En matemáticas , las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas ordinarias , pero se definen utilizando la hipérbola en lugar del círculo . Así como los puntos (cos t , sin t ) forman un círculo con un radio unitario , los puntos (cosh t , sinh t ) forman la mitad derecha de la hipérbola unitaria . Además, de manera similar a cómo las derivadas de sin( t ) y cos( t ) son cos( t ) y –sin( t ) respectivamente, las derivadas de sinh( t ) y cosh( t ) son cosh( t ) y +sinh ( t ) respectivamente.
área del seno hiperbólico " arsinh " (también denominado " sinh −1 ", " asinh " o, a veces, " arcsinh ") [9] [10] [11]
coseno hiperbólico de área " arcosh " (también denominado " cosh −1 ", " acosh " o, a veces, " arccosh ")
área tangente hiperbólica " artanh " (también denominada " tanh −1 ", " atanh " o, a veces, " arctanh ")
área cotangente hiperbólica " arcoth " (también denominada " coth −1 ", " acoth " o, a veces, " arccoth ")
área secante hiperbólica " arsech " (también denominada " sech −1 ", " asech " o, a veces, " arcsech ")
área cosecante hiperbólica " arcsch " (también denominada " arcosech ", " csch −1 ", " cosech −1 "," acsch ", " acosech " o, a veces, " arccsch " o " arccosech ")
Un rayo que pasa por la hipérbola unitaria x 2 − y 2 = 1 en el punto (cosh a , sinh a ) , donde a es el doble del área entre el rayo, la hipérbola y el eje x . Para los puntos de la hipérbola debajo del eje x , el área se considera negativa (ver versión animada con comparación con las funciones trigonométricas (circulares)).
En análisis complejo , las funciones hiperbólicas surgen al aplicar las funciones seno y coseno ordinarias a un ángulo imaginario. El seno hiperbólico y el coseno hiperbólico son funciones completas . Como resultado, las otras funciones hiperbólicas son meromórficas en todo el plano complejo.
Las funciones hiperbólicas fueron introducidas en la década de 1760 de forma independiente por Vincenzo Riccati y Johann Heinrich Lambert . [13] Riccati utilizó Sc. y CC. ( sinus/cosinus circulare ) para referirse a funciones circulares y Sh. y cap. ( sinus/cosinus hyperbolico ) para referirse a funciones hiperbólicas. Lambert adoptó los nombres, pero modificó las abreviaturas a las que se utilizan hoy. [14] Las abreviaturas sh , ch , th , cth también se utilizan actualmente, dependiendo de las preferencias personales.
Notación
Definiciones
sinh , cosh y tanhcsch , sech y coth
Hay varias formas equivalentes de definir las funciones hiperbólicas.
Definiciones exponenciales
sinh x es la mitad de la diferencia de e x y e − xcosh x es el promedio de e x y e − x
Seno hiperbólico: la parte impar de la función exponencial, es decir,
Coseno hiperbólico: la parte par de la función exponencial, es decir,
Tangente hiperbólica:
Cotangente hiperbólica: para x ≠ 0 ,
Secante hiperbólica:
Cosecante hiperbólica: para x ≠ 0 ,
Definiciones de ecuaciones diferenciales
Las funciones hiperbólicas se pueden definir como soluciones de ecuaciones diferenciales : El seno y el coseno hiperbólicos son la solución ( s , c ) del sistema.
sinh( x ) y cosh( x ) también son la solución única de la ecuación f ″( x ) = f ( x ) , tal que f (0) = 1 , f ′(0) = 0 para el coseno hiperbólico, y f (0) = 0 , f ′(0) = 1 para el seno hiperbólico.
Las definiciones anteriores están relacionadas con las definiciones exponenciales mediante la fórmula de Euler (consulte § Funciones hiperbólicas para números complejos a continuación).
Propiedades caracterizantes
coseno hiperbólico
Se puede demostrar que el área bajo la curva del coseno hiperbólico (sobre un intervalo finito) es siempre igual a la longitud del arco correspondiente a ese intervalo: [15]
Tangente hiperbólica
La tangente hiperbólica es la solución (única) de la ecuación diferencial f ′ = 1 − f 2 , con f (0) = 0 . [16] [17]
Relaciones útiles
Las funciones hiperbólicas satisfacen muchas identidades, todas ellas similares en forma a las identidades trigonométricas . De hecho, la regla de Osborn [18] establece que se puede convertir cualquier identidad trigonométrica (hasta pero sin incluir senhs o senhs implícitos de 4º grado) para , , o y en una identidad hiperbólica, expandiéndola completamente en términos de potencias integrales de senos y cosenos, cambiando seno a senh y coseno a cosh, y cambiando el signo de cada término que contenga un producto de dos senhs.
Es posible expresar explícitamente la serie de Taylor en cero (o la serie de Laurent , si la función no está definida en cero) de las funciones anteriores.
Las siguientes series van seguidas de una descripción de un subconjunto de su dominio de convergencia , donde la serie es convergente y su suma es igual a la función.
Las siguientes expansiones son válidas en todo el plano complejo:
Comparación con funciones circulares
El círculo y la hipérbola tangente en (1,1) muestran la geometría de funciones circulares en términos del área del sector circular u y funciones hiperbólicas dependiendo del área del sector hiperbólico u .
Dado que el área de un sector circular con radio r y ángulo u (en radianes) es r 2 u /2 , será igual a u cuando r = √ 2 . En el diagrama, dicho círculo es tangente a la hipérbola xy = 1 en (1,1). El sector amarillo representa un área y una magnitud de ángulo. De manera similar, las regiones amarilla y roja juntas representan un sector hiperbólico con un área correspondiente a la magnitud del ángulo hiperbólico.
Los catetos de los dos triángulos rectángulos con hipotenusa en el rayo que define los ángulos tienen una longitud √ 2 veces las funciones circular e hiperbólica.
El ángulo hiperbólico es una medida invariante con respecto al mapeo de compresión , al igual que el ángulo circular es invariante bajo rotación. [23]
La función de Gudermann da una relación directa entre las funciones circulares y las funciones hiperbólicas que no involucra números complejos.
La gráfica de la función a cosh( x / a ) es la catenaria , la curva formada por una cadena flexible uniforme, que cuelga libremente entre dos puntos fijos bajo gravedad uniforme.
Relación con la función exponencial
La descomposición de la función exponencial en sus partes pares e impares da las identidades
Dado que la función exponencial se puede definir para cualquier argumento complejo , también podemos extender las definiciones de las funciones hiperbólicas a argumentos complejos. Las funciones sinh z y cosh z son entonces holomorfas .
Las relaciones con funciones trigonométricas ordinarias vienen dadas por la fórmula de Euler para números complejos:
Así, las funciones hiperbólicas son periódicas con respecto a la componente imaginaria, con punto ( para tangente y cotangente hiperbólicas).
^ Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler a 300: una apreciación. Asociación Matemática de América, 2007. Página 100.
^ Georg F. Becker. Funciones hiperbólicas. Leer libros, 1931. Página xlviii.
^ NP, Bali (2005). Cálculo Integral Dorado. Medios de firewall. pag. 472.ISBN _81-7008-169-6.
^ Willi-hans Steeb (2005). Libro de trabajo no lineal,: caos, fractales, autómatas celulares, redes neuronales, algoritmos genéticos, programación de expresión genética, máquina de vectores de soporte, wavelets, modelos ocultos de Markov, lógica difusa con programas C++, Java y Symbolicc++ (3ª ed.). Compañía editorial científica mundial. pag. 281.ISBN _978-981-310-648-2.Extracto de la página 281 (usando lambda=1)
^ Keith B. Oldham; Jan Myland; Jerome Spanier (2010). Un atlas de funciones: con Equator, la calculadora de funciones Atlas (segunda edición ilustrada). Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 290.ISBN _978-0-387-48807-3.Extracto de la página 290
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^ Martín, George E. (1986). Los fundamentos de la geometría y el plano no euclidiano (1ª ed. corregida). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 416.ISBN _3-540-90694-0.
^ "Demuestre la identidad tanh(x/2) = (cosh(x) - 1)/sinh(x)". StackExchange (matemáticas) . Consultado el 24 de enero de 2016 .
^ Audibert, Jean-Yves (2009). "Tasas de aprendizaje rápidas en inferencia estadística mediante agregación". Los anales de la estadística. pag. 1627.[1]