Número de Genocchi

Sucesión matemática de números enteros

En matemáticas , los números de Genocchi G _n , llamados así en honor a Angelo Genocchi , son una secuencia de números enteros que satisfacen la relación

${\displaystyle {\frac {2t}{1+e^{t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }G_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}}$

Los primeros números de Genocchi son 0, 1, −1, 0, 1, 0, −3, 0, 17 (secuencia A226158 en la OEIS ), véase OEIS : A001469 .

Propiedades

• La definición de función generadora de los números de Genocchi implica que son números racionales . De hecho, G _2n+1  = 0 para n  ≥ 1 y (−1) ⁿ G _2n es un entero positivo impar .
• Los números de Genocchi G _n están relacionados con los números de Bernoulli B _n por la fórmula

${\displaystyle G_{n}=2\,(1-2^{n})\,B_{n}.}$

Interpretaciones combinatorias

La función generadora exponencial para los números Genocchi pares con signo (−1) ⁿ G _2n es

${\displaystyle t\tan \left({\frac {t}{2}}\right)=\sum _{n\geq 1}(-1)^{n}G_{2n}{\frac {t^{2n}}{(2n)!}}}$

Enumeran los siguientes objetos:

• Permutaciones en S _{2 n −1} con descensos después de los números pares y ascensos después de los números impares.
• Permutaciones π en S _{2 n −2} con 1 ≤  π (2 i −1) ≤ 2 n −2 i y 2 n −2 i  ≤  π (2 i ) ≤ 2 n −2.
• Pares ( a ₁ ,..., a _{n −1} ) y ( b ₁ ,..., b _{n −1} ) tales que a _i y b _i están entre 1 e i y cada k entre 1 y n −1 ocurre al menos una vez entre los a _i y los b _i .
• Permutaciones alternas inversas a ₁  <  a ₂  >  a ₃  <  a ₄  >...> a _{2 n −1} de [2 n −1] cuya tabla de inversión sólo tiene entradas pares.

Primos

Los únicos números primos conocidos que aparecen en la secuencia de Genocchi son 17, en n = 8, y -3, en n = 6 (dependiendo de cómo se definan los primos). Se ha demostrado que no hay otros primos en la secuencia.

Véase también

• Número de Euler

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Número de Genocchi". MathWorld .
• Richard P. Stanley (1999). Combinatoria enumerativa, volumen 2, ejercicio 5.8. Cambridge University Press . ISBN 0-521-56069-1 
• Gérard Viennot, Interprétations combinatoires des nombres d'Euler et de Genocchi, Seminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux, Volumen 11 (1981-1982)
• Serkan Araci, Mehmet Acikgoz, Erdoğan Şen, Algunas nuevas identidades de números y polinomios de Genocchi