Secuencia de números enteros
En matemáticas , los números poli-Bernoulli , denotados como , fueron definidos por M. Kaneko como
donde Li es el polilogaritmo . Son los números de Bernoulli habituales .
Además, la generalización de los números de Poli-Bernoulli con parámetros a, b, c se define de la siguiente manera
donde Li es el polilogaritmo .
Kaneko también dio dos fórmulas combinatorias:
donde es el número de formas de particionar un conjunto de tamaño en subconjuntos no vacíos (el número de Stirling del segundo tipo ).
Una interpretación combinatoria es que los números poli-Bernoulli de índice negativo enumeran el conjunto de matrices (0,1) que se pueden reconstruir de forma única a partir de las sumas de sus filas y columnas. También es el número de giros abiertos de una torre sesgada en un tablero (consulte A329718 para ver la definición).
El número de Poli-Bernoulli satisface la siguiente asintótica: [1]
Para un entero positivo n y un número primo p , los números poli-Bernoulli satisfacen
que puede verse como un análogo del pequeño teorema de Fermat . Además, la ecuación
no tiene solución para los números enteros x , y , z , n > 2; un análogo del Último Teorema de Fermat . Además, existe un análogo de los números de Poli-Bernoulli (como los números de Bernoulli y los números de Euler) que se conoce como números de Poli-Euler.
Véase también
Referencias
- ^ Khera, J.; Lundberg, E.; Melczer, S. (2021), "Enumeración asintótica de matrices de Lonesum", Advances in Applied Mathematics , 123 (4): 102118, arXiv : 1912.08850 , doi :10.1016/j.aam.2020.102118, S2CID 209414619.
- Arakawa, Tsuneo; Kaneko, Masanobu (1999a), "Valores zeta múltiples, números poli-Bernoulli y funciones zeta relacionadas", Nagoya Mathematical Journal , 153 : 189–209, doi : 10.1017/S0027763000006954 , hdl : 2324/20424 , MR 1684557, S2CID 53476063.
- Arakawa, Tsuneo; Kaneko, Masanobu (1999b), "Sobre los números poli-Bernoulli", Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli , 48 (2): 159-167, SEÑOR 1713681
- Brewbaker, Chad (2008), "Una interpretación combinatoria de los números poli-Bernoulli y dos análogos de Fermat", Integers , 8 : A02, 9, MR 2373086.
- Hamahata, Y.; Masubuchi, H. (2007), "Números de Bernoulli multipoligonales especiales", Journal of Integer Sequences , 10 (4), Artículo 07.4.1, Bibcode :2007JIntS..10...41H, MR 2304359.
- Kaneko, Masanobu (1997), "Números Poly-Bernoulli", Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux , 9 (1): 221–228, doi : 10.5802/jtnb.197 , hdl : 2324/21658 , MR 1469669.