Teorema de la firma de Hirzebruch

Da la firma de una variedad orientada compacta y suave en términos de números de Pontryagin

En topología diferencial , un área de las matemáticas , el teorema de firma de Hirzebruch ^[1] (a veces llamado teorema del índice de Hirzebruch) es el resultado de Friedrich Hirzebruch de 1954 que expresa la firma de una variedad orientada cerrada y suave mediante una combinación lineal de números de Pontryagin llamada L -género . Se utilizó en la demostración del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch .

Declaración del teorema

El género L es el género de la secuencia multiplicativa de polinomios asociados a la serie de potencias característica.

${\displaystyle {x \over \tanh(x)}=\sum _{k\geq 0}{{2^{2k}B_{2k} \over (2k)!}x^{2k}}=1+{x^{2} \over 3}-{x^{4} \over 45}+\cdots .}$

Los dos primeros polinomios L resultantes son:

• ${\displaystyle L_{1}={\tfrac {1}{3}}p_{1}}$
• ${\displaystyle L_{2}={\tfrac {1}{45}}(7p_{2}-p_{1}^{2})}$

(para más L -polinomios ver ^[2] o OEIS : A237111 ).

Al tomar como clases de Pontryagin del paquete tangente de una variedad M orientada cerrada lisa de 4 n dimensiones, se obtienen las clases L de M. Hirzebruch demostró que la enésima clase L de M evaluada en la clase fundamental de M, , es igual a , la firma de M (es decir, la firma de la forma de intersección en el 2 º grupo de cohomología de M): ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}(M)}$ ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle \sigma (M)}$

${\displaystyle \sigma (M)=\langle L_{n}(p_{1}(M),\dots ,p_{n}(M)),[M]\rangle .}$

Bosquejo de la prueba del teorema de la firma.

René Thom había demostrado anteriormente que la firma estaba dada por alguna combinación lineal de números de Pontryagin , e Hirzebruch encontró la fórmula exacta para esta combinación lineal introduciendo la noción de género de una secuencia multiplicativa.

Dado que el anillo de cobordismo orientado racional es igual a ${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}\otimes \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}\otimes \mathbb {Q} =\mathbb {Q} [\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} ),\mathbb {P} ^{4}(\mathbb {C} ),\ldots ],}$

el álgebra polinómica generada por las clases de cobordismo orientado de los espacios proyectivos complejos de dimensión par , basta verificar que ${\displaystyle [\mathbb {P} ^{2i}(\mathbb {C} )]}$

${\displaystyle \sigma (\mathbb {P} ^{2i})=1=\langle L_{i}(p_{1}(\mathbb {P} ^{2i}),\ldots ,p_{n}(\mathbb {P} ^{2i})),[\mathbb {P} ^{2i}]\rangle }$

para todos yo.

Generalizaciones

El teorema de la firma es un caso especial del teorema del índice Atiyah-Singer para el operador de firma . El índice analítico del operador de firma es igual a la firma de la variedad, y su índice topológico es el género L de la variedad. Según el teorema del índice Atiyah-Singer, estos son iguales.

Referencias

1. Hirzebruch, Friedrich (1995) [Publicado por primera vez en 1978]. Métodos topológicos en geometría algebraica . Clásicos en Matemáticas. Traducción del alemán y apéndice uno de RLE Schwarzenberger. Apéndice dos de A. Borel (Reimpresión de la 2ª, impresión corr. de la 3ª ed.). Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-58663-6.
2. McTague, Carl (2014) "Cálculo de polinomios L de Hirzebruch".

Fuentes

• F. Hirzebruch, El teorema de la firma. Reminiscencias y recreación. Perspectivas en Matemáticas, Annals of Mathematical Studies, Banda 70, 1971, págs. 3–31.
• Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974). Clases características . Anales de estudios de matemáticas. Prensa de la Universidad de Princeton; Prensa de la Universidad de Tokio. ISBN 0-691-08122-0.