Cálculo infinitesimal

A su vez, el cálculo tiene generalizaciones y aplicaciones en otras áreas de la matemática; como ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos, teoría del caos, cálculo vectorial, geometría diferencial, topología, análisis matemático, probabilidad, estadística, etc.En el cálculo de áreas y volúmenes, la función básica del cálculo integral puede ser rastreada en el tiempo hasta los papiros matemáticos de Moscú que datan del año 1890 a.C, en los que un egipcio calculó satisfactoriamente el volumen del tronco de una pirámide.[2]​[3]​ Los babilonios pueden haber descubierto la regla trapezoidal mientras hacían observaciones astronómicas de Júpiter.[5]​ El método exhaustivo fue más tarde usado en China por Liu Hui en el siglo III a. C. para encontrar el área de un círculo.[6]​ En el siglo XI, el polímata chino Shen Kuo desarrolló ecuaciones que se encargaban de integrar.[7]​ También en el siglo XII, el matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi descubrió la derivada de la función cúbica, un importante acontecimiento en el cálculo diferencial.[10]​[11]​ En la época moderna, descubrimientos independientes relacionados con el cálculo se estaban llevando a cabo por la matemática japonesa del siglo XVII, gracias al aporte de matemáticos como Seki Kōwa, quien expandió el método exhaustivo.Usó los métodos del cálculo para resolver el problema del movimiento planetario, la forma de la superficie de un fluido rotante, y se refirió a lo achatada que es la tierra por los polos, así como a muchos otros problemas, los cuales discutió en Principia mathematica.En otro trabajo, desarrolló una serie de expansiones para las funciones, incluyendo las potencias fraccionarias e irracionales.Es ahora reconocido como inventor independiente del cálculo y un gran contribuyente a este.Usualmente se le acredita a ambos Leibniz y Newton la invención del cálculo.Hoy, se les da crédito a ambos matemáticos por desarrollar el cálculo independientemente.Desde los tiempos de Leibniz y Newton, muchos matemáticos han contribuido al desarrollo continuo del cálculo.En el siglo XIX, el cálculo comenzó a ser planteado más rigurosamente por matemáticos como Cauchy, Riemann y Weierstrass.[12]​ El desarrollo de las ecuaciones diferenciales ha jugado un gran papel de cambio cualitativo en la ciencia y la tecnología, comparable con el control del fuego en la época primitiva, las ecuaciones diferenciales son un salto enorme para la ciencia.En ese momento, Leibniz no pudo proporcionar una interpretación física o geométrica para esta pregunta, por lo que simplemente respondió a L’Hopital en una carta que "... es una aparente paradoja de la cual, algún día, se derivarán consecuencias útiles".Mientras que algunas ideas del cálculo fueron desarrolladas tempranamente en las matemáticas griegas, chinas, indias e islámicas, el uso moderno del cálculo comenzó en Europa, durante el siglo XVII, cuando Isaac Newton y Gottfried Leibniz construyeron con base al trabajo de antiguos matemáticos los principios básicos de esta disciplina.El desarrollo del cálculo fue constituido con base en los conceptos de movimiento instantáneo y el área bajo las curvas.Las aplicaciones del cálculo diferencial incluyen cómputos que involucran velocidad, aceleración, la pendiente de una recta tangente a una curva y optimización.El antiguo filósofo griego Zenón dio varios ejemplos famosos de tales paradojas.El cálculo provee herramientas que pueden resolver tales paradojas, especialmente los límites y las series infinitas.En matemáticas, los fundamentos se refiere al desarrollo riguroso de un tema desde axiomas y definiciones precisas.Sin embargo, ya durante el siglo XIX se empezó a trabajar en una aproximación rigurosa para los fundamentos del cálculo.La integral definida es un algoritmo que transforma funciones en números, los cuales dan el área entre una curva de un gráfico y el eje-x.El teorema fundamental del cálculo establece que la diferenciación y la integración son operaciones inversas.Ya que es normalmente más fácil computar una antiderivada que aplicar la definición de una integral definida, el teorema fundamental del cálculo provee una forma práctica de computar integrales definidas.Si una función f es continua en el intervalo [a, b] y si F es una función cuya derivada es f en el intervalo (a, b), entonces Así entonces, para cada x en el intervalo (a, b), es cierto que: Este hecho, descubierto tanto por Newton como Leibniz, quienes basaron sus resultados en el trabajo previo de Isaac Barrow, fue clave para la masiva proliferación de resultados analíticos luego que su trabajo fuese conocido.El cálculo es usado en cada rama de las ciencias naturales, estadística, ingeniería, economía; incluso en negocios, medicina, demografía, y más generalmente en cualquier área donde un problema pueda ser modelado matemáticamente mediante variables continuas de números reales o complejos, y donde una solución óptima sea deseada; o donde se deseen entender los ciclos e interacciones entre las variables.De alguna manera este lenguaje… es simplemente la mejor herramienta que jamás hayamos inventado».