Función trigamma

Función matemática

Representación en color de la función trigamma, ψ ₁ ( z ) , en una región rectangular del plano complejo. Se genera mediante el método de coloración de dominios .

En matemáticas , la función trigamma , denotada ψ ₁ ( z ) o ψ ⁽¹⁾ ( z ) , es la segunda de las funciones poligamma , y ​​se define por

${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)}$.

De esta definición se desprende que

${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)}$

donde ψ ( z ) es la función digamma . También puede definirse como la suma de la serie

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},}$

convirtiéndolo en un caso especial de la función zeta de Hurwitz

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z).}$

Tenga en cuenta que las dos últimas fórmulas son válidas cuando 1 − z no es un número natural .

Cálculo

Una representación integral doble , como alternativa a las dadas anteriormente, puede derivarse de la representación en serie:

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{x}{\frac {x^{z-1}}{y(1-x)}}\,dy\,dx}$

Utilizando la fórmula para la suma de una serie geométrica , la integración sobre y da como resultado:

${\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx}$

Una expansión asintótica como una serie de Laurent se puede obtener a través de la derivada de la expansión asintótica de la función digamma :

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}(z)&\sim {\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!z}\left(\ln z-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{nz^{n}}}\right)\\&={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{z^{n+1}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{z^{n+1}}}\\&={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+{\frac {1}{6z^{3}}}-{\frac {1}{30z^{5}}}+{\frac {1}{42z^{7}}}-{\frac {1}{30z^{9}}}+{\frac {5}{66z^{11}}}-{\frac {691}{2730z^{13}}}+{\frac {7}{6z^{15}}}\cdots \end{aligned}}}$

donde B _n es el n- ésimo número de Bernoulli y elegimos B ₁ = ⁠1/2⁠ .

Fórmulas de recurrencia y reflexión

La función trigamma satisface la relación de recurrencia

${\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}}$

y la fórmula de reflexión

${\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}\pi z}}\,}$

lo que da inmediatamente el valor para z = ⁠1/2: . ​ ${\displaystyle \psi _{1}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\pi ^{2}}{2}}}$

Valores especiales

En valores enteros medios positivos tenemos que

${\displaystyle \psi _{1}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(2k-1)^{2}}}.}$

Además, la función trigamma tiene los siguientes valores especiales:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\quad &\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}&\psi _{1}(1)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[6px]\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4&\psi _{1}(2)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\\\psi _{1}(n)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{2}}}\end{aligned}}}$

donde G representa la constante de Catalan y n es un entero positivo.

No hay raíces en el eje real de ψ ₁ , pero existen infinitos pares de raíces z _n , z _n para Re z < 0 . Cada uno de estos pares de raíces se aproxima a Re z _n = − n + ⁠1/2⁠ rápidamente y su parte imaginaria aumenta lentamente de forma logarítmica con n . Por ejemplo, z ₁ = −0,4121345... + 0,5978119... i y z ₂ = −1,4455692... + 0,6992608... i son las dos primeras raíces con Im( z ) > 0 .

Relación con la función Clausen

La función digamma en argumentos racionales se puede expresar en términos de funciones trigonométricas y logaritmo mediante el teorema de digamma . Un resultado similar se aplica a la función trigamma, pero las funciones circulares se reemplazan por la función de Clausen . Es decir, ^[1]

${\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {p}{q}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2\sin ^{2}(\pi p/q)}}+2q\sum _{m=1}^{(q-1)/2}\sin \left({\frac {2\pi mp}{q}}\right){\textrm {Cl}}_{2}\left({\frac {2\pi m}{q}}\right).}$

Apariencia

La función trigamma aparece en esta fórmula de suma: ^[2]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}-{\frac {1}{2}}}{\left(n^{2}+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\left(\psi _{1}{\bigg (}n-{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}+\psi _{1}{\bigg (}n+{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}\right)=-1+{\frac {\sqrt {2}}{4}}\pi \coth {\frac {\pi }{\sqrt {2}}}-{\frac {3\pi ^{2}}{4\sinh ^{2}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}+{\frac {\pi ^{4}}{12\sinh ^{4}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}\left(5+\cosh \pi {\sqrt {2}}\right).}$

Véase también

• Función gamma
• Función digamma
• Función poligamma
• La constante del catalán

Notas

1. Lewin, L., ed. (1991). Propiedades estructurales de los polilogaritmos . Sociedad Matemática Americana. ISBN 978-0821816349.
2. Mező, István (2013). "Algunas sumas infinitas que surgen del teorema del producto de Weierstrass". Matemáticas Aplicadas y Computación . 219 (18): 9838–9846. doi :10.1016/j.amc.2013.03.122.

Referencias

• Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions (Manual de funciones matemáticas ), (1964), Dover Publications, Nueva York. ISBN 0-486-61272-4 . Véase la sección §6.4. 
• Eric W. Weisstein. Función Trigamma -- de MathWorld--Un recurso web de Wolfram