, nuevamente con la topología discreta. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• El grupo circular , denominado toroide . Este es el grupo de números complejos de módulo 1. Es isomorfo como grupo topológico al grupo cociente . ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$
• El campo de números p -ádicos bajo suma, con la topología p -ádica habitual. ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

El grupo dual

Si es un grupo abeliano localmente compacto , un carácter de es un homomorfismo de grupo continuo con valores en el grupo circular . El conjunto de todos los caracteres de puede convertirse en un grupo abeliano localmente compacto, llamado grupo dual de y denotado . La operación de grupo en el grupo dual viene dada por la multiplicación puntual de caracteres, la inversa de un carácter es su conjugado complejo y la topología en el espacio de caracteres es la de convergencia uniforme en conjuntos compactos (es decir, la topología compacta-abierta , viendo como un subconjunto del espacio de todas las funciones continuas desde hasta .). Esta topología en general no es metrizable. Sin embargo, si el grupo es un grupo abeliano localmente compacto separable , entonces el grupo dual es metrizable. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle G}$

Esto es análogo al espacio dual en álgebra lineal: así como para un espacio vectorial sobre un campo , el espacio dual es , también lo es el grupo dual . De manera más abstracta, ambos son ejemplos de functores representables , representados respectivamente por y . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,K)}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Un grupo que es isomorfo (como grupos topológicos) a su grupo dual se llama autodual . Si bien los grupos reales y cíclicos finitos son autoduales, el grupo y el grupo dual no son naturalmente isomórficos y deben considerarse dos grupos diferentes.

Ejemplos de grupos duales

El dual de es isomorfo al grupo circular . Un carácter en el grupo cíclico infinito de números enteros bajo suma está determinado por su valor en el generador 1. Por lo tanto, para cualquier carácter en , . Además, esta fórmula define un carácter para cualquier elección de . La topología de la convergencia uniforme en conjuntos compactos es en este caso la topología de la convergencia puntual . Ésta es la topología del grupo circular heredada de los números complejos. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \chi (n)=\chi (1)^{n}}$ ${\displaystyle \chi (1)}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

El dual de es canónicamente isomorfo con . De hecho, un carácter tiene la forma de un número entero. Como es compacto, la topología del grupo dual es la de convergencia uniforme, que resulta ser la topología discreta . ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$

El grupo de los números reales , es isomorfo a su propio dual; los caracteres tienen la forma de un número real. Con estas dualidades, la versión de la transformada de Fourier que se presentará a continuación coincide con la transformada de Fourier clásica en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r\mapsto e^{i\theta r}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

De manera análoga, el grupo de números -ádicos es isomorfo a su dual. (De hecho, cualquier extensión finita de también es autodual.) De ello se deduce que los adeles son autoduales. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Dualidad de Pontryagin

La dualidad de Pontryagin afirma que el functor

${\displaystyle G\mapsto {\hat {G}}}$

induce una equivalencia de categorías entre lo opuesto a la categoría de grupos abelianos localmente compactos (con morfismos continuos) y él mismo:

${\displaystyle LCA^{op}{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}LCA.}$

Propiedades categóricas

Clausen (2017) muestra que la categoría ACV de grupos abelianos localmente compactos mide, hablando de manera muy aproximada, la diferencia entre los números enteros y los reales. Más precisamente, el espectro algebraico de la teoría K de la categoría de grupos abelianos localmente compactos y los de Z y R se encuentran en una secuencia de fibras homotópicas.

${\displaystyle K(\mathbf {Z} )\to K(\mathbf {R} )\to K(LCA).}$

Referencias

• Clausen, Dustin (2017), Un enfoque teórico K para los mapas de Artin , arXiv : 1703.07842v2