En combinatoria , el número de Euler es el número de permutaciones de los números del 1 al 1 en las que exactamente los elementos son mayores que el elemento anterior (permutaciones con "ascensos").
Los polinomios actualmente conocidos como polinomios eulerianos en la obra de Euler de 1755, Institutiones calculi diferencialis, parte 2, p. 485/6. Los coeficientes de estos polinomios se conocen como números de Euler.
Otras notaciones para son y .
Definición
Los polinomios de Euler están definidos por la función generadora exponencial.
Los números de Euler se pueden definir como los coeficientes de los polinomios de Euler:
Una fórmula explícita para es [1]
Una gráfica de los números eulerianos con el segundo argumento fijado en 5.
Propiedades básicas
Para fijo hay una única permutación que tiene 0 ascensos: . De hecho, como para todos , . Esto incluye formalmente la colección vacía de números . Y entonces .
Porque la fórmula explícita implica , una secuencia que dice .
Revertir completamente una permutación con ascensos crea otra permutación en la que hay ascensos. Por lo tanto . Entonces, también hay una única permutación que tiene ascensos, a saber, la permutación ascendente . Entonces también es igual a .
Un lujoso límite superior es . Entre los límites que acabamos de comentar, el valor excede .
Para , los valores son formalmente cero, lo que significa que muchas sumas se pueden escribir con un índice superior solo hasta . También significa que los polinomios son realmente de grado para .
Una tabulación de los números en una matriz triangular se llama triángulo de Euler o triángulo de Euler . Comparte algunas características comunes con el triángulo de Pascal . Los valores de (secuencia A008292 en el OEIS ) para son:
Cálculo
Para valores mayores de , también se puede calcular usando la fórmula recursiva
Esta fórmula puede motivarse a partir de la definición combinatoria y, por tanto, sirve como punto de partida natural para la teoría.
Para valores pequeños de y , los valores de se pueden calcular manualmente. Por ejemplo
Aplicando la recurrencia a un ejemplo, podemos encontrar
Asimismo, los polinomios de Euler se pueden calcular mediante la recurrencia
La segunda fórmula se puede expresar en forma inductiva,
Identidades
Para cualquier propiedad que divide un conjunto finito en un número finito de conjuntos más pequeños, la suma de las cardinalidades de los conjuntos más pequeños es igual a la cardinalidad del conjunto mayor. Los números eulerianos dividen las permutaciones de elementos, por lo que su suma es igual al factorial . Es decir
así como . Para evitar conflictos con la convención de la suma vacía , es conveniente enunciar simplemente los teoremas de solamente.
De manera mucho más general, para una función fija integrable en el intervalo [2]
Las permutaciones del multiconjunto que tienen la propiedad de que para cada k , todos los números que aparecen entre las dos apariciones de k en la permutación son mayores que k se cuentan por el número factorial doble . El número de Euler de segundo orden, denotado , cuenta el número de todas esas permutaciones que tienen exactamente m ascensiones. Por ejemplo, para n = 3 hay 15 permutaciones de este tipo, 1 sin ascensos, 8 con un solo ascenso y 6 con dos ascensos:
En consecuencia, el polinomio euleriano de segundo orden, aquí denominado P n (no existe notación estándar para ellos) es
y las relaciones de recurrencia anteriores se traducen en una relación de recurrencia para la secuencia P n ( x ):
con condición inicial . Esta última recurrencia se puede escribir de una forma algo más compacta mediante un factor integrante:
de modo que la función racional
satisface una recurrencia autónoma simple:
De donde se obtienen los polinomios eulerianos de segundo orden como , y los números eulerianos de segundo orden como sus coeficientes.
La siguiente tabla muestra los primeros números eulerianos de segundo orden:
La suma de la enésima fila, que también es el valor , es .
La indexación de los números eulerianos de segundo orden se presenta en tres formas:
(secuencia A008517 en la OEIS ) siguiendo a Riordan y Comtet,
(secuencia A201637 en OEIS ) siguiendo a Graham, Knuth y Patashnik,
(secuencia A340556 en la OEIS ), ampliando la definición de Gessel y Stanley.
Referencias
Eulerus, Leonardus [Leonhard Euler] (1755). Institutiones calculi diferencialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum [Fundamentos del cálculo diferencial, con aplicaciones al análisis finito y a las series] . Academia imperialis scientiarum Petropolitana; Berolini: Officina Michaelis.
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Graham; Knuth; Patashnik (1994). Matemáticas concretas : una base para la informática (2ª ed.). Addison-Wesley. págs. 267–272.
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Citas
^ (L. Comtet 1974, pág.243)
^ Ejercicio 6.65 en Matemáticas Concretas de Graham, Knuth y Patashnik.
^ Worpitzky, J. (1883). "Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 94 : 203–232.
^ Qi, Feng; Guo, Bai-Ni (1 de agosto de 2017). "Fórmulas explícitas y relaciones de recurrencia para polinomios eulerianos de orden superior". Indagaciones Mathematicae . 28 (4): 884–891. doi : 10.1016/j.indag.2017.06.010 . ISSN 0019-3577.