Teorema de inversión de Fourier

Teorema matemático sobre funciones.

En matemáticas , el teorema de inversión de Fourier dice que para muchos tipos de funciones es posible recuperar una función a partir de su transformada de Fourier . Intuitivamente puede verse como la afirmación de que si conocemos toda la información de frecuencia y fase de una onda, entonces podemos reconstruir la onda original con precisión.

El teorema dice que si tenemos una función que satisface ciertas condiciones y usamos la convención para la transformada de Fourier, esa ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}$

entonces

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .}$

En otras palabras, el teorema dice que

${\displaystyle f(x)=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Esta última ecuación se llama teorema integral de Fourier .

Otra forma de expresar el teorema es que si es el operador de inversión, es decir , entonces ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (Rf)(x):=f(-x)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}R=R{\mathcal {F}}.}$

El teorema se cumple si ambos y su transformada de Fourier son absolutamente integrables (en el sentido de Lebesgue ) y son continuos en el punto . Sin embargo, incluso en condiciones más generales se mantienen las versiones del teorema de inversión de Fourier. En estos casos, es posible que las integrales anteriores no converjan en el sentido habitual. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

Declaración

En esta sección asumimos que es una función continua integrable. Utilice la convención para la transformada de Fourier que ${\displaystyle f}$

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy.}$

Además, suponemos que la transformada de Fourier también es integrable.

Transformada inversa de Fourier como integral

El enunciado más común del teorema de inversión de Fourier es expresar la transformada inversa como una integral. Para cualquier función integrable y todo listo ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

Entonces por todo lo que tenemos ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

Teorema integral de Fourier

El teorema se puede reformular como

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Tomando la parte real ^[1] de cada lado de lo anterior obtenemos

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\cos(2\pi (x-y)\cdot \xi )\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Transformada inversa en términos de operador de inversión

Para cualquier función , defina el operador de inversión ^{[nota 1]} mediante ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle Rg(x):=g(-x).}$

Entonces podemos definir en su lugar

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f:=R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}Rf.}$

De la definición de la transformada de Fourier y del operador de inversión se desprende inmediatamente que ambos y coinciden con la definición integral de , y en particular son iguales entre sí y satisfacen . ${\displaystyle R{\mathcal {F}}f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}Rf}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

Ya que tenemos y ${\displaystyle Rf=R{\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}f=RR{\mathcal {FF}}f}$ ${\displaystyle R={\mathcal {F}}^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{3}.}$

Inversa de dos caras

La forma del teorema de inversión de Fourier establecida anteriormente, como es común, es que

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

En otras palabras, es una inversa izquierda de la transformada de Fourier. Sin embargo, también es una inversa derecha de la transformada de Fourier, es decir ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(\xi )=f(\xi ).}$

Dado que es tan similar a , esto se deduce muy fácilmente del teorema de inversión de Fourier (variables cambiantes ): ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \zeta :=-\zeta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi \\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi ix\cdot \zeta }\,e^{2\pi iy\cdot \zeta }\,f(y)\,dy\,d\zeta \\[6pt]&={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x).\end{aligned}}}$

Alternativamente, esto se puede ver a partir de la relación entre y el operador de inversión y la asociatividad de la composición de funciones , ya que ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$

${\displaystyle f={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)={\mathcal {F}}R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f).}$

Condiciones de la función

Cuando se utiliza en física e ingeniería, el teorema de inversión de Fourier se utiliza a menudo bajo el supuesto de que todo "se comporta bien". En matemáticas, estos argumentos heurísticos no están permitidos y el teorema de inversión de Fourier incluye una especificación explícita de qué clase de funciones se permiten. Sin embargo, no existe una "mejor" clase de funciones para considerar, por lo que existen varias variantes del teorema de inversión de Fourier, aunque con conclusiones compatibles.

Funciones de Schwartz

El teorema de inversión de Fourier es válido para todas las funciones de Schwartz (en términos generales, funciones suaves que decaen rápidamente y cuyas derivadas decaen rápidamente). Esta condición tiene la ventaja de que es una declaración directa elemental sobre la función (en lugar de imponer una condición a su transformada de Fourier), y la integral que define la transformada de Fourier y su inversa son absolutamente integrables. Esta versión del teorema se utiliza en la prueba del teorema de inversión de Fourier para distribuciones templadas (ver más abajo).

Funciones integrables con transformada de Fourier integrable

El teorema de inversión de Fourier es válido para todas las funciones continuas que son absolutamente integrables (es decir, ) con transformada de Fourier absolutamente integrable. Esto incluye todas las funciones de Schwartz, por lo que es una forma estrictamente más fuerte del teorema que la mencionada anteriormente. Esta condición es la utilizada anteriormente en la sección de declaración. ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$

Una ligera variante es eliminar la condición de que la función sea continua pero aún requerir que ella y su transformada de Fourier sean absolutamente integrables. Luego, en casi todos los lugares donde g es una función continua y para cada . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=g(x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Funciones integrables en una dimensión

Suave a trozos; una dimensión

Si la función es absolutamente integrable en una dimensión (es decir, ) y es suave por partes, entonces se cumple una versión del teorema de inversión de Fourier. En este caso definimos ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

Entonces para todos ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),}$

es decir, es igual al promedio de los límites izquierdo y derecho de at . En los puntos donde es continua, esto simplemente es igual a . ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$

También es válido un análogo de dimensiones superiores de esta forma del teorema, pero según Folland (1992) es "bastante delicado y no terriblemente útil".

Continuo por partes; una dimensión

Si la función es absolutamente integrable en una dimensión (es decir, ) pero simplemente continua por partes, entonces aún se cumple una versión del teorema de inversión de Fourier. En este caso, la integral en la transformada inversa de Fourier se define con la ayuda de una función de corte suave en lugar de brusca; específicamente definimos ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} }\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\xi ^{2}}.}$

La conclusión del teorema es entonces la misma que para el caso suave por tramos analizado anteriormente.

Continuo; cualquier número de dimensiones

Si es continuo y absolutamente integrable, entonces el teorema de inversión de Fourier sigue siendo válido siempre que definimos nuevamente la transformada inversa con una función de corte suave, es decir ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\vert \xi \vert ^{2}}.}$

La conclusión ahora es simplemente que para todos ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

Sin condición de regularidad; cualquier número de dimensiones

Si abandonamos todos los supuestos sobre la continuidad (por partes) de y asumimos simplemente que es absolutamente integrable, entonces una versión del teorema sigue siendo válida. La transformada inversa se define nuevamente con el corte suave, pero con la conclusión de que ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

para casi cada ^[2] ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Funciones integrables cuadradas

En este caso, la transformada de Fourier no se puede definir directamente como una integral, ya que puede no ser absolutamente convergente, por lo que se define mediante un argumento de densidad (consulte el artículo sobre la transformada de Fourier ). Por ejemplo, poniendo

${\displaystyle g_{k}(\xi ):=\int _{\{y\in \mathbb {R} ^{n}:\left\vert y\right\vert \leq k\}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,\qquad k\in \mathbb {N} ,}$

podemos establecer dónde se toma el límite en la norma. La transformada inversa se puede definir mediante la densidad de la misma manera o definiéndola en términos de la transformada de Fourier y el operador de inversión. entonces tenemos ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}f:=\lim _{k\to \infty }g_{k}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$

en la norma media cuadrática . En una dimensión (y solo en una dimensión), también se puede demostrar que converge para casi todos los x ∈ℝ ; este es el teorema de Carleson , pero es mucho más difícil de demostrar que la convergencia en la norma cuadrática media.

Distribuciones templadas

La transformada de Fourier puede definirse en el espacio de distribuciones templadas por la dualidad de la transformada de Fourier en el espacio de funciones de Schwartz. Específicamente para y para todas las funciones de prueba que configuramos ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle :=\langle f,{\mathcal {F}}\varphi \rangle ,}$

donde se define mediante la fórmula integral. Si entonces esto concuerda con la definición habitual. Podemos definir la transformada inversa , ya sea por dualidad de la transformada inversa en funciones de Schwartz de la misma manera, o definiéndola en términos del operador de inversión (donde el operador de inversión se define por la dualidad). entonces tenemos ${\displaystyle {\mathcal {F}}\varphi }$ ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\colon {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}.}$

Relación con la serie de Fourier

El teorema de inversión de Fourier es análogo a la convergencia de las series de Fourier . En el caso de la transformada de Fourier tenemos

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

En el caso de la serie de Fourier tenemos en cambio

${\displaystyle f\colon [0,1]^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {\hat {f}}(k):=\int _{[0,1]^{n}}e^{-2\pi iy\cdot k}\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot k}\,{\hat {f}}(k).}$

En particular, en una dimensión y la suma va desde hasta . ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Aplicaciones

Algunos problemas, como ciertas ecuaciones diferenciales, se vuelven más fáciles de resolver cuando se aplica la transformada de Fourier. En ese caso la solución al problema original se recupera mediante la transformada inversa de Fourier.

En las aplicaciones de la transformada de Fourier, el teorema de inversión de Fourier suele desempeñar un papel fundamental. En muchas situaciones, la estrategia básica es aplicar la transformada de Fourier, realizar alguna operación o simplificación y luego aplicar la transformada de Fourier inversa.

De manera más abstracta, el teorema de inversión de Fourier es una declaración sobre la transformada de Fourier como operador (ver Transformada de Fourier en espacios funcionales ). Por ejemplo, el teorema de inversión de Fourier muestra que la transformada de Fourier es un operador unitario . ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

Propiedades de la transformada inversa

La transformada de Fourier inversa es extremadamente similar a la transformada de Fourier original: como se analizó anteriormente, solo difiere en la aplicación de un operador de inversión. Por esta razón, las propiedades de la transformada de Fourier son válidas para la transformada de Fourier inversa, como el teorema de convolución y el lema de Riemann-Lebesgue .

Las tablas de transformadas de Fourier se pueden utilizar fácilmente para la transformada de Fourier inversa componiendo la función buscada con el operador de inversión. Por ejemplo, al buscar la transformada de Fourier de la función rect vemos que

$${\displaystyle f(x)=\operatorname {rect} (ax)\quad \Rightarrow \quad ({\mathcal {F}}f)(\xi )={\frac {1}{|a|}}\operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right),}$$

$${\displaystyle g(\xi )=\operatorname {rect} (a\xi )\quad \Rightarrow \quad ({\mathcal {F}}^{-1}g)(x)={\frac {1}{|a|}}\operatorname {sinc} \left(-{\frac {x}{a}}\right).}$$

Prueba

La prueba utiliza algunos hechos, dados y . ${\displaystyle f(y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}f(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }f(y)\,dy}$

1. Si y , entonces . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle g(\xi )=e^{2\pi \mathrm {i} x\cdot \xi }\psi (\xi )}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}g)(y)=({\mathcal {F}}\psi )(y-x)}$
2. Si y , entonces . ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \psi (\xi )=\varphi (\varepsilon \xi )}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}\psi )(y)=({\mathcal {F}}\varphi )(y/\varepsilon )/|\varepsilon |^{n}}$
3. Porque , el teorema de Fubini implica que . ${\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \textstyle \int g(\xi )\cdot ({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\int ({\mathcal {F}}g)(y)\cdot f(y)\,dy}$
4. Definir ; entonces . ${\displaystyle \varphi (\xi )=e^{-\pi \vert \xi \vert ^{2}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}\varphi )(y)=\varphi (y)}$
5. Definir . Luego, al denotar convolución , es una aproximación a la identidad : para cualquier continuo y punto , (donde la convergencia es puntual). ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }(y)=\varphi (y/\varepsilon )/\varepsilon ^{n}}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}(\varphi _{\varepsilon }\ast f)(x)=f(x)}$

Dado que, por supuesto, , del teorema de convergencia dominada se deduce que ${\displaystyle {\mathcal {F}}f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .}$

Definir . Aplicando los hechos 1, 2 y 4, repetidamente para integrales múltiples si es necesario, obtenemos ${\displaystyle g_{x}(\xi )=e^{-\pi \varepsilon ^{2}\vert \xi \vert ^{2}+2\pi \mathrm {i} x\cdot \xi }}$

${\displaystyle ({\mathcal {F}}g_{x})(y)={\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}e^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|x-y|^{2}}=\varphi _{\varepsilon }(x-y).}$

Usando el hecho 3 en y , para cada , tenemos ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g_{x}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}e^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|x-y|^{2}}f(y)\,dy=(\varphi _{\varepsilon }*f)(x),}$

la convolución de con una identidad aproximada. Pero como el hecho 5 dice que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}(\varphi _{\varepsilon }*f)(x)=f(x).}$

Reuniendo lo anterior hemos demostrado que

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =f(x).\qquad \square }$

Notas

1. Un operador es una transformación que asigna funciones a funciones. El operador de inversión, la transformada de Fourier, la transformada de Fourier inversa y la transformada de identidad son ejemplos de operadores.

Referencias

• Folland, GB (1992). Análisis de Fourier y sus aplicaciones . Belmont, California, Estados Unidos: Wadsworth. ISBN 0-534-17094-3.
• Folland, GB (1995). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales (2ª ed.). Princeton, Estados Unidos: Universidad de Princeton. Prensa. ISBN 978-0-691-04361-6.

1. wlog f tiene un valor real, ya que cualquier función de valor complejo se puede dividir en sus partes real e imaginaria y cada operador que aparece aquí es lineal en f .
2. "DMat0101, Notas 3: La transformada de Fourier en L^1". Desperté en un lugar extraño . 2011-03-10 . Consultado el 12 de febrero de 2018 .