Número de Poli-Bernoulli

Secuencia de números enteros

En matemáticas , los números poli-Bernoulli , denotados como , fueron definidos por M. Kaneko como ${\displaystyle B_{n}^{(k)}}$

${\displaystyle {Li_{k}(1-e^{-x}) \over 1-e^{-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}^{(k)}{x^{n} \over n!}}$

donde Li es el polilogaritmo . Son los números de Bernoulli habituales . ${\displaystyle B_{n}^{(1)}}$

Además, la generalización de los números de Poli-Bernoulli con parámetros a, b, c se define de la siguiente manera

${\displaystyle {Li_{k}(1-(ab)^{-x}) \over b^{x}-a^{-x}}c^{xt}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}^{(k)}(t;a,b,c){x^{n} \over n!}}$

donde Li es el polilogaritmo .

Kaneko también dio dos fórmulas combinatorias:

${\displaystyle B_{n}^{(-k)}=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m+n}m!S(n,m)(m+1)^{k},}$

${\displaystyle B_{n}^{(-k)}=\sum _{j=0}^{\min(n,k)}(j!)^{2}S(n+1,j+1)S(k+1,j+1),}$

donde es el número de formas de particionar un conjunto de tamaño en subconjuntos no vacíos (el número de Stirling del segundo tipo ). ${\displaystyle S(n,k)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

Una interpretación combinatoria es que los números poli-Bernoulli de índice negativo enumeran el conjunto de matrices (0,1) que se pueden reconstruir de forma única a partir de las sumas de sus filas y columnas. También es el número de giros abiertos de una torre sesgada en un tablero (consulte A329718 para ver la definición). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \underbrace {1\cdots 1} _{n}\underbrace {0\cdots 0} _{k}}$

El número de Poli-Bernoulli satisface la siguiente asintótica: ^[1] ${\displaystyle B_{k}^{(-k)}}$

${\displaystyle B_{k}^{(-k)}\sim (k!)^{2}{\sqrt {\frac {1}{k\pi (1-\log 2)}}}\left({\frac {1}{\log 2}}\right)^{2k+1},\quad {\text{as }}k\rightarrow \infty .}$

Para un entero positivo n y un número primo p , los números poli-Bernoulli satisfacen

${\displaystyle B_{n}^{(-p)}\equiv 2^{n}{\pmod {p}},}$

que puede verse como un análogo del pequeño teorema de Fermat . Además, la ecuación

${\displaystyle B_{x}^{(-n)}+B_{y}^{(-n)}=B_{z}^{(-n)}}$

no tiene solución para los números enteros x , y , z , n > 2; un análogo del Último Teorema de Fermat . Además, existe un análogo de los números de Poli-Bernoulli (como los números de Bernoulli y los números de Euler) que se conoce como números de Poli-Euler.

Véase también

• Números de Bernoulli
• Números de Stirling
• Coeficientes de Gregory
• Polinomios de Bernoulli
• Polinomios de Bernoulli de segundo tipo
• Polinomios de Stirling

Referencias

1. Khera, J.; Lundberg, E.; Melczer, S. (2021), "Enumeración asintótica de matrices de Lonesum", Advances in Applied Mathematics , 123 (4): 102118, arXiv : 1912.08850 , doi : 10.1016/j.aam.2020.102118, S2CID  209414619.

• Arakawa, Tsuneo; Kaneko, Masanobu (1999a), "Valores zeta múltiples, números poli-Bernoulli y funciones zeta relacionadas", Nagoya Mathematical Journal , 153 : 189–209, doi : 10.1017/S0027763000006954 , hdl : 2324/20424 , MR  1684557, S2CID  53476063.
• Arakawa, Tsuneo; Kaneko, Masanobu (1999b), "Sobre los números poli-Bernoulli", Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli , 48 (2): 159-167, SEÑOR  1713681
• Brewbaker, Chad (2008), "Una interpretación combinatoria de los números poli-Bernoulli y dos análogos de Fermat", Integers , 8 : A02, 9, MR  2373086.
• Hamahata, Y.; Masubuchi, H. (2007), "Números de Bernoulli multipoligonales especiales", Journal of Integer Sequences , 10 (4), Artículo 07.4.1, Bibcode :2007JIntS..10...41H, MR  2304359.
• Kaneko, Masanobu (1997), "Números Poly-Bernoulli", Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux , 9 (1): 221–228, doi : 10.5802/jtnb.197 , hdl : 2324/21658 , MR  1469669.