Método de Euler
En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor a Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) a partir de un valor inicial dado.
El método de Euler es nombrado por Leonhard Euler, quien lo trató en su libro Institutionum calculi integralis (publicado en 1768-1770).
[1] El método de Euler es un método de primer orden, lo que significa que el error local es proporcional al cuadrado del tamaño del paso, y el error global es proporcional al tamaño del paso.
Considere el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que comienza en un punto dado y satisface una cierta ecuación diferencial dada.
Se puede pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la curva, una vez que el punto ha sido calculado.
La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en un principio, su punto de comienzo, al cual denotamos por A0, es conocido.
Entonces, de la ecuación diferencial se puede calcular la pendiente de la curva en el punto A0 y por lo tanto la recta tangente a la curva.
Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, podemos tomarnos un nuevo punto A1 y suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el mismo razonamiento aplicado anteriormente y volvemos a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A1.
Luego de varios pasos tendremos formada una curva poligonal A0A1A2A3...
En general esta curva que obtenemos al aplicar el método no diverge lejos de la curva original, además el error entre ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeños al avanzar sobre la recta tangente a la curva y además el intervalo sobre el que trabajamos es finito (aunque las cosas son más complicadas para ecuaciones inestables, como se discute más abajo)...
Consiste en dividir los intervalos que va de
Para cualquiera de estos puntos se cumple que:
por donde pasa la curva solución de la ecuación del planteamiento inicial, la cual se denotará como
se puede evaluar la primera derivada de
Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por
Tómese la recta como reemplazo de
y localícese en ella (la recta) el valor de
calculada de esta manera no es igual a
En primer lugar se calcula el valor de
tomando en cuenta que el número de pasos
Antes de aplicar el método, veamos un esquema de cómo trabajaría el método en este caso concreto:
Teniendo dichos valores se comienza con el método.
Se harán aproximaciones de hasta ocho decimales.
La función seno se evaluará en radianes.
Conociendo el valor exacto de la ecuación en ese punto,
, se puede calcular el error relativo cometido por el método:
Como se muestra en la Gráfica B, básicamente el método se encarga de aproximar la curva
Debido a que la aproximación de una curva por medio de una línea recta no es exacta, se comete un error derivado del método.
Este error se puede disminuir reduciendo el valor de
, pero se obtendrá un mayor número de cálculos y, por consiguiente, un error de redondeo mucho más alto.
