Karl Georg Christian von Staudt (24 de enero de 1798 - 1 de junio de 1867) fue un matemático alemán que utilizó la geometría sintética para sentar las bases de la aritmética.
La carrera profesional de Staudt comenzó como instructor de escuela secundaria en Würzburg hasta 1827 y luego en Nuremberg hasta 1835. Se casó con Jeanette Dreschler en 1832. Tuvieron un hijo, Eduard, y una hija, Mathilda, pero Jeanette murió en 1848.
El libro Geometrie der Lage (1847) fue un hito en la geometría proyectiva . Como escribió Burau (1976):
Staudt fue el primero en adoptar un enfoque totalmente riguroso. Sin excepción, sus predecesores todavía hablaban de distancias, perpendiculares, ángulos y otras entidades que no desempeñan ningún papel en la geometría proyectiva. [1]
De hecho, en 1889 Mario Pieri tradujo von Staudt, antes de escribir sus I Principii della Geometrie di Posizione Composti in un Systema Logico-deduttivo (1898). En 1900, Charlotte Scott del Bryn Mawr College parafraseó gran parte del trabajo de von Staudt en inglés para The Mathematical Gazette . [2] Cuando Wilhelm Blaschke publicó su libro de texto Geometría proyectiva en 1948, frente al Vorwort se colocó un retrato del joven Karl .
Staudt fue más allá de la geometría proyectiva real y se adentró en el espacio proyectivo complejo en sus tres volúmenes de Beiträge zur Geometrie der Lage , publicados entre 1856 y 1860.
En 1922, HF Baker escribió sobre el trabajo de von Staudt:
Fue von Staudt para quien la eliminación de las ideas de distancia y congruencia era un objetivo consciente, si, además, el reconocimiento de la importancia de esto podría haberse retrasado mucho, salvo por el trabajo de Cayley y Klein sobre la teoría proyectiva de la distancia. . Generalizados y combinados con la posterior Disertación de Riemann, los volúmenes de Staudt deben considerarse como la base de lo que, en su aspecto geométrico, la Teoría de la Relatividad en Física aún puede llegar a ser. [3]
Von Staudt hizo el importante descubrimiento de que la relación que establece una cónica entre polos y polares es en realidad más fundamental que la propia cónica y puede establecerse de forma independiente. Esta "polaridad" puede utilizarse entonces para definir la cónica, de una manera perfectamente simétrica e inmediatamente autodual: una cónica es simplemente el lugar geométrico de los puntos que se encuentran sobre sus polares, o la envoltura de las líneas que pasan por sus polos. . El tratamiento que Von Staudt hace de las cuádricas es análogo, en tres dimensiones. [4]
álgebra de lanzamientos
En 1857, en el segundo Beiträge , von Staudt aportó una ruta hacia los números a través de la geometría llamada álgebra de lanzamientos ( en alemán : Wurftheorie ). Se basa en el rango proyectivo y la relación de conjugados armónicos proyectivos . Mediante operaciones de suma de puntos y multiplicación de puntos, se obtiene un "álgebra de puntos", como en el capítulo 6 del libro de texto de Veblen & Young sobre geometría proyectiva. La presentación habitual se basa en la relación cruzada ( CA,BD ) de cuatro puntos colineales. Por ejemplo, Coolidge escribió: [5]
¿Cómo sumamos dos distancias? Les damos el mismo punto de partida, encontramos el punto medio entre sus puntos terminales, es decir, el conjugado armónico del infinito con respecto a sus puntos terminales, y luego encontramos el conjugado armónico del punto inicial con respecto a este punto medio. Punto e infinito. Generalizando esto, si queremos sumar los tiros ( CA,BD ) y ( CA,BD' ), encontramos M el conjugado armónico de C con respecto a D y D' , y luego S el conjugado armónico de A con respecto a C y M :
De la misma manera podemos encontrar una definición del producto de dos lanzamientos. Como el producto de dos números tiene la misma razón con uno de ellos que el otro con la unidad, la razón de dos números es la razón cruzada que como par tienen con el infinito y el cero, así Von Staudt, en la notación anterior, define el producto de dos lanzamientos por
Estas definiciones implican una larga serie de pasos para demostrar que el álgebra así definida obedece a las leyes conmutativas, asociativas y distributivas habituales, y que no hay divisores de cero.
Veblen & Young [6] ofrece una afirmación resumida como el Teorema 10: "El conjunto de puntos de una línea, una vez eliminados, forma un campo con respecto a las operaciones previamente definidas". Como señala Freudenthal [7] : 199
...hasta Hilbert, no existe ningún otro ejemplo de una derivación tan directa de las leyes algebraicas a partir de axiomas geométricos como la que se encuentra en Beiträge de von Staudt .
Otra afirmación del trabajo de von Staudt con los conjugados armónicos viene en forma de teorema:
La única correspondencia uno a uno entre los puntos reales de una línea que preserva la relación armónica entre cuatro puntos es una proyectividad no singular. [8]
El álgebra de lanzamientos fue descrita como "aritmética proyectiva" por John Stillwell (2005). [9]
En una sección llamada "Aritmética proyectiva", dice
La verdadera dificultad es que la construcción de a + b , por ejemplo, es diferente de la construcción de b + a , por lo que es una "coincidencia" si a + b = b + a . De manera similar, es una "coincidencia" si ab = ba , se cumple cualquier otra ley del álgebra. Afortunadamente, podemos demostrar que las coincidencias requeridas realmente ocurren, porque están implícitas en ciertas coincidencias geométricas, a saber, los teoremas de Pappus y Desargues.
Para poder considerar el enfoque de von Staudt como un fundamento riguroso de la geometría proyectiva, sólo es necesario agregar explícitamente los axiomas topológicos que tácitamente utiliza von Staudt. ... ¿cómo se puede formular la topología del espacio proyectivo sin el apoyo de una métrica? Von Staudt estaba todavía lejos de plantear esta cuestión, que un cuarto de siglo más tarde se volvería urgente. ... Felix Klein notó la brecha en el enfoque de von Staudt; era consciente de la necesidad de formular la topología del espacio proyectivo independientemente del espacio euclidiano... los italianos fueron los primeros en encontrar soluciones verdaderamente satisfactorias para el problema de un fundamento puramente proyectivo de la geometría proyectiva, que von Staudt había intentado resolver. . [7]
Uno de los matemáticos italianos fue Giovanni Vailati , quien estudió la propiedad del orden circular de la línea proyectiva real. La ciencia de este orden requiere una relación cuaternaria llamada relación de separación . Utilizando esta relación se pueden abordar los conceptos de secuencia monótona y límite, en una "línea" cíclica. Suponiendo que toda secuencia monótona tiene un límite, [10] la línea se convierte en un espacio completo . Estos desarrollos se inspiraron en las deducciones de axiomas de campo de von Staudt como una iniciativa en la derivación de propiedades de ℝ a partir de axiomas en geometría proyectiva.
Obras
Geometría de la edad , 1847
1831: Über die Kurven, 2. Ordnung . Núremberg
1845: De numeris Bernoullianis: commentationem alteram pro loco in facultate philosophica rite obtinendo , Carol. G. Chr. de Staudt. Erlangae: Junge.
1845: De numeris Bernoullianis: loci in senatu academico rite obtinendi causa commentatus est, Carol. G. Chr. de Staudt. Erlangae: Junge.
^ ab Hans Freudenthal (1974) "El impacto de los fundamentos de la geometría de Von Staudt", en For Dirk Struik , editor de RS Cohen, D. Reidel . También se encuentra en Geometry – von Staudt's Point of View , editores de Peter Plaumann & Karl Strambach, Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN, Bad Windsheim, julio/agosto de 1980, D. Reidel, ISBN 90-277-1283-2
^ Dirk Struik (1953) Conferencias sobre geometría analítica y proyectiva , p. 22, "teorema de von Staudt"
^ Stillwell, John (2005). Los cuatro pilares de la geometría . Saltador. pag. 128. doi :10.1007/0-387-29052-4_6.
