Sumas de potencias

Lista de contextos matemáticos en los que se suman términos exponenciales

En matemáticas y estadística , las sumas de potencias ocurren en varios contextos:

• Las sumas de cuadrados surgen en muchos contextos. Por ejemplo, en geometría , el teorema de Pitágoras implica la suma de dos cuadrados; en teoría de números , existen el teorema de los tres cuadrados de Legendre y el teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi ; y en estadística , el análisis de varianza implica la suma de los cuadrados de las cantidades.
• Sólo hay un número finito de números enteros positivos que no son sumas de cuadrados distintos . El mayor es 128. Lo mismo se aplica a las sumas de cubos distintos (el mayor es 12.758), cuartas potencias distintas (el mayor es 5.134.240), etc. Véase ^[1] para una generalización a las sumas de polinomios.
• La fórmula de Faulhaber se expresa como un polinomio en n , o alternativamente en términos de un polinomio de Bernoulli . ${\displaystyle 1^{k}+2^{k}+3^{k}+\cdots +n^{k}}$
• El teorema del triángulo rectángulo de Fermat establece que no hay solución en números enteros positivos para y . ${\displaystyle a^{2}=b^{4}+c^{4}}$ ${\displaystyle a^{4}=b^{4}+c^{2}}$
• El último teorema de Fermat establece que es imposible en números enteros positivos con k > 2 . ${\displaystyle x^{k}+y^{k}=z^{k}}$
• La ecuación de una superelipse es . La ecuación de la superelipse es el caso k = 4 , a = b . ${\displaystyle |x/a|^{k}+|y/b|^{k}=1}$
• La conjetura de la suma de potencias de Euler (refutada) se refiere a situaciones en las que la suma de n números enteros, cada uno de ellos una k- ^ésima potencia de un entero, es igual a otra k- ^ésima potencia.
• La conjetura de Fermat-Catalan pregunta si hay una infinidad de ejemplos en los que la suma de dos números enteros coprimos, cada uno de ellos una potencia de un número entero, con potencias no necesariamente iguales, puede ser igual a otro número entero que es una potencia, con los recíprocos de las tres potencias sumando menos de 1.
• La conjetura de Beal se refiere a la cuestión de si la suma de dos números enteros coprimos, cada uno de ellos una potencia mayor que 2 de un número entero, cuyas potencias no son necesariamente iguales, puede ser igual a otro número entero que sea una potencia mayor que 2.
• La ecuación de Jacobi-Madden está en números enteros. ${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$
• El problema de Prouhet-Tarry-Escott considera sumas de dos conjuntos de k- ^ésimas potencias de números enteros que son iguales para valores múltiples de k .
• Un número de taxi es el número entero más pequeño que puede expresarse como suma de dos terceras potencias positivas de n maneras distintas.
• La función zeta de Riemann es la suma de los recíprocos de los números enteros positivos cada uno elevado a la potencia s , donde s es un número complejo cuya parte real es mayor que 1.
• La conjetura de Lander, Parkin y Selfridge se refiere al valor mínimo de m + n en ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}.}$
• El problema de Waring pregunta si para cada número natural k existe un entero positivo asociado s tal que cada número natural sea la suma de como máximo sk ^-ésimas potencias de números naturales.
• Las potencias sucesivas del número áureo φ obedecen a la recurrencia de Fibonacci: $${\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}.}$$
• Las identidades de Newton expresan la suma de las k ^-ésimas potencias de todas las raíces de un polinomio en términos de los coeficientes del polinomio.
• La suma de los cubos de números en progresión aritmética es a veces otro cubo.
• La cúbica de Fermat , en la que la suma de tres cubos es igual a otro cubo, tiene una solución general.
• El polinomio simétrico de suma de potencias es un componente básico de los polinomios simétricos.
• La suma de los recíprocos de todas las potencias perfectas, incluidos los duplicados (pero sin incluir 1), es igual a 1.
• Se conjetura que la ecuación de Erdős-Moser , donde m y k son números enteros positivos, no tiene otras soluciones que 1 ¹ + 2 ¹ = 3 ¹ . ${\displaystyle 1^{k}+2^{k}+\cdots +m^{k}=(m+1)^{k}}$
• Las sumas de tres cubos no pueden ser iguales a 4 o 5 módulo 9, pero se desconoce si todos los números enteros restantes pueden expresarse de esta forma.
• La suma de los términos de la serie geométrica es ${\displaystyle \sum _{i=k}^{n}z^{i}={\frac {z^{k}-z^{n+1}}{1-z}}.}$

Véase también

• Suma de cuadrados
• Suma de recíprocos
• Ecuación diofántica

Referencias

1. Graham, RL (junio de 1964). "Secuencias completas de valores polinómicos". Duke Mathematical Journal . 31 (2): 275–285. doi :10.1215/S0012-7094-64-03126-6. ISSN  0012-7094.