número de Bernoulli

secuencia de números racionales

En matemáticas , los números de Bernoulli _Bn son una secuencia de números racionales que aparecen con frecuencia en el análisis . Los números de Bernoulli aparecen (y pueden definirse mediante) las expansiones en serie de Taylor de las funciones tangente e hiperbólica tangente , en la fórmula de Faulhaber para la suma de m -ésimas potencias de los primeros n enteros positivos, en la fórmula de Euler-Maclaurin , y en expresiones para ciertos valores de la función zeta de Riemann .

Los valores de los primeros 20 números de Bernoulli se dan en la tabla adyacente. En la literatura se utilizan dos convenciones, indicadas aquí por y ; difieren sólo para n = 1 , donde y . Por cada impar n > 1 , B _n = 0 . Para cada par n > 0 , B _n es negativo si n es divisible por 4 y positivo en caso contrario. Los números de Bernoulli son valores especiales de los polinomios de Bernoulli , con y . ^[1] ${\displaystyle B_{n}^{-{}}}$ ${\displaystyle B_{n}^{+{}}}$ ${\displaystyle B_{1}^{-{}}=-1/2}$ ${\displaystyle B_{1}^{+{}}=+1/2}$ ${\displaystyle B_{n}(x)}$ ${\displaystyle B_{n}^{-{}}=B_{n}(0)}$ ${\displaystyle B_{n}^{+}=B_{n}(1)}$

Los números de Bernoulli fueron descubiertos casi al mismo tiempo por el matemático suizo Jacob Bernoulli , de quien reciben su nombre, y de forma independiente por el matemático japonés Seki Takakazu . El descubrimiento de Seki fue publicado póstumamente en 1712 ^{[2] [3] [4]} en su obra Katsuyō Sanpō ; La de Bernoulli, también póstuma, en su Ars Conjectandi de 1713. La nota G de Ada Lovelace sobre la máquina analítica de 1842 describe un algoritmo preparado por Babbage para generar números de Bernoulli con la máquina de Babbage . ^[5] Como resultado, los números de Bernoulli tienen la distinción de ser el tema del primer programa informático complejo publicado .

Notación

El superíndice ± utilizado en este artículo distingue las dos convenciones de signos para los números de Bernoulli. Sólo el término n = 1 se ve afectado:

• B⁻
  _norte con B⁻
  ₁= -1/2 ( OEIS : A027641 / OEIS : A027642 ) es la convención de signos prescrita por el NIST y la mayoría de los libros de texto modernos. ^[6]
• B⁺
  _nortecon B⁺
  ₁= +1/2 ( OEIS : A164555 / OEIS : A027642 ) se utilizó en la literatura anterior, ^[1] y (desde 2022) por Donald Knuth ^[7] siguiendo el "Manifiesto Bernoulli" de Peter Luschny. ^[8]

En las fórmulas siguientes, se puede cambiar de una convención de signos a otra con la relación , o para un número entero n = 2 o mayor, simplemente ignorarla. ${\displaystyle B_{n}^{+}=(-1)^{n}B_{n}^{-}}$

Dado que B _n = 0 para todos los n impares > 1 , y muchas fórmulas solo involucran números de Bernoulli de índice par, solo unos pocos autores escriben " B _n " en lugar de B _{2 n}  . Este artículo no sigue esa notación.

Historia

Historia temprana

Los números de Bernoulli tienen sus raíces en la historia temprana del cálculo de sumas de potencias enteras, que han sido de interés para los matemáticos desde la antigüedad.

Una página de Katsuyō Sanpō (1712) de Seki Takakazu , que tabula coeficientes binomiales y números de Bernoulli

Se conocían métodos para calcular la suma de los primeros n enteros positivos, la suma de los cuadrados y de los cubos de los primeros n enteros positivos, pero no había "fórmulas" reales, sólo descripciones dadas enteramente en palabras. Entre los grandes matemáticos de la antigüedad que consideraron este problema se encontraban Pitágoras (c. 572-497 a. C., Grecia), Arquímedes (287-212 a. C., Italia), Aryabhata (n. 476, India), Abu Bakr al-Karaji (m. 1019, Persia) y Abu Ali al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haytham (965-1039, Irak).

A finales del siglo XVI y principios del XVII los matemáticos lograron avances significativos. En Occidente, Thomas Harriot (1560-1621) de Inglaterra, Johann Faulhaber (1580-1635) de Alemania, Pierre de Fermat (1601-1665) y su colega matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) desempeñaron papeles importantes.

Thomas Harriot parece haber sido el primero en derivar y escribir fórmulas para sumas de potencias utilizando notación simbólica, pero incluso él calculó sólo hasta la suma de las cuartas potencias. Johann Faulhaber dio fórmulas para sumas de potencias hasta la potencia 17 en su Academia Algebrae de 1631 , mucho más altas que cualquiera antes que él, pero no dio una fórmula general.

Blaise Pascal en 1654 demostró la identidad de Pascal relacionando las sumas de las p -ésimas potencias de los primeros n enteros positivos para p = 0, 1, 2, ..., k .

El matemático suizo Jakob Bernoulli (1654-1705) fue el primero en darse cuenta de la existencia de una única secuencia de constantes B ₀ , B ₁ , B ₂ ,... que proporcionan una fórmula uniforme para todas las sumas de potencias. ^[9]

La alegría que experimentó Bernoulli cuando dio con el patrón necesario para calcular rápida y fácilmente los coeficientes de su fórmula para la suma de las c -ésimas potencias para cualquier entero positivo c se puede ver en su comentario. El escribio:

"Con la ayuda de esta tabla, me tomó menos de medio cuarto de hora encontrar que las décimas potencias de los primeros 1000 números sumados producirán la suma 91.409.924.241.424.243.424.241.924.242.500."

El resultado de Bernoulli se publicó póstumamente en Ars Conjectandi en 1713. Seki Takakazu descubrió de forma independiente los números de Bernoulli y su resultado se publicó un año antes, también póstumamente, en 1712. ^[2] Sin embargo, Seki no presentó su método como una fórmula basada en una secuencia de constantes.

La fórmula de Bernoulli para sumas de potencias es la formulación más útil y generalizable hasta la fecha. Los coeficientes de la fórmula de Bernoulli ahora se denominan números de Bernoulli, siguiendo una sugerencia de Abraham de Moivre .

La fórmula de Bernoulli a veces se llama fórmula de Faulhaber en honor a Johann Faulhaber, quien encontró formas notables de calcular la suma de potencias pero nunca mencionó la fórmula de Bernoulli. Según Knuth ^[9], Carl Jacobi publicó por primera vez una prueba rigurosa de la fórmula de Faulhaber en 1834. ^[10] El estudio en profundidad de Knuth sobre la fórmula de Faulhaber concluye (la notación no estándar en el LHS se explica más adelante):

"Faulhaber nunca descubrió los números de Bernoulli; es decir, nunca se dio cuenta de que una sola secuencia de constantes B ₀ , B ₁ , B ₂ , ... proporcionaría una

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}-{\binom {m+1}{1}}B_{1}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}-\cdots +(-1)^{m}{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)}$

para todas las sumas de potencias. Nunca mencionó, por ejemplo, el hecho de que casi la mitad de los coeficientes resultaron ser cero después de haber convertido sus fórmulas para Σ n ^m de polinomios en N a polinomios en n ." ^[11]

En lo anterior, Knuth quiso decir ; en lugar de usar la fórmula se evita la resta: ${\displaystyle B_{1}^{-}}$ ${\displaystyle B_{1}^{+}}$

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}+{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{+}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}+\cdots +{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right).}$

Reconstrucción de la "Summae Potestatum"

"Summae Potestatum" de Jakob Bernoulli, 1713 ^[a]

Los números de Bernoulli OEIS : A164555 (n)/ OEIS : A027642 (n) fueron introducidos por Jakob Bernoulli en el libro Ars Conjectandi publicado póstumamente en 1713, página 97. La fórmula principal se puede ver en la segunda mitad del facsímil correspondiente. Los coeficientes constantes indicados por Bernoulli como A , B , C y D se asignan a la notación que ahora prevalece como A = B ₂ , B = B ₄ , C = B ₆ , D = B ₈ . La expresión c · c −1· c −2· c −3 significa c ·( c −1)·( c −2)·( c −3) – los puntos pequeños se utilizan como símbolos de agrupación. Usando la terminología actual, estas expresiones son potencias factoriales decrecientes c ^k . La notación factorial k ! como atajo para 1 × 2 × ... × k no se introdujo hasta 100 años después. El símbolo integral en el lado izquierdo se remonta a Gottfried Wilhelm Leibniz en 1675, quien lo usó como una letra S larga para "summa" (suma). ^[b] La letra n en el lado izquierdo no es un índice de suma pero da el límite superior del rango de suma que debe entenderse como 1, 2, ..., n . En conjunto, para c positivo , hoy en día es probable que un matemático escriba la fórmula de Bernoulli como:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {n^{c+1}}{c+1}}+{\frac {1}{2}}n^{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}.}$

Esta fórmula sugiere configurar B ₁ =1/2al cambiar de la llamada enumeración 'arcaica' que utiliza sólo los índices pares 2, 4, 6... a la forma moderna (más sobre las diferentes convenciones en el siguiente párrafo). Lo más sorprendente en este contexto es el hecho de que el factorial descendente c ^{k −1} tiene para k = 0 el valor1/c + 1. ^[12] Así, la fórmula de Bernoulli se puede escribir

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}=\sum _{k=0}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}}$

si B ₁ = 1/2 , recuperando el valor que Bernoulli le dio al coeficiente en esa posición.

La fórmula para en la primera mitad de la cita de Bernoulli anterior contiene un error en el último término; debería ser en lugar de . ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {3}{20}}n^{2}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}n^{2}}$

Definiciones

En los últimos 300 años se han encontrado muchas caracterizaciones de los números de Bernoulli, y cada una podría usarse para presentar estos números. Aquí sólo se mencionan cuatro de los más útiles:

• una ecuación recursiva,
• una fórmula explícita,
• una función generadora,
• una expresión integral.

Para la prueba de la equivalencia de los cuatro enfoques. ^[13]

Definición recursiva

Los números de Bernoulli obedecen a las fórmulas de suma ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}&=\delta _{m,0}\\\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+{}}&=m+1\end{aligned}}}$

donde y δ denota el delta de Kronecker . Resolver da las fórmulas recursivas ${\displaystyle m=0,1,2...}$ ${\displaystyle B_{m}^{\mp {}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\delta _{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{-{}}}{m-k+1}}\\B_{m}^{+}&=1-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}.\end{aligned}}}$

Definición explícita

En 1893, Louis Saalschütz enumeró un total de 38 fórmulas explícitas para los números de Bernoulli, ^[14] generalmente dando alguna referencia en la literatura más antigua. Uno de ellos es (para ): ${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}j^{m}\\B_{m}^{+}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{m}.\end{aligned}}}$

función generadora

Las funciones generadoras exponenciales son

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {t}{e^{t}-1}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}-1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{-{}}t^{m}}{m!}}\\{\frac {t}{1-e^{-t}}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}}.\end{alignedat}}}$

donde está la sustitución . Si dejamos y luego ${\displaystyle t\to -t}$ ${\displaystyle F(t)=\sum _{i=1}^{\infty }f_{i}t^{i}}$ ${\displaystyle G(t)=1/(1+F(t))=\sum _{i=0}^{\infty }g_{i}t^{i}}$

${\displaystyle G(t)=1-F(t)G(t).}$

Entonces y para el m ^ésimo término de la serie for es: ${\displaystyle g_{0}=1}$ ${\displaystyle m>0}$ ${\displaystyle G(t)}$

${\displaystyle g_{m}t^{i}=-\sum _{j=0}^{m-1}f_{m-j}g_{j}t^{m}}$

Si

${\displaystyle F(t)={\frac {e^{t}-1}{t}}-1=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {t^{i}}{(i+1)!}}}$

entonces encontramos que

${\displaystyle G(t)=t/(e^{t}-1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m!g_{m}&=-\sum _{j=0}^{m-1}{\frac {m!}{j!}}{\frac {j!g_{j}}{(m-j+1)!}}\\&=-{\frac {1}{m+1}}\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {m+1}{j}}j!g_{j}\\\end{aligned}}}$

mostrando que los valores de obedecen a la fórmula recursiva de los números de Bernoulli . ${\displaystyle i!g_{i}}$ ${\displaystyle B_{i}^{-}}$

La función generadora (ordinaria)

${\displaystyle z^{-1}\psi _{1}(z^{-1})=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}^{+}z^{m}}$

es una serie asintótica . Contiene la función trigamma ψ ₁ .

Expresión Integral

De las funciones generadoras anteriores, se puede obtener la siguiente fórmula integral para los números pares de Bernoulli:

${\displaystyle B_{2n}=4n(-1)^{n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n-1}}{e^{2\pi t}-1}}\mathrm {d} t}$

Números de Bernoulli y la función zeta de Riemann

Los números de Bernoulli dados por la función zeta de Riemann.

Los números de Bernoulli se pueden expresar en términos de la función zeta de Riemann :

B⁺
_norte= − nζ (1 − n )           para n ≥ 1  .

Aquí el argumento de la función zeta es 0 o negativo. Al igual que cero para los enteros pares negativos (los ceros triviales ), si n>1 es impar, es cero. ${\displaystyle \zeta (k)}$ ${\displaystyle \zeta (1-n)}$

Mediante la ecuación funcional zeta y la fórmula de reflexión gamma se puede obtener la siguiente relación: ^[15]

${\displaystyle B_{2n}={\frac {(-1)^{n+1}2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n)\quad }$para norte ≥ 1  .

Ahora el argumento de la función zeta es positivo.

Luego se deduce de ζ → 1 ( n → ∞ ) y la fórmula de Stirling que

${\displaystyle |B_{2n}|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi e}}\right)^{2n}\quad }$para norte → ∞  .

Cálculo eficiente de los números de Bernoulli

En algunas aplicaciones es útil poder calcular los números de Bernoulli B ₀ a B _{p − 3} módulo p , donde p es un primo; por ejemplo, para probar si la conjetura de Vandiver es válida para p , o incluso simplemente para determinar si p es un primo irregular . No es factible llevar a cabo tal cálculo usando las fórmulas recursivas anteriores, ya que se requerirían al menos (un múltiplo constante de) p ² operaciones aritméticas. Afortunadamente, se han desarrollado métodos más rápidos ^[16] que requieren solo operaciones O ( p (log p ) ² ) (ver notación O grande ).

David Harvey ^[17] describe un algoritmo para calcular números de Bernoulli calculando B _n módulo p para muchos números primos pequeños p y luego reconstruyendo B _n mediante el teorema del resto chino . Harvey escribe que la complejidad temporal asintótica de este algoritmo es O ( n ² log( n ) ^{2 + ε} ) y afirma que esta implementación es significativamente más rápida que las implementaciones basadas en otros métodos. Usando esta implementación, Harvey calculó B _n para n = 10 ⁸ . La implementación de Harvey se ha incluido en SageMath desde la versión 3.1. Antes de eso, Bernd Kellner ^[18] calculó B _n con total precisión para n = 10 ⁶ en diciembre de 2002 y Oleksandr Pavlyk ^[19] para n = 10 ⁷ con Mathematica en abril de 2008.

* Se debe entender que los dígitos son el exponente de 10 cuando B _n se escribe como un número real en notación científica normalizada .

Un posible algoritmo para calcular números de Bernoulli en el lenguaje de programación Julia viene dado por ^[14]

b = Matriz { Float64 }( undef , n + 1 ) b [ 1 ] = 1 b [ 2 ] = - 0.5 para m = 2 : n para k = 0 : m para v = 0 : k b [ m + 1 ] += ( - 1 ) ^ v * binomial ( k , v ) * v ^ ( m ) / ( k + 1 ) fin fin fin regresar b                         

Aplicaciones de los números de Bernoulli

Análisis asintótico

Podría decirse que la aplicación más importante de los números de Bernoulli en matemáticas es su uso en la fórmula de Euler-Maclaurin . Suponiendo que f es una función diferenciable con suficiente frecuencia, la fórmula de Euler-Maclaurin se puede escribir como ^[20]

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).}$

Esta formulación asume la convención B⁻
₁= -1/2. Usando la convención B⁺
₁= +1/2la fórmula se convierte

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).}$

Aquí (es decir, la derivada de orden cero de es solo ). Además, denotemos una antiderivada de . Según el teorema fundamental del cálculo , ${\displaystyle f^{(0)}=f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{(-1)}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).}$

Por tanto, la última fórmula se puede simplificar aún más a la siguiente forma sucinta de la fórmula de Euler-Maclaurin

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).}$

Esta forma es, por ejemplo, la fuente de la importante expansión de Euler-Maclaurin de la función zeta.

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}s^{\overline {k-1}}+R(s,m)\\&={\frac {B_{0}}{0!}}s^{\overline {-1}}+{\frac {B_{1}^{+}}{1!}}s^{\overline {0}}+{\frac {B_{2}}{2!}}s^{\overline {1}}+\cdots +R(s,m)\\&={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}s+\cdots +R(s,m).\end{aligned}}}$

Aquí s ^k denota el poder factorial creciente . ^[21]

Los números de Bernoulli también se utilizan con frecuencia en otros tipos de expansiones asintóticas . El siguiente ejemplo es la expansión asintótica clásica de tipo Poincaré de la función digamma ψ .

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}}$

Suma de poderes

Los números de Bernoulli ocupan un lugar destacado en la expresión de forma cerrada de la suma de las m -ésimas potencias de los primeros n enteros positivos. Para m , n ≥ 0 definir

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}.}$

Esta expresión siempre se puede reescribir como un polinomio en n de grado m + 1 . Los coeficientes de estos polinomios están relacionados con los números de Bernoulli mediante la fórmula de Bernoulli :

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k}=m!\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}n^{m+1-k}}{k!(m+1-k)!}},}$

dónde (^{metro +}
_1k) denota elcoeficiente binomial.

Por ejemplo, tomando m como 1 se obtienen los números triangulares 0, 1, 3, 6,... OEIS : A000217 .

${\displaystyle 1+2+\cdots +n={\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1})={\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).}$

Tomando m como 2 se obtienen los números piramidales cuadrados 0, 1, 5, 14, ... OEIS : A000330 .

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}^{+}n^{2}+3B_{2}n^{1})={\tfrac {1}{3}}\left(n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n\right).}$

Algunos autores utilizan la convención alternativa para los números de Bernoulli y expresan la fórmula de Bernoulli de esta manera:

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}n^{m+1-k}.}$

La fórmula de Bernoulli a veces se llama fórmula de Faulhaber en honor a Johann Faulhaber , quien también encontró formas notables de calcular sumas de potencias .

La fórmula de Faulhaber fue generalizada por V. Guo y J. Zeng a un análogo q . ^[22]

serie de taylor

Los números de Bernoulli aparecen en la expansión en serie de Taylor de muchas funciones trigonométricas y funciones hiperbólicas .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}.\\\cot x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\\\tanh x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&|x|<{\frac {\pi }{2}}.\\\coth x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\end{aligned}}}$$

serie laurent

Los números de Bernoulli aparecen en la siguiente serie de Laurent : ^[23]

Función digamma : ${\displaystyle \psi (z)=\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+{}}}{kz^{k}}}}$

Uso en topología

La fórmula de Kervaire-Milnor para el orden del grupo cíclico de clases de difeomorfismo de esferas exóticas (4 n - 1) que unen variedades paralelizables implica números de Bernoulli. Sea ES _n el número de esferas exóticas para n ≥ 2 , entonces

${\displaystyle {\textit {ES}}_{n}=(2^{2n-2}-2^{4n-3})\operatorname {Numerator} \left({\frac {B_{4n}}{4n}}\right).}$

El teorema de la firma de Hirzebruch para el género L de una variedad cerrada orientada suave de dimensión 4 n también involucra números de Bernoulli.

Conexiones con números combinatorios

La conexión del número de Bernoulli con varios tipos de números combinatorios se basa en la teoría clásica de las diferencias finitas y en la interpretación combinatoria de los números de Bernoulli como un ejemplo de un principio combinatorio fundamental, el principio de inclusión-exclusión .

Conexión con los números de Worpitzky

La definición a seguir fue desarrollada por Julius Worpitzky en 1883. Además de la aritmética elemental, sólo la función factorial n ! y se emplea la función de potencia k ^m . Los números de Worpitzky sin signos se definen como

${\displaystyle W_{n,k}=\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v+k}(v+1)^{n}{\frac {k!}{v!(k-v)!}}.}$

También se pueden expresar mediante los números de Stirling de segunda especie.

${\displaystyle W_{n,k}=k!\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}.}$

Luego se introduce un número de Bernoulli como una suma de inclusión-exclusión de números de Worpitzky ponderados por la secuencia armónica 1, 1/2, 1/3, ...

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {W_{n,k}}{k+1}}\ =\ \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}(v+1)^{n}{k \choose v}\ .}$

B ₀ = 1

segundo ₁ = 1 -1/2

segundo ₂ = 1 -3/2+2/3

segundo ₃ = 1 -7/2+12/3−6/4

segundo ₄ = 1 -15/2+50/3−60/4+24/5

segundo ₅ = 1 -31/2+180/3−390/4+360/5−120/6

segundo ₆ = 1 -63/2+602/3−2100/4+3360/5−2520/6+720/7

Esta representación tiene B⁺
₁= +1/2.

Considere la secuencia s _n , n ≥ 0 . De los números de Worpitzky OEIS : A028246 , OEIS : A163626 aplicado a s ₀ , s ₀ , s ₁ , s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₃ , ... es idéntico al Akiyama –Transformada de Tanigawa aplicada a s _n (ver Conexión con los números de Stirling de primera clase). Esto se puede ver a través de la tabla:

La primera fila representa s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₃ , s ₄ .

Por lo tanto, para los segundos números fraccionarios de Euler OEIS : A198631 ( n )/ OEIS : A006519 ( n + 1 ):

mi ₀ = 1

mi ₁ = 1 -1/2

mi ₂ = 1 -3/2+2/4

mi ₃ = 1 -7/2+12/4−6/8

mi ₄ = 1 -15/2+50/4−60/8+24/dieciséis

mi ₅ = 1 -31/2+180/4−390/8+360/dieciséis−120/32

mi ₆ = 1 -63/2+602/4−2100/8+3360/dieciséis−2520/32+720/64

Una segunda fórmula que representa los números de Bernoulli mediante los números de Worpitzky es para n ≥ 1

${\displaystyle B_{n}={\frac {n}{2^{n+1}-2}}\sum _{k=0}^{n-1}(-2)^{-k}\,W_{n-1,k}.}$

La segunda representación simplificada de Worpitzky de los segundos números de Bernoulli es:

OEIS : A164555 ( norte + 1 ) / OEIS : A027642 ( norte + 1 ) =norte + 1/2 ^{norte + 2} - 2× OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 )

que vincula los segundos números de Bernoulli con los segundos números fraccionarios de Euler. El comienzo es:

1/2,1/6, 0, -1/30, 0,1/42, ... = (1/2,1/3,3/14,2/15,5/62,1/21, ...) × (1,1/2, 0, -1/4, 0,1/2, ...)

Los numeradores del primer paréntesis son OEIS : A111701 (ver Conexión con los números de Stirling del primer tipo).

Conexión con los números de Stirling del segundo tipo.

Si se definen los polinomios de Bernoulli B _k ( j ) como: ^[24]

${\displaystyle B_{k}(j)=k\sum _{m=0}^{k-1}{\binom {j}{m+1}}S(k-1,m)m!+B_{k}}$

donde B _k para k = 0, 1, 2,... son los números de Bernoulli.

También se tiene lo siguiente para los polinomios de Bernoulli, ^[24]

${\displaystyle B_{k}(j)=\sum _{n=0}^{k}{\binom {k}{n}}B_{n}j^{k-n}.}$

El coeficiente de j en (^j
_{m + 1}) es(-1) ^metro/metro + 1.

Comparando el coeficiente de j en las dos expresiones de los polinomios de Bernoulli, se tiene:

${\displaystyle B_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}(-1)^{m}{\frac {m!}{m+1}}S(k-1,m)}$

(resultando en B ₁ = +1/2) que es una fórmula explícita para los números de Bernoulli y puede usarse para demostrar el teorema de Von-Staudt Clausen . ^{[25] [26] [27]}

Conexión con los números de Stirling del primer tipo.

Las dos fórmulas principales que relacionan los números de Stirling sin signo del primer tipo [^m
_​] a los números de Bernoulli (con B ₁ = +1/2) son

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{k}={\frac {1}{m+1}},}$

y la inversión de esta suma (para n ≥ 0 , m ≥ 0 )

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{n+k}=A_{n,m}.}$

_{Aquí ,} los números An _{, m} son los números racionales de Akiyama-Tanigawa, los primeros de los cuales se muestran en la siguiente tabla.

Los números de Akiyama-Tanigawa satisfacen una relación de recurrencia simple que puede aprovecharse para calcular de forma iterativa los números de Bernoulli. Esto conduce al algoritmo que se muestra en la sección "descripción algorítmica" anterior. Ver OEIS : A051714 / OEIS : A051715 .

Una autosecuencia es una secuencia que tiene su transformada binomial inversa igual a la secuencia con signo. Si la diagonal principal es ceros = OEIS : A000004 , la autosecuencia es del primer tipo. Ejemplo: OEIS : A000045 , los números de Fibonacci. Si la diagonal principal es la primera diagonal superior multiplicada por 2, es del segundo tipo. Ejemplo: OEIS : A164555 / OEIS : A027642 , el segundo número de Bernoulli (ver OEIS : A190339 ). La transformada de Akiyama-Tanigawa aplicada a 2 ^{− n} = 1/ OEIS : A000079 conduce a OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A06519 ( n + 1). Por eso:

Ver OEIS : A209308 y OEIS : A227577 . OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 ) son los segundos números de Euler (fraccionales) y una autosecuencia del segundo tipo.

(OEIS : A164555 ( n +2 )/OEIS : A027642 ( n +2 )=1/6, 0, -1/30, 0,1/42, ... ) × (2 ^{norte + 3} - 2/norte + 2= 3,14/3,15/2,62/5, 21, ... ) =OEIS : A198631 ( n +1 )/OEIS : A006519 ( n +2 )=1/2, 0, -1/4, 0,1/2, ... .

También valioso para OEIS : A027641 / OEIS : A027642 (ver Conexión con números Worpitzky).

Conexión con el triángulo de Pascal

Hay fórmulas que conectan el triángulo de Pascal con los números de Bernoulli ^[c]

${\displaystyle B_{n}^{+}={\frac {|A_{n}|}{(n+1)!}}~~~}$

¿Dónde está el determinante de una matriz de Hessenberg de n por n que forma parte del triángulo de Pascal cuyos elementos son: ${\displaystyle |A_{n}|}$ ${\displaystyle a_{i,k}={\begin{cases}0&{\text{if }}k>1+i\\{i+1 \choose k-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Ejemplo:

${\displaystyle B_{6}^{+}={\frac {\det {\begin{pmatrix}1&2&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0\\1&4&6&4&0&0\\1&5&10&10&5&0\\1&6&15&20&15&6\\1&7&21&35&35&21\end{pmatrix}}}{7!}}={\frac {120}{5040}}={\frac {1}{42}}}$

Conexión con los números eulerianos

Hay fórmulas que conectan los números eulerianos ⟨^m
_​⟩ a números de Bernoulli:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle &=2^{n+1}(2^{n+1}-1){\frac {B_{n+1}}{n+1}},\\\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle {\binom {n}{m}}^{-1}&=(n+1)B_{n}.\end{aligned}}}$

Ambas fórmulas son válidas para n ≥ 0 si B ₁ se establece en1/2. Si B ₁ se establece en -1/2son válidos sólo para n ≥ 1 y n ≥ 2 respectivamente.

Una representación de árbol binario

Los polinomios de Stirling σ _n ( x ) están relacionados con los números de Bernoulli por B _n = n ! σ _norte (1) . SC Woon describió un algoritmo para calcular σ _n (1) como un árbol binario: ^[28]

El algoritmo recursivo de Woon (para n ≥ 1 ) comienza asignando al nodo raíz N = [1,2] . Dado un nodo N = [ a ₁ , a ₂ , ..., a _k ] del árbol, el hijo izquierdo del nodo es L ( N ) = [− a ₁ , a ₂ + 1, a ₃ , .. ., a _k ] y el hijo derecho R ( N ) = [ a ₁ , 2, a ₂ , ..., a _k ] . Un nodo N = [ a ₁ , a ₂ , ..., a _k ] se escribe como ±[ a ₂ , ..., a _k ] en la parte inicial del árbol representado arriba donde ± denota el signo de a ₁ .

Dado un nodo N, el factorial de N se define como

${\displaystyle N!=a_{1}\prod _{k=2}^{\operatorname {length} (N)}a_{k}!.}$

Restringido a los nodos N de un nivel de árbol fijo n la suma de1/norte !es σ _n (1) , por lo tanto

${\displaystyle B_{n}=\sum _{\stackrel {N{\text{ node of}}}{{\text{ tree-level }}n}}{\frac {n!}{N!}}.}$

Por ejemplo:

B ₁ = 1!(1/2!)

segundo ₂ = 2!(-1/3!+1/2!2!)

B ₃ = 3!(1/4!−1/2!3!−1/3!2!+1/2!2!2!)

Representación integral y continuación.

la integral

${\displaystyle b(s)=2e^{si\pi /2}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}={\frac {s!}{2^{s-1}}}{\frac {\zeta (s)}{{}\pi ^{s}{}}}(-i)^{s}={\frac {2s!\zeta (s)}{(2\pi i)^{s}}}}$

tiene como valores especiales b (2 n ) = B _{2 n} para n > 0 .

Por ejemplo, b (3) =3/2ζ (3) π ⁻³ i y b (5) = −15/2ζ (5) π ⁻⁵ yo . Aquí, ζ es la función zeta de Riemann e i es la unidad imaginaria . Leonhard Euler ( Opera Omnia , Ser. 1, Vol. 10, p. 351) consideró estos números y calculó

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {3}{2\pi ^{3}}}\left(1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \right)=0.0581522\ldots \\q&={\frac {15}{2\pi ^{5}}}\left(1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots \right)=0.0254132\ldots \end{aligned}}}$

Otra representación integral similar es

${\displaystyle b(s)=-{\frac {e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{\sinh \pi t}}{\frac {dt}{t}}={\frac {2e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{\pi t}st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}.}$

La relación con los números de Euler y π

Los números de Euler son una secuencia de números enteros íntimamente relacionados con los números de Bernoulli. La comparación de las expansiones asintóticas de los números de Bernoulli y de Euler muestra que los números de Euler E _{2 n} tienen una magnitud aproximada2/π(4 ^{2 n} − 2 ^{2 n} ) veces mayor que los números de Bernoulli B _{2 n} . En consecuencia:

${\displaystyle \pi \sim 2(2^{2n}-4^{2n}){\frac {B_{2n}}{E_{2n}}}.}$

Esta ecuación asintótica revela que π se encuentra en la raíz común de los números de Bernoulli y Euler. De hecho , π podría calcularse a partir de estas aproximaciones racionales.

Los números de Bernoulli se pueden expresar mediante los números de Euler y viceversa. Dado que, para n impar , B _n = E _n = 0 (con la excepción de B ₁ ), basta considerar el caso en que n es par.

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}{\frac {n}{4^{n}-2^{n}}}E_{k}&n&=2,4,6,\ldots \\[6pt]E_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}{\frac {2^{k}-4^{k}}{k}}B_{k}&n&=2,4,6,\ldots \end{aligned}}}$

Estas fórmulas de conversión expresan una conexión entre los números de Bernoulli y Euler. Pero lo más importante es que existe una raíz aritmética profunda común a ambos tipos de números, que puede expresarse mediante una secuencia de números más fundamental, también estrechamente ligada a π . Estos números se definen para n ≥ 1 como ^{[29] [30]}

${\displaystyle S_{n}=2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{kn}}{(2k+1)^{n}}}=2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n}\lim _{K\to \infty }\sum _{k=-K}^{K}(4k+1)^{-n}.}$

La magia de estos números radica en el hecho de que resultan ser números racionales. Esto fue demostrado por primera vez por Leonhard Euler en un artículo histórico De summis serierum reciprocarum (Sobre las sumas de series de recíprocos) y ha fascinado a los matemáticos desde entonces. ^[31] Los primeros de estos números son

${\displaystyle S_{n}=1,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {5}{24}},{\frac {2}{15}},{\frac {61}{720}},{\frac {17}{315}},{\frac {277}{8064}},{\frac {62}{2835}},\ldots }$( OEIS : A099612 / OEIS : A099617 )

Estos son los coeficientes en la expansión de sec x + tan x .

Los números de Bernoulli y los números de Euler pueden entenderse como vistas especiales de estos números, seleccionados de la secuencia S _n y escalados para su uso en aplicaciones especiales.

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n!}{2^{n}-4^{n}}}\,S_{n}\ ,&n&=2,3,\ldots \\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]n!\,S_{n+1}&n&=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

La expresión [ n par] tiene el valor 1 si n es par y 0 en caso contrario ( corchete de Iverson ).

Estas identidades muestran que el cociente de los números de Bernoulli y Euler al comienzo de esta sección es solo el caso especial de R _n =2 S _norte/S _{norte + 1}cuando n es par. Los R _n son aproximaciones racionales a π y dos términos sucesivos siempre encierran el verdadero valor de π . Comenzando con n = 1 comienza la secuencia ( OEIS : A132049 / OEIS : A132050 ):

${\displaystyle 2,4,3,{\frac {16}{5}},{\frac {25}{8}},{\frac {192}{61}},{\frac {427}{136}},{\frac {4352}{1385}},{\frac {12465}{3968}},{\frac {158720}{50521}},\ldots \quad \longrightarrow \pi .}$

Estos números racionales también aparecen en el último párrafo del artículo de Euler citado anteriormente.

Considere la transformada de Akiyama-Tanigawa para la secuencia OEIS : A046978 ( n + 2 ) / OEIS : A016116 ( n + 1 ):

A partir de la segunda, los numeradores de la primera columna son los denominadores de la fórmula de Euler. La primera columna es:1/2× OEIS : A163982 .

Una visión algorítmica: el triángulo de Seidel

La secuencia S _n tiene otra propiedad inesperada pero importante: ¡Los denominadores de S _{n +1} dividen el factorial n ! . En otras palabras: los números T _n  =  S _{n + 1} n ! , a veces llamados números en zigzag de Euler , son números enteros.

${\displaystyle T_{n}=1,\,1,\,1,\,2,\,5,\,16,\,61,\,272,\,1385,\,7936,\,50521,\,353792,\ldots \quad n=0,1,2,3,\ldots }$( OEIS : A000111 ). Ver ( OEIS : A253671 ).

Su función generadora exponencial es la suma de las funciones secante y tangente .

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)=\sec x+\tan x}$.

Por lo tanto, las representaciones anteriores de los números de Bernoulli y Euler se pueden reescribir en términos de esta secuencia como

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n}{2^{n}-4^{n}}}\,T_{n-1}\ &n&\geq 2\\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]T_{n}&n&\geq 0\end{aligned}}}$

Estas identidades facilitan el cálculo de los números de Bernoulli y Euler: los números de Euler E _{2 n} están dados inmediatamente por T _{2 n} y los números de Bernoulli B _{2 n} son fracciones obtenidas de T _{2 n - 1} mediante algunos desplazamientos sencillos, evitando la aritmética racional. .

Lo que queda es encontrar una manera conveniente de calcular los números T _n . Sin embargo, ya en 1877 Philipp Ludwig von Seidel publicó un ingenioso algoritmo que simplifica el cálculo de T _n . ^[32]

${\displaystyle {\begin{array}{crrrcc}{}&{}&{\color {red}1}&{}&{}&{}\\{}&{\rightarrow }&{\color {blue}1}&{\color {red}1}&{}\\{}&{\color {red}2}&{\color {blue}2}&{\color {blue}1}&{\leftarrow }\\{\rightarrow }&{\color {blue}2}&{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {red}5}\\{\color {red}16}&{\color {blue}16}&{\color {blue}14}&{\color {blue}10}&{\color {blue}5}&{\leftarrow }\end{array}}}$

Algoritmo de Seidel para T _n

1. Comience poniendo 1 en la fila 0 y deje que k indique el número de la fila que se está completando actualmente.
2. Si k es impar, entonces coloque el número en el extremo izquierdo de la fila k − 1 en la primera posición de la fila k y complete la fila de izquierda a derecha, siendo cada entrada la suma del número elevado a izquierda y el número arriba
3. Al final de la fila duplica el último número.
4. Si k es par, proceda de manera similar en la otra dirección.

De hecho, el algoritmo de Seidel es mucho más general (véase la exposición de Dominique Dumont ^[33] ) y fue redescubierto varias veces posteriormente.

De manera similar al enfoque de Seidel, DE Knuth y TJ Buckholtz dieron una ecuación de recurrencia para los números T _{2 n} y recomendaron este método para calcular B _{2 n} y E _{2 n} 'en computadoras electrónicas utilizando sólo operaciones simples con números enteros'. ^[34]

VI Arnold ^[35] redescubrió el algoritmo de Seidel y posteriormente Millar, Sloane y Young popularizaron el algoritmo de Seidel con el nombre de transformada de boustrophedon .

Forma triangular:

Solo OEIS : A000657 , con un 1, y OEIS : A214267 , con dos 1, están en el OEIS.

Distribución con un 1 suplementario y un 0 en las siguientes filas:

Este es OEIS : A239005 , una versión firmada de OEIS : A008280 . La andiagonal principal es OEIS : A122045 . La diagonal principal es OEIS : A155585 . La columna central es OEIS : A099023 . Sumas de filas: 1, 1, −2, −5, 16, 61.... Ver OEIS : A163747 . Vea la matriz que comienza con 1, 1, 0, −2, 0, 16, 0 a continuación.

El algoritmo de Akiyama-Tanigawa aplicado a OEIS : A046978 ( n + 1 )/ OEIS : A016116 ( n ) produce:

1. La primera columna es OEIS : A122045 . Su transformada binomial conduce a:

La primera fila de esta matriz es OEIS : A155585 . Los valores absolutos de las antidiagonales crecientes son OEIS : A008280 . La suma de las antidiagonales es − OEIS : A163747 ( n + 1 ).

2. La segunda columna es 1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385... . Su transformada binomial produce:

La primera fila de esta matriz es 1 2 2 −4 −16 32 272 544 −7936 15872 353792 −707584... . Los valores absolutos de la segunda bisección son el doble de los valores absolutos de la primera bisección.

Considere el algoritmo de Akiyama-Tanigawa aplicado a OEIS : A046978 ( n )/( OEIS : A158780 ( n + 1 ) = abs( OEIS : A117575 ( n )) + 1 = 1, 2, 2,3/2, 1,3/4,3/4,7/8, 1,17/dieciséis,17/dieciséis,33/32... .

La primera columna cuyos valores absolutos son OEIS : A000111 podría ser el numerador de una función trigonométrica.

OEIS : A163747 es una autosecuencia del primer tipo (la diagonal principal es OEIS : A000004 ). La matriz correspondiente es:

Las dos primeras diagonales superiores son −1 3 −24 402... = (−1) ^{n + 1}  ×  OEIS : A002832 . La suma de las antidiagonales es 0 −2 0 10... = 2 ×  OEIS : A122045 ( n  + 1).

− OEIS : A163982 es una autosecuencia del segundo tipo, como por ejemplo OEIS : A164555 / OEIS : A027642 . De ahí la matriz:

La diagonal principal, aquí 2 −2 8 −92... , es el doble de la primera superior, aquí OEIS : A099023 . La suma de las antidiagonales es 2 0 −4 0... = 2 ×  OEIS : A155585 ( n + 1). OEIS : A163747  −  OEIS : A163982 = 2 ×  OEIS : A122045 .

Una visión combinatoria: permutaciones alternas

Alrededor de 1880, tres años después de la publicación del algoritmo de Seidel, Désiré André demostró un resultado ya clásico del análisis combinatorio. ^{[36] [37]} Al observar los primeros términos de la expansión de Taylor de las funciones trigonométricas tan x y sec x, André hizo un descubrimiento sorprendente.

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&=x+{\frac {2x^{3}}{3!}}+{\frac {16x^{5}}{5!}}+{\frac {272x^{7}}{7!}}+{\frac {7936x^{9}}{9!}}+\cdots \\[6pt]\sec x&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {5x^{4}}{4!}}+{\frac {61x^{6}}{6!}}+{\frac {1385x^{8}}{8!}}+{\frac {50521x^{10}}{10!}}+\cdots \end{aligned}}}$

Los coeficientes son los números de Euler de índice par e impar, respectivamente. En consecuencia, el desarrollo ordinario de tan x + sec x tiene como coeficientes los números racionales S _n .

${\displaystyle \tan x+\sec x=1+x+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {2}{15}}x^{5}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots }$

Luego, André logró, mediante un argumento de recurrencia, demostrar que las permutaciones alternas de tamaño impar se enumeran mediante los números de Euler de índice impar (también llamados números tangentes) y las permutaciones alternas de tamaño par mediante los números de Euler de índice par (también llamados números secantes).

Secuencias relacionadas

La media aritmética del primer y segundo número de Bernoulli son los números de Bernoulli asociados: B ₀ = 1 , B ₁ = 0 , B ₂ =1/6, segundo ₃ = 0 , segundo ₄ = -1/30, OEIS : A176327 / OEIS : A027642 . A través de la segunda fila de su transformada inversa de Akiyama-Tanigawa OEIS : A177427 , conducen a la serie de Balmer OEIS : A061037 / OEIS : A061038 .

El algoritmo de Akiyama-Tanigawa aplicado a OEIS : A060819 ( n + 4 )/ OEIS : A145979 ( n ) conduce a los números de Bernoulli OEIS : A027641 / OEIS : A027642 , OEIS : A164555 / OEIS : A027642 , o OEIS : A176327 OEIS : 6289 sin B ₁ , denominados números intrínsecos de Bernoulli B _i ( n ) .

De ahí otro vínculo entre los números intrínsecos de Bernoulli y la serie de Balmer a través de OEIS : A145979 ( n ).

OEIS : A145979 ( n − 2 ) = 0, 2, 1, 6,... es una permutación de los números no negativos.

Los términos de la primera fila son f(n) =1/2+1/norte + 2. 2, f(n) es una autosecuencia del segundo tipo. 3/2, f(n) lleva por su transformada binomial inversa a 3/2 −1/2 1/3 −1/4 1/5 ... = 1/2 + log 2.

Considere g(n) = 1/2 – 1 / (n+2) = 0, 1/6, 1/4, 3/10, 1/3. La transformada de Akiyama-Tanagiwa da:

0, g(n), es una autosecuencia del segundo tipo.

Euler OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 ) sin el segundo término (1/2) son los números de Euler intrínsecos fraccionarios E _i ( n ) = 1, 0, −1/4, 0,1/2, 0, -17/8, 0, ... La transformada de Akiyama correspondiente es:

La primera línea es Eu ( n ) . Eu ( n ) precedida por un cero es una autosecuencia del primer tipo. Está vinculado a los números de Oresme. Los numeradores de la segunda línea son OEIS : A069834 precedido de 0. La tabla de diferencias es:

Propiedades aritméticas de los números de Bernoulli

Los números de Bernoulli se pueden expresar en términos de la función zeta de Riemann como B _n = − nζ (1 − n ) para números enteros n ≥ 0 siempre que n = 0 la expresión − nζ (1 − n ) se entienda como el valor límite y la convención B ₁ =1/2se utiliza. Esto los relaciona íntimamente con los valores de la función zeta en números enteros negativos. Como tales, se podría esperar que tuvieran y tengan profundas propiedades aritméticas. Por ejemplo, la conjetura de Agoh-Giuga postula que p es un número primo si y sólo si pB _{p − 1} es congruente con −1 módulo p . Las propiedades de divisibilidad de los números de Bernoulli están relacionadas con los grupos de clases ideales de campos ciclotómicos mediante un teorema de Kummer y su fortalecimiento en el teorema de Herbrand-Ribet , y con los números de clase de campos cuadráticos reales según Ankeny-Artin-Chowla .

Los teoremas de Kummer

Los números de Bernoulli están relacionados con el último teorema de Fermat (FLT) mediante el teorema de Kummer , ^[38] que dice:

Si el primo impar p no divide ninguno de los numeradores de los números de Bernoulli B ₂ , B ₄ , ..., B _{p − 3} entonces x ^p + y ^p + z ^p = 0 no tiene soluciones en números enteros distintos de cero.

Los números primos con esta propiedad se llaman primos regulares . Otro resultado clásico de Kummer son las siguientes congruencias . ^[39]

Sea p un número primo impar y b un número par tal que p  − 1 no divide a b . Entonces, para cualquier entero no negativo k

${\displaystyle {\frac {B_{k(p-1)+b}}{k(p-1)+b}}\equiv {\frac {B_{b}}{b}}{\pmod {p}}.}$

Una generalización de estas congruencias recibe el nombre de continuidad p -ádica.

continuidad p -ádica

Si b , m y n son enteros positivos tales que m y n no son divisibles por p − 1 y m ≡ n (mod p ^{b − 1} ( p − 1)) , entonces

${\displaystyle (1-p^{m-1}){\frac {B_{m}}{m}}\equiv (1-p^{n-1}){\frac {B_{n}}{n}}{\pmod {p^{b}}}.}$

Dado que B _n = − nζ (1 − n ) , esto también se puede escribir

${\displaystyle \left(1-p^{-u}\right)\zeta (u)\equiv \left(1-p^{-v}\right)\zeta (v){\pmod {p^{b}}},}$

donde u = 1 − m y v = 1 − n , de modo que u y v no son positivos y no congruentes con 1 módulo p − 1 . Esto nos dice que la función zeta de Riemann, con 1 − p ^{− s} sacado de la fórmula del producto de Euler, es continua en los números p -ádicos en enteros negativos impares congruentes módulo p − 1 con un mod particular a ≢ 1 ( p − 1) , y por lo tanto se puede extender a una función continua ζ _p ( s ) para todos los p -ádicos enteros la función zeta p -ádica . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$

Las congruencias de Ramanujan

Las siguientes relaciones, debidas a Ramanujan , proporcionan un método para calcular los números de Bernoulli que es más eficiente que el dado por su definición recursiva original:

${\displaystyle {\binom {m+3}{m}}B_{m}={\begin{cases}{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 0{\pmod {6}};\\{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-2}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 2{\pmod {6}};\\-{\frac {m+3}{6}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-4}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 4{\pmod {6}}.\end{cases}}}$

Teorema de von Staudt-Clausen

El teorema de von Staudt-Clausen fue propuesto por Karl Georg Christian von Staudt ^[40] y Thomas Clausen ^[41] de forma independiente en 1840. El teorema establece que para cada n > 0 ,

${\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)\,\mid \,2n}{\frac {1}{p}}}$

es un número entero. La suma se extiende a todos los primos p para los cuales p − 1 divide 2 n .

Una consecuencia de esto es que el denominador de B _{2 n} viene dado por el producto de todos los primos p para los cuales p − 1 divide 2 n . En particular, estos denominadores no tienen cuadrados y son divisibles por 6.

¿Por qué desaparecen los números impares de Bernoulli?

La suma

${\displaystyle \varphi _{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}i^{k}-{\frac {n^{k}}{2}}}$

se puede evaluar para valores negativos del índice n . Hacerlo mostrará que es una función impar para valores pares de k , lo que implica que la suma solo tiene términos de índice impar. Esto y la fórmula de la suma de Bernoulli implican que B _{2 k + 1 − m} es 0 para m par y 2 k + 1 − m > 1 ; y que el término para B ₁ se cancela por la resta. El teorema de von Staudt-Clausen combinado con la representación de Worpitzky también da una respuesta combinatoria a esta pregunta (válida para n > 1).

Del teorema de von Staudt-Clausen se sabe que para n impar > 1 el número 2 B _n es un número entero. Esto parece trivial si se sabe de antemano que el número entero en cuestión es cero. Sin embargo, al aplicar la representación de Worpitzky se obtiene

${\displaystyle 2B_{n}=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{\frac {2}{m+1}}m!\left\{{n+1 \atop m+1}\right\}=0\quad (n>1{\text{ is odd}})}$

como una suma de números enteros , lo cual no es trivial. Aquí surge un hecho combinatorio que explica la desaparición de los números de Bernoulli con índice impar. Sea S _{n , m} el número de aplicaciones sobreyectivas desde {1, 2, ..., n } hasta {1, 2, ..., m }, entonces S _{n , m} = m . {^m
_​} . La última ecuación sólo puede ser válida si

${\displaystyle \sum _{{\text{odd }}m=1}^{n-1}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}=\sum _{{\text{even }}m=2}^{n}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}\quad (n>2{\text{ is even}}).}$

Esta ecuación se puede demostrar por inducción. Los primeros dos ejemplos de esta ecuación son

norte = 4: 2 + 8 = 7 + 3 ,

norte = 6: 2 + 120 + 144 = 31 + 195 + 40 .

Así, los números de Bernoulli desaparecen en índices impares porque algunas identidades combinatorias no obvias están incorporadas en los números de Bernoulli.

Una reformulación de la hipótesis de Riemann

La conexión entre los números de Bernoulli y la función zeta de Riemann es lo suficientemente fuerte como para proporcionar una formulación alternativa de la hipótesis de Riemann (RH) que utiliza sólo los números de Bernoulli. De hecho Marcel Riesz demostró que la RH equivale a la siguiente afirmación: ^[42]

Por cada ε >1/4existe una constante C _ε > 0 (dependiendo de ε ) tal que | R ( x ) | < C _ε x ^ε como x → ∞ .

Aquí R ( x ) es la función de Riesz

${\displaystyle R(x)=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\left({\frac {B_{2k}}{2k}}\right)}}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\beta _{2k}}}.}$

n ^k denota el poder factorial creciente en la notación de DE Knuth . Los números β _n =B _n./norteocurren con frecuencia en el estudio de la función zeta y son significativos porque β _n es un p -entero para primos p donde p − 1 no divide a n . Los βn se llaman números de _Bernoulli divididos .

Números de Bernoulli generalizados

Los números de Bernoulli generalizados son ciertos números algebraicos , definidos de manera similar a los números de Bernoulli, que están relacionados con valores especiales de las funciones L de Dirichlet de la misma manera que los números de Bernoulli están relacionados con valores especiales de la función zeta de Riemann.

Sea χ un carácter de Dirichlet módulo f . Los números de Bernoulli generalizados adjuntos a χ se definen por

${\displaystyle \sum _{a=1}^{f}\chi (a){\frac {te^{at}}{e^{ft}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k,\chi }{\frac {t^{k}}{k!}}.}$

Aparte del excepcional B _1,1 =1/2, tenemos, para cualquier carácter de Dirichlet χ , que B _{k , χ} = 0 si χ (−1) ≠ (−1) ^k .

Generalizando la relación entre los números de Bernoulli y los valores de la función zeta de Riemann en números enteros no positivos, se tiene para todos los números enteros k ≥ 1 :

${\displaystyle L(1-k,\chi )=-{\frac {B_{k,\chi }}{k}},}$

donde L ( s , χ ) es la función L de Dirichlet de χ . ^[43]

Número de Eisenstein-Kronecker

Los números de Eisenstein-Kronecker son análogos de los números de Bernoulli generalizados para campos cuadráticos imaginarios . ^{[44] [45]} Están relacionados con los valores L críticos de los caracteres de Hecke . ^[45]

Apéndice

Identidades variadas

• El cálculo umbral da una forma compacta de la fórmula de Bernoulli utilizando un símbolo abstracto B :

  ${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}((\mathbf {B} +n)^{m+1}-B_{m+1})}$

  donde el símbolo B ^k que aparece durante la expansión binomial del término entre paréntesis debe ser reemplazado por el número de Bernoulli B _k (y B ₁ = +1/2). De manera más sugestiva y mnemotécnica, esto puede escribirse como una integral definida:

  ${\displaystyle S_{m}(n)=\int _{0}^{n}(\mathbf {B} +x)^{m}\,dx}$

  Muchas otras identidades de Bernoulli se pueden escribir de forma compacta con este símbolo, por ejemplo

  ${\displaystyle (1-2\mathbf {B} )^{m}=(2-2^{m})B_{m}}$

• Sea n par y no negativo

  ${\displaystyle \zeta (n)={\frac {(-1)^{{\frac {n}{2}}-1}B_{n}(2\pi )^{n}}{2(n!)}}}$

• El n ésimo acumulante de la distribución de probabilidad uniforme en el intervalo [−1, 0] esB _n./norte.
• Sea n ? =1/norte !y norte ≥ 1 . Entonces B _n es el siguiente determinante ( n + 1) × ( n + 1 ) : ^[46]

  ${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=n!{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &0&1\\2?&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\n?&(n-1)?&\cdots &1&0\\(n+1)?&n?&\cdots &2?&0\end{vmatrix}}\\[8pt]&=n!{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &0&1\\{\frac {1}{2!}}&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {1}{n!}}&{\frac {1}{(n-1)!}}&\cdots &1&0\\{\frac {1}{(n+1)!}}&{\frac {1}{n!}}&\cdots &{\frac {1}{2!}}&0\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

  Por tanto, el determinante es σ _n (1) , el polinomio de Stirling en x = 1 .
• Para números pares de Bernoulli, B _{2 p} viene dado por el determinante ( p + 1) × ( p + 1 ) : ^[46]

  ${\displaystyle B_{2p}=-{\frac {(2p)!}{2^{2p}-2}}{\begin{vmatrix}1&0&0&\cdots &0&1\\{\frac {1}{3!}}&1&0&\cdots &0&0\\{\frac {1}{5!}}&{\frac {1}{3!}}&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {1}{(2p+1)!}}&{\frac {1}{(2p-1)!}}&{\frac {1}{(2p-3)!}}&\cdots &{\frac {1}{3!}}&0\end{vmatrix}}}$

• Sea n ≥ 1 . Entonces ( Leonhard Euler )

  ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}B_{n-k}+B_{n-1}=-B_{n}}$

• Sea n ≥ 1 . Entonces ^[47]

  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n+1}{k}}(n+k+1)B_{n+k}=0}$

• Sea n ≥ 0 . Entonces ( Leopold Kronecker 1883)

  ${\displaystyle B_{n}=-\sum _{k=1}^{n+1}{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {n+1}{k}}\sum _{j=1}^{k}j^{n}}$

• Sea n ≥ 1 y m ≥ 1 . Entonces ^[48]

  ${\displaystyle (-1)^{m}\sum _{r=0}^{m}{\binom {m}{r}}B_{n+r}=(-1)^{n}\sum _{s=0}^{n}{\binom {n}{s}}B_{m+s}}$

• Sea n ≥ 4 y

  ${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{-1}}$

  el número armónico . Entonces (H. Miki 1978)

  ${\displaystyle {\frac {n}{2}}\sum _{k=2}^{n-2}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}{\frac {B_{k}}{k}}-\sum _{k=2}^{n-2}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}B_{k}=H_{n}B_{n}}$

• Sea n ≥ 4 . Yuri Matiyasevich encontrado (1997)

  ${\displaystyle (n+2)\sum _{k=2}^{n-2}B_{k}B_{n-k}-2\sum _{l=2}^{n-2}{\binom {n+2}{l}}B_{l}B_{n-l}=n(n+1)B_{n}}$

• Faber – Pandharipande – Zagier – Gessel identidad : para n ≥ 1 ,

  ${\displaystyle {\frac {n}{2}}\left(B_{n-1}(x)+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {B_{k}(x)}{k}}{\frac {B_{n-k}(x)}{n-k}}\right)-\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}B_{k}(x)=H_{n-1}B_{n}(x).}$

  Elegir x = 0 o x = 1 da como resultado la identidad del número de Bernoulli en una u otra convención.
• La siguiente fórmula es cierta para n ≥ 0 si B ₁ = B ₁ (1) =1/2, pero sólo para n ≥ 1 si B ₁ = B ₁ (0) = −1/2.

  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{k}}{n-k+2}}={\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$

• Sea n ≥ 0 . Entonces

  ${\displaystyle -1+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {2^{n-k+1}}{n-k+1}}B_{k}(1)=2^{n}}$

  y

  ${\displaystyle -1+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {2^{n-k+1}}{n-k+1}}B_{k}(0)=\delta _{n,0}}$

• Una relación de reciprocidad de M. B. Gelfand: ^[49]

  ${\displaystyle (-1)^{m+1}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {B_{m+1+j}}{m+1+j}}+(-1)^{k+1}\sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}{\frac {B_{k+1+j}}{k+1+j}}={\frac {k!m!}{(k+m+1)!}}}$

Ver también

• polinomio de Bernoulli
• Polinomios de Bernoulli de segunda especie.
• umbría de Bernoulli
• numero de campana
• número de Euler
• Número de Genocchi
• Las congruencias de Kummer
• Número de poli-Bernoulli
• Función zeta de Hurwitz
• suma de euler
• polinomio de Stirling
• Sumas de potencias

Notas

1. Traducción del texto: "... Y si [uno] avanzara paso a paso hacia poderes superiores, se podría proporcionar, con poca dificultad, la siguiente lista:
   Sumas de poderes
   ${\displaystyle \textstyle \int n=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n}$
   

   ⋮

   ${\displaystyle \textstyle \int n^{10}=\sum _{k=1}^{n}k^{10}={\frac {1}{11}}n^{11}+{\frac {1}{2}}n^{10}+{\frac {5}{6}}n^{9}-1n^{7}+1n^{5}-{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {5}{66}}n}$
   De hecho, [si] uno ha examinado diligentemente la ley de progresión aritmética allí, también podrá continuar igual sin estos cálculos tortuosos: Porque [si] se toma como exponente de cualquier potencia, se produce la suma de todos o y así sucesivamente, el exponente de su potencia disminuye continuamente en 2 hasta llegar a o . Las letras mayúsculas , etc., indican en orden los coeficientes de los últimos términos para , etc., a saber ." [Nota: El texto de la ilustración contiene algunos errores tipográficos: ensperexit debería leerse inspexerit , ambabimus debería leerse ambagibus , quosque debería leerse quuousque , y en El texto original de Bernoulli, Sumtâ, debería decir Sumptâ o Sumptam .] ${\displaystyle \textstyle c}$ ${\displaystyle \textstyle n^{c}}$
   ${\displaystyle \textstyle \int n^{c}=\sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {1}{c+1}}n^{c+1}+{\frac {1}{2}}n^{c}+{\frac {c}{2}}An^{c-1}+{\frac {c(c-1)(c-2)}{2\cdot 3\cdot 4}}Bn^{c-3}+{\frac {c(c-1)(c-2)(c-3)(c-4)}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}}Cn^{c-5}+{\frac {c(c-1)(c-2)(c-3)(c-4)(c-5)(c-6)}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8}}Dn^{c-7}+\cdots }$
   ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle A,B,C,D,}$ ${\displaystyle \textstyle \int n^{2},\int n^{4},\int n^{6},\int n^{8}}$
   ${\displaystyle \textstyle A={\frac {1}{6}},B=-{\frac {1}{30}},C={\frac {1}{42}},D=-{\frac {1}{30}}}$
   
   • Smith, David Eugene (1929), "Jacques (I) Bernoulli: Sobre los 'números de Bernoulli'", Un libro de consulta en matemáticas , Nueva York: McGraw-Hill Book Co., págs. 85–90
   • Bernoulli, Jacob (1713), Ars Conjectandi (en latín), Basilea: Impensis Thurnisiorum, Fratrum, págs. 97–98, doi :10.5479/sil.262971.39088000323931
2. El Proyecto de Genealogía de Matemáticas (sin fecha) muestra a Leibniz como asesor académico de Jakob Bernoulli. Véase también Miller (2017).
3. esta fórmula fue descubierta (o quizás redescubierta) por Giorgio Pietrocola. Su demostración está disponible en idioma italiano (Pietrocola 2008).

Referencias

1. Weisstein, Eric W. , "Número de Bernoulli", MathWorld
2. Selin, Helaine , ed. (1997), Enciclopedia de la historia de la ciencia, la tecnología y la medicina en culturas no occidentales , Springer, pág. 819 (p. 891), Bibcode : 2008ehst.book.....S, ISBN 0-7923-4066-3
3. Smith, David Eugenio; Mikami, Yoshio (1914), Una historia de las matemáticas japonesas, editorial Open Court, pág. 108, ISBN 9780486434827
4. Kitagawa, Tomoko L. (23 de julio de 2021), "El origen de los números de Bernoulli: matemáticas en Basilea y Edo a principios del siglo XVIII", The Mathematical Intelligencer , 44 : 46–56, doi : 10.1007/s00283- 021-10072-y , ISSN  0343-6993
5. Menabrea, LF (1842), "Bosquejo de la máquina analítica inventada por Charles Babbage, con notas sobre la memoria de la traductora Ada Augusta, condesa de Lovelace", Bibliothèque Universelle de Genève , 82 , ver nota G
6. Arfken (1970), pág. 278.
7. Donald Knuth (2022), Noticias recientes (2022): Matemáticas concretas y Bernoulli.

   Pero el año pasado eché un vistazo de cerca al manifiesto Bernoulli de Peter Luschny, donde da más de una docena de buenas razones por las que el valor de $B_1$ debería ser realmente más la mitad. Explica que algunos matemáticos de principios del siglo XX habían cambiado unilateralmente las convenciones, porque algunas de sus fórmulas resultaban un poco mejor cuando se usaba el valor negativo. Fue su elección bien intencionada pero, en última instancia, mala la que me había llevado a lo que me habían enseñado en los años cincuenta. […] A estas alturas, lamentablemente se han escrito cientos de libros que utilizan la convención “menos un medio”. Peor aún, todos los principales sistemas de software para matemáticas simbólicas tienen esa aberración del siglo XX profundamente arraigada. Sin embargo, Luschny me convenció de que todos nos hemos equivocado y que ya es hora de volver a la definición correcta antes de que la situación empeore aún más.

8. Peter Luschny (2013), El Manifiesto Bernoulli
9. Knuth (1993).
10. Jacobi, CGJ (1834), "De usu legitimo formulas summatoriae Maclaurinianae", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 12 : 263–272
11. Knuth (1993), pág. 14.
12. Graham, Knuth y Patashnik (1989), sección 2.51.
13. Véase Irlanda y Rosen (1990) o Conway y Guy (1996).
14. Saalschütz, Louis (1893), Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, ihren Zusammenhang mit den Secanten-Coficienten und ihre wichtigeren Anwendungen, Berlín: Julius Springer.
15. Arfken (1970), pág. 279.
16. Bühler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsankyla, T.; Shokrollahi, M. (2001), "Primes irregulares e invariantes ciclotómicos hasta 12 millones", Journal of Symbolic Computation , 31 (1–2): 89–96, doi : 10.1006/jsco.1999.1011
17. Harvey, David (2010), "Un algoritmo multimodular para calcular números de Bernoulli", Matemáticas. Computadora. , 79 (272): 2361–2370, arXiv : 0807.1347 , doi : 10.1090/S0025-5718-2010-02367-1, S2CID  11329343, Zbl  1215.11016
18. Kellner, Bernd (2002), Program Calcbn: un programa para calcular números de Bernoulli.
19. Pavlyk, Oleksandr (29 de abril de 2008), "Hoy rompimos el récord de Bernoulli: del motor analítico a Mathematica", Wolfram News.
20. Graham, Knuth y Patashnik (1989), 9.67.
21. Graham, Knuth y Patashnik (1989), 2,44, 2,52.
22. Guo, Víctor JW; Zeng, Jiang (30 de agosto de 2005), "Un q-Análogo de la fórmula de Faulhaber para sumas de potencias", The Electronic Journal of Combinatorics , 11 (2), arXiv : math/0501441 , Bibcode : 2005math......1441G , doi :10.37236/1876, S2CID  10467873
23. Arfken (1970), pág. 463.
24. Rademacher, H. (1973), Teoría analítica de números , Nueva York: Springer-Verlag.
25. Boole, G. (1880), Tratado sobre el cálculo de diferencias finitas (3.ª ed.), Londres: Macmillan.
26. Gould, Henry W. (1972), "Fórmulas explícitas para números de Bernoulli", Amer. Matemáticas. Mensual , 79 (1): 44–51, doi :10.2307/2978125, JSTOR  2978125
27. Apostol, Tom M. (2010), Introducción a la teoría analítica de números , Springer-Verlag, p. 197
28. Woon, SC (1997), "Un árbol para generar números de Bernoulli", Math. revista , 70 (1): 51–56, doi :10.2307/2691054, JSTOR  2691054
29. Stanley, Richard P. (2010), "Un estudio de permutaciones alternas", Combinatoria y gráficas , Matemáticas contemporáneas, vol. 531, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, págs. 165–196, arXiv : 0912.4240 , doi : 10.1090/conm/531/10466, ISBN 978-0-8218-4865-4, SEÑOR  2757798, S2CID  14619581
30. Elkies, ND (2003), "Sobre las sumas Sum_(k=-infinito...infinito) (4k+1)^(-n)", Amer. Matemáticas. Mensual , 110 (7): 561–573, arXiv : math.CA/0101168 , doi : 10.2307/3647742, JSTOR  3647742
31. Euler, Leonhard (1735), "De summis serierum reciprocarum", Opera Omnia , I.14, E 41: 73–86, arXiv : math/0506415 , Bibcode :2005math......6415E
32. Seidel, L. (1877), "Über eine einfache Entstehungsweise der Bernoullischen Zahlen und einiger verwandten Reihen", Sitzungsber. Mascar. Akád. , 4 : 157–187
33. Dumont, D. (1981), "Matrices d'Euler-Seidel", Séminaire Lotharingien de Combinatoire , B05c
34. Knuth, DE ; Buckholtz, TJ (1967), "Cálculo de números tangentes, de Euler y de Bernoulli", Matemáticas de la Computación , 21 (100), Sociedad Matemática Estadounidense: 663–688, doi : 10.2307/2005010 , JSTOR  2005010
35. Arnold, VI (1991), "Números ascendentes de Bernoulli-Euler asociados con singularidades de funciones, su combinatoria y aritmética", Duke Math. J. , 63 (2): 537–555, doi :10.1215/s0012-7094-91-06323-4
36. André, D. (1879), "Développements de sec x et tan x", CR Acad. Ciencia. , 88 : 965–967
37. André, D. (1881), "Mémoire sur les permutations alternées", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 7 : 167–184
38. Kummer, EE (1850), "Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung xλ + yλ = zλ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten ( λ-3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen", J. Reine Angew. Matemáticas. , 40 : 131-138
39. Kummer, EE (1851), "Über eine allgemeine Eigenschaft der racionalen Entwicklungscoficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen", J. Reine Angew. Matemáticas. , 1851 (41): 368–372
40. von Staudt, KG Cap. (1840), "Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 21 : 372–374
41. Clausen, Thomas (1840), "Lehrsatz aus einer Abhandlung über die Bernoullischen Zahlen", Astron. Nachr. , 17 (22): 351–352, doi :10.1002/asna.18400172205
42. Riesz, M. (1916), "Sur l'hypothèse de Riemann", Acta Mathematica , 40 : 185–90, doi : 10.1007/BF02418544
43. Neukirch, Jürgen (1999), Algebraische Zahlentheorie , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften , vol. 322, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65399-8, SEÑOR  1697859, Zbl  0956.11021§VII.2.
44. Charollois, Pierre; Sczech, Robert (2016), "Funciones elípticas según Eisenstein y Kronecker: una actualización", Boletín informativo de EMS , 2016–9 (101): 8–14, doi : 10.4171/NEWS/101/4 , ISSN  1027-488X, S2CID  54504376
45. Bannai, Kenichi; Kobayashi, Shinichi (2010), "Funciones theta algebraicas y la interpolación p-ádica de números de Eisenstein-Kronecker", Duke Mathematical Journal , 153 (2), arXiv : math/0610163 , doi :10.1215/00127094-2010-024, ISSN  0012-7094, S2CID  9262012
46. Malenfant, Jerome (2011), "Expresiones finitas en forma cerrada para la función de partición y para números de Euler, Bernoulli y Stirling", arXiv : 1103.1585 [math.NT]
47. von Ettingshausen, A. (1827), Vorlesungen über die höhere Mathematik , vol. 1, Viena: Carl Gerold
48. Carlitz, L. (1968), "Números de Bernoulli", Fibonacci Quarterly , 6 : 71–85
49. Agoh, Takashi; Dilcher, Karl (2008), "Relaciones de reciprocidad para números de Bernoulli", American Mathematical Monthly , 115 (3): 237–244, doi :10.1080/00029890.2008.11920520, JSTOR  27642447, S2CID  43614118

Bibliografía

• Abramowitz, M.; Stegun, IA (1972), "§23.1: Bernoulli and Euler Polynomials and the Euler-Maclaurin Formula", Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas (novena edición impresa), Nueva York: Dover Publications, págs. 804–806.
• Arfken, George (1970), Métodos matemáticos para físicos (2ª ed.), Academic Press, ISBN 978-0120598519
• Arlettaz, D. (1998), "Die Bernoulli-Zahlen: eine Beziehung zwischen Topologie und Gruppentheorie", Math. Semestre , 45 : 61–75, doi : 10.1007/s005910050037, S2CID  121753654.
• Ayoub, A. (1981), "Euler y la función Zeta", Amer. Matemáticas. Mensual , 74 (2): 1067–1086, doi :10.2307/2319041, JSTOR  2319041.
• Conway, Juan ; Guy, Richard (1996), El libro de los números , Springer-Verlag.
• Dilcher, K.; Skula, L.; Slavutskii, I. Sh. (1991), "Números de Bernoulli. Bibliografía (1713-1990)", Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics (87), Kingston, Ontario.
• Dumont, D.; Viennot, G. (1980), "Una interpretación combinatoria de la generación Seidel de números de Genocchi", Ann. Matemáticas discretas. , Anales de Matemáticas Discretas, 6 : 77–87, doi :10.1016/S0167-5060(08)70696-4, ISBN 978-0-444-86048-4.
• Entringer, RC (1966), "Una interpretación combinatoria de los números de Euler y Bernoulli", Nieuw. Arco. V. Wiskunde , 14 : 241-6.
• Tarifa, G.; Plouffe, S. (2007), "Un algoritmo eficiente para el cálculo de números de Bernoulli", arXiv : math/0702300.
• Graham, R .; Knuth, DE ; Patashnik, O. (1989), Matemáticas concretas (2ª ed.), Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5
• Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Una introducción clásica a la teoría de números moderna (2ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97329-X
• Jordan, Charles (1950), Cálculo de diferencias finitas , Nueva York: Chelsea Publ. Co..
• Kaneko, M. (2000), "El algoritmo de Akiyama-Tanigawa para números de Bernoulli", Journal of Integer Sequences , 12 : 29, Bibcode : 2000JIntS...3...29K.
• Knuth, DE (1993), "Johann Faulhaber and the Sums of Powers", Matemáticas de la Computación , 61 (203), Sociedad Matemática Estadounidense: 277–294, arXiv : math/9207222 , doi :10.2307/2152953, JSTOR  2152953
• Luschny, Peter (2007), Una inclusión de los números de Bernoulli..
• Luschny, Peter (8 de octubre de 2011), "TheLostBernoulliNumbers", OeisWiki , consultado el 11 de mayo de 2019.
• The Mathematics Genealogy Project, Fargo: Departamento de Matemáticas, Universidad Estatal de Dakota del Norte, sin fecha, archivado desde el original el 10 de mayo de 2019 , recuperado 11 de mayo de 2019.
• Miller, Jeff (23 de junio de 2017), "Earliest Uses of Symbols of Calculus", Usos más tempranos de varios símbolos matemáticos , consultado el 11 de mayo de 2019..
• Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974), "Apéndice B: Números de Bernoulli", Clases características , Annals of Mathematics Studies, vol. 76, Princeton University Press y University of Tokyo Press, págs. 281–287.
• Pietrocola, Giorgio (31 de octubre de 2008), "Esplorando un antico sentiero: teoremi sulla somma di potenze di interi Successivi (Corollario 2b)", Maecla (en italiano) , consultado el 8 de abril de 2017.
• Slavutskii, Ilya Sh. (1995), "Staudt y las propiedades aritméticas de los números de Bernoulli", Historia Scientiarum , 2 : 69–74.
• von Staudt, KG Cap. (1845), "De numeris Bernoullianis, commentationem alteram", Erlangen.
• Sun, Zhi-Wei (2005-2006), Algunos resultados curiosos sobre los polinomios de Bernoulli y Euler, archivado desde el original el 31 de octubre de 2001.
• Woon, SC (1998), "Generalización de una relación entre la función zeta de Riemann y los números de Bernoulli", arXiv : math.NT/9812143.
• Worpitzky, J. (1883), "Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 94 : 203–232.

enlaces externos

• "Números de Bernoulli", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Los primeros 498 números de Bernoulli del Proyecto Gutenberg
• Un algoritmo multimodular para calcular números de Bernoulli
• La página del número de Bernoulli
• Programas numéricos de Bernoulli en LiteratePrograms
• P. Luschny, El cálculo de primos irregulares
• P. Luschny, El cálculo y la asintótica de los números de Bernoulli
• Gottfried Helms, Números de Bernoulli en el contexto de la matriz (binomial) de Pascal (PDF) , archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022
• Gottfried Helms, suma de poderes similares en contexto con Pascal-/Bernoulli-matrix (PDF) , archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.
• Gottfried Helms, Algunas propiedades especiales, sumas de Bernoulli y números relacionados (PDF) , archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.