En teoría de la medida , una rama de las matemáticas , una medida finita o medida totalmente finita [1] es una medida especial que siempre toma valores finitos. Entre las medidas finitas se encuentran las medidas de probabilidad . Las medidas finitas suelen ser más fáciles de manejar que las medidas más generales y muestran una variedad de propiedades diferentes según los conjuntos en los que están definidas.
Una medida en el espacio mensurable se llama medida finita si satisface
Por la monotonicidad de las medidas, esto implica
Si es una medida finita, el espacio de medidas se llama espacio de medidas finitas o espacio de medidas totalmente finitas . [1]
Para cualquier espacio mensurable, las medidas finitas forman un cono convexo en el espacio de Banach de medidas con signo con la norma de variación total . Subconjuntos importantes de las medidas finitas son las medidas de subprobabilidad, que forman un subconjunto convexo , y las medidas de probabilidad, que son la intersección de la esfera unitaria en el espacio normado de medidas con signo y las medidas finitas.
Si es un espacio de Hausdorff y contiene el álgebra de Borel , entonces cada medida finita es también una medida de Borel localmente finita .
Si es un espacio métrico y nuevamente es el álgebra de Borel , se puede definir la convergencia débil de medidas . La topología correspondiente se llama topología débil y es la topología inicial de todas las funciones continuas acotadas en . La topología débil corresponde a la topología débil* en el análisis funcional. Si también es separable , la convergencia débil se mide mediante la métrica de Lévy-Prokhorov . [2]
Si es un espacio polaco y es el álgebra de Borel , entonces cada medida finita es una medida regular y, por tanto, una medida de radón . [3] Si es polaco, entonces el conjunto de todas las medidas finitas con la topología débil también es polaco. [4]