Factoriales decrecientes y crecientes

Funciones matemáticas

En matemáticas , el factorial descendente (a veces llamado factorial descendente , ^[1] producto secuencial descendente o factorial inferior ) se define como el polinomio

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}=x^{\underline {n}}&=\overbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)} ^{n{\text{ factors}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x-k).\end{aligned}}}$$

El factorial ascendente (a veces llamado función de Pochhammer , polinomio de Pochhammer , factorial ascendente , ^[1] producto secuencial ascendente o factorial superior ) se define como

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{(n)}=x^{\overline {n}}&=\overbrace {x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)} ^{n{\text{ factors}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).\end{aligned}}}$$

El valor de cada uno se considera 1 (un producto vacío ) cuando n = 0 . Estos símbolos se denominan colectivamente potencias factoriales . ^[2]

El símbolo de Pochhammer , introducido por Leo August Pochhammer , es la notación ( x ) _n , donde n es un número entero no negativo . Puede representar el factorial ascendente o descendente, con diferentes artículos y autores que utilizan diferentes convenciones. El propio Pochhammer utilizó ( x ) _n con otro significado más, concretamente para denotar el coeficiente binomial ^[3]. ${\displaystyle {\tbinom {x}{n}}.}$

En este artículo, el símbolo ( x ) _n se usa para representar el factorial descendente y el símbolo x ^{( n )} se usa para el factorial ascendente. Estas convenciones se utilizan en combinatoria , ^[4] aunque las notaciones subrayadas y superpuestas de Knuth son cada vez más populares. ^{[2] [5]} En la teoría de funciones especiales (en particular la función hipergeométrica ) y en la obra de referencia estándar Abramowitz y Stegun , el símbolo de Pochhammer ( x ) _n se utiliza para representar el factorial ascendente. ^{[6] [7]} ${\displaystyle x^{\underline {n}}}$ ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$

Cuando x es un entero positivo, ( x ) _n da el número de n -permutaciones (secuencias de elementos distintos) de un conjunto de elementos x , o equivalentemente el número de funciones inyectivas de un conjunto de tamaño n a un conjunto de tamaño  x . El factorial ascendente x ^{( n )} da el número de particiones de un conjunto de n elementos en x secuencias ordenadas (posiblemente vacías). ^[a]

Ejemplos e interpretación combinatoria.

Los primeros factoriales descendentes son los siguientes:

$${\displaystyle {\begin{array}{rll}(x)_{0}&&=1\\(x)_{1}&&=x\\(x)_{2}&=x(x-1)&=x^{2}-x\\(x)_{3}&=x(x-1)(x-2)&=x^{3}-3x^{2}+2x\\(x)_{4}&=x(x-1)(x-2)(x-3)&=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x\end{array}}}$$

$${\displaystyle {\begin{array}{rll}x^{(0)}&&=1\\x^{(1)}&&=x\\x^{(2)}&=x(x+1)&=x^{2}+x\\x^{(3)}&=x(x+1)(x+2)&=x^{3}+3x^{2}+2x\\x^{(4)}&=x(x+1)(x+2)(x+3)&=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x\end{array}}}$$

números de Stirling del primer tipo

Cuando la variable x es un entero positivo, el número ( x ) _n es igual al número de n -permutaciones de un conjunto de x elementos , es decir, el número de formas de elegir una lista ordenada de longitud n que consta de elementos distintos extraído de una colección de tamaño x . Por ejemplo, (8) ₃ = 8 × 7 × 6 = 336 es el número de podios diferentes (asignaciones de medallas de oro, plata y bronce) posibles en una carrera de ocho personas. En este contexto, a veces también se utilizan otras notaciones como _x P _n , ^x P _n , P _n ^x o P ( x , n ) . Por otro lado, x ^{( n )} es "el número de formas de organizar n banderas en x mástiles", ^[8] donde se deben usar todas las banderas y cada mástil puede tener cualquier número de banderas. De manera equivalente, este es el número de formas de dividir un conjunto de tamaño n (las banderas) en x partes distinguibles (los postes), con un orden lineal en los elementos asignados a cada parte (el orden de las banderas en un poste determinado). .

Propiedades

Los factoriales ascendentes y descendentes simplemente están relacionados entre sí:

$${\displaystyle {\begin{array}{rll}{(x)}_{n}&={(x-n+1)}^{(n)}&=(-1)^{n}(-x)^{(n)},\\x^{(n)}&={(x+n-1)}_{n}&=(-1)^{n}(-x)_{n}.\end{array}}}$$

Los factoriales decrecientes y ascendentes de números enteros están directamente relacionados con el factorial ordinario :

$${\displaystyle {\begin{aligned}n!&=1^{(n)}=(n)_{n},\\[6pt](m)_{n}&={\frac {m!}{(m-n)!}},\\[6pt]m^{(n)}&={\frac {(m+n-1)!}{(m-1)!}}.\end{aligned}}}$$

Los factoriales ascendentes de semienteros están directamente relacionados con el factorial doble :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}},\quad \left[{\frac {2m+1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2(n+m)-1)!!}{2^{n}(2m-1)!!}}.\end{aligned}}}$$

Los factoriales descendentes y ascendentes se pueden utilizar para expresar un coeficiente binomial :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(x)_{n}}{n!}}&={\binom {x}{n}},\\[6pt]{\frac {x^{(n)}}{n!}}&={\binom {x+n-1}{n}}.\end{aligned}}}$$

Por tanto, muchas identidades de los coeficientes binomiales se trasladan a los factoriales ascendentes y descendentes.

Los factoriales ascendentes y descendentes están bien definidos en cualquier anillo unitario y, por lo tanto, x puede considerarse, por ejemplo, un número complejo , incluidos los enteros negativos, o un polinomio con coeficientes complejos, o cualquier función de valores complejos .

El factorial descendente se puede extender a valores reales de x usando la función gamma siempre que x y x + n sean números reales que no sean enteros negativos:

$${\displaystyle (x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\ ,}$$

$${\displaystyle x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}\ .}$$

Los factoriales decrecientes aparecen en la diferenciación múltiple de funciones de potencia simples:

$${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}x^{a}=(a)_{n}\cdot x^{a-n}.}$$

El factorial ascendente también es parte integral de la definición de la función hipergeométrica : la función hipergeométrica se define para | z | < 1 por la serie de potencias

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}$$

c ≠ 0, −1, −2, ... . ( a ) _n

Coeficientes e identidades de conexión.

Los factoriales ascendentes y descendentes están estrechamente relacionados con los números de Stirling . De hecho, la ampliación del producto revela los números de Stirling del primer tipo.

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{k}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}x^{k}\\\end{aligned}}}$$

Y las relaciones inversas utilizan números de Stirling de segunda especie.

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(x)_{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{(k)}.\end{aligned}}}$$

Los factoriales decrecientes y ascendentes están relacionados entre sí a través de los números Lah ${\textstyle L(n,k)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}}$ : ^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)x^{(k)}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-1)^{n-k}(x)_{k}\end{aligned}}}$$

Dado que los factoriales decrecientes son una base para el anillo polinómico , se puede expresar el producto de dos de ellos como una combinación lineal de factoriales decrecientes: ^[10]

$${\displaystyle (x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\binom {n}{k}}k!\cdot (x)_{m+n-k}\ .}$$

Los coeficientes se denominan coeficientes de conexión y tienen una interpretación combinatoria como el número de formas de identificar (o "pegar") k elementos, cada uno de un conjunto de tamaño m y un conjunto de tamaño n . ${\displaystyle {\tbinom {m}{k}}{\tbinom {n}{k}}k!}$

También hay una fórmula de conexión para la proporción de dos factoriales ascendentes dada por

$${\displaystyle {\frac {x^{(n)}}{x^{(i)}}}=(x+i)^{(n-i)},\quad {\text{for }}n\geq i.}$$

Además, podemos expandir las leyes de exponentes generalizadas y las potencias negativas ascendentes y descendentes a través de las siguientes identidades: ^{[11] (p. 52)}

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{m+n}&=(x)_{m}(x-m)_{n}=(x)_{n}(x-n)_{m}\\[6pt]x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}=x^{(n)}(x+n)^{(m)}\\[6pt]x^{(-n)}&={\frac {\Gamma (x-n)}{\Gamma (x)}}={\frac {(x-n-1)!}{(x-1)!}}={\frac {1}{(x-n)^{(n)}}}={\frac {1}{(x-1)_{n}}}={\frac {1}{(x-1)(x-2)\cdots (x-n)}}=(-n)!{\binom {x-n-1}{-n}}\\[6pt](x)_{-n}&={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+n-1)}}={\frac {x!}{(x+n)!}}={\frac {1}{(x+n)_{n}}}={\frac {1}{(x+1)^{(n)}}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}=(-n)!{\binom {x}{-n}}.\end{aligned}}}$$

Finalmente, las fórmulas de duplicación y multiplicación para los factoriales ascendentes y descendentes proporcionan las siguientes relaciones:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{k+mn}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x-k-j}{m}}\right)_{n}\,,&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt]x^{(k+mn)}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+k+j}{m}}\right)^{(n)},&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt](ax+b)^{(n)}&=x^{n}\prod _{j=0}^{n-1}\left(a+{\frac {b+j}{x}}\right),&{\text{for }}x&\in \mathbb {Z} ^{+}\\[6pt](2x)^{(2n)}&=2^{2n}x^{(n)}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{(n)}.\end{aligned}}}$$

Relación con el cálculo umbral

El factorial descendente ocurre en una fórmula que representa polinomios usando el operador de diferencia directa y que es formalmente similar al teorema de Taylor : ${\displaystyle \Delta f(x){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x{+}1)-f(x),}$

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{n}f(0)}{n!}}(x)_{n}.}$$

En esta fórmula y en muchos otros lugares, el factorial descendente ( x ) _n en el cálculo de diferencias finitas desempeña el papel de x ⁿ en el cálculo diferencial. Nótese, por ejemplo, la similitud de Δ ( x ) _n = n ( x ) _{n −1} con d/d x x ^norte = nx ^{norte −1} .

Un resultado similar es válido para el factorial ascendente y el operador de diferencias hacia atrás.

El estudio de analogías de este tipo se conoce como cálculo umbral . Una teoría general que cubre tales relaciones, incluidas las funciones factoriales descendentes y ascendentes, la proporciona la teoría de las secuencias polinómicas de tipo binomial y las secuencias de Sheffer . Los factoriales descendentes y ascendentes son secuencias de Sheffer de tipo binomial, como lo muestran las relaciones:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)_{n-j}(b)_{j}\\[6pt](a+b)^{(n)}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)^{(n-j)}(b)^{(j)}\end{aligned}}}$$

donde los coeficientes son los mismos que los del teorema del binomio .

De manera similar, la función generadora de los polinomios de Pochhammer asciende al exponencial umbral,

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\left(1+t\right)^{x},}$$

desde

$${\displaystyle \operatorname {\Delta } _{x}\left(1+t\right)^{x}=t\cdot \left(1+t\right)^{x}.}$$

Notaciones alternativas

Una notación alternativa para el factorial ascendente

$${\displaystyle x^{\overline {m}}\equiv (x)_{+m}\equiv (x)_{m}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0}$$

y por el factorial que cae

$${\displaystyle x^{\underline {m}}\equiv (x)_{-m}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0}$$

se remonta a A. Capelli (1893) y L. Toscano (1939), respectivamente. ^[2] Graham, Knuth y Patashnik ^{[11] (págs. 47, 48)} proponen pronunciar estas expresiones como " x a la m subiendo" y " x a la m bajando", respectivamente.

Otras notaciones para el factorial descendente incluyen P ( x , n ) , ^x P _n , P _{x , n} , P _n ^x o _x P _n . (Ver permutación y combinación ).

Una notación alternativa para el factorial ascendente x ^{( n )} es la menos común ( x )⁺
_norte . cuando ( x )⁺
_nortese utiliza para denotar el factorial ascendente, la notación ( x )⁻
_nortese utiliza normalmente para el factorial descendente ordinario, para evitar confusiones. ^[3]

Generalizaciones

El símbolo de Pochhammer tiene una versión generalizada llamada símbolo de Pochhammer generalizado , utilizado en análisis multivariado . También existe un análogo q , el símbolo q -Pochhammer .

Una generalización del factorial descendente en el que una función se evalúa en una secuencia aritmética descendente de números enteros y los valores se multiplican es: ^{[ cita necesaria ]}

$${\displaystyle {\bigl [}f(x){\bigr ]}^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f{\bigl (}x-(k-1)h{\bigr )},}$$

donde − h es el decremento y k es el número de factores. La generalización correspondiente del factorial ascendente es

$${\displaystyle {\bigl [}f(x){\bigr ]}^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f{\bigl (}x+(k-1)h{\bigr )}.}$$

Esta notación unifica los factoriales ascendentes y descendentes, que son [ x ] ^{k /+1} y [ x ] ^{k /−1} respectivamente.

Para cualquier función aritmética fija y parámetros simbólicos x , t , productos factoriales generalizados relacionados de la forma ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$

$${\displaystyle (x)_{n,f,t}:=\prod _{k=0}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k}}}\right)}$$

puede estudiarse desde el punto de vista de las clases de números de Stirling generalizados del primer tipo definidos por los siguientes coeficientes de las potencias de x en las expansiones de ( x ) _{n , f , t} y luego por la siguiente relación de recurrencia triangular correspondiente :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=\left[x^{k-1}\right](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}}$$

Estos coeficientes satisfacen una serie de propiedades análogas a las de los números de Stirling del primer tipo, así como relaciones de recurrencia y ecuaciones funcionales relacionadas con los números f -armónicos, ^[12]

$${\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}{\frac {t^{k}}{f(k)^{r}}}\,.}$$

Una generalización simétrica se puede definir como

$${\displaystyle x^{\underline {\overline {m}}}\equiv {\frac {x^{\overline {m}}x^{\underline {m}}}{x}}=x^{{\overline {m}}+{\underline {m}}-1}.}$$

Ver también

• Pochhammer k -símbolo
• Identidad de Vandermonde

Referencias

1. Aquí las partes son distintas; por ejemplo, cuando x = n = 2 , las (2) ⁽²⁾ = 6 particiones son , , , , y , donde − denota una parte vacía. ${\displaystyle (12,-)}$ ${\displaystyle (21,-)}$ ${\displaystyle (1,2)}$ ${\displaystyle (2,1)}$ ${\displaystyle (-,12)}$ ${\displaystyle (-,21)}$

1. Steffensen, JF (17 de marzo de 2006). Interpolación (2ª ed.). Publicaciones de Dover. pag. 8.ISBN​ 0-486-45009-0.- Una reimpresión de la edición de 1950 de Chelsea Publishing.
2. Knuth, DE El arte de la programación informática . vol. 1 (3ª ed.). pag. 50.
3. Knuth, DE (1992). "Dos notas sobre notación". Mensual Matemático Estadounidense . 99 (5): 403–422. arXiv : matemáticas/9205211 . doi :10.2307/2325085. JSTOR  2325085. S2CID  119584305.El comentario sobre el símbolo Pochhammer se encuentra en la página 414.
4. Olver, PJ (1999). Teoría clásica invariante . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 101.ISBN​ 0-521-55821-2. SEÑOR  1694364.
5. Harris; primero; Mossinghoff (2008). Combinatoria y Teoría de Grafos . Saltador. cap. 2.ISBN​ 978-0-387-79710-6.
6. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (Diciembre de 1972) [junio de 1964]. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas de la Oficina Nacional de Estándares . vol. 55. Washington, DC: Departamento de Comercio de Estados Unidos . pag. 256 ecuaciones. 6.1.22. LCCN  64-60036.
7. Pizarrero, Lucy J. (1966). Funciones Hipergeométricas Generalizadas . Prensa de la Universidad de Cambridge. Apéndice I. SEÑOR  0201688.— Proporciona una lista útil de fórmulas para manipular el factorial ascendente en notación ( x ) _n .
8. Feller, William. Una introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . vol. 1. Cap. 2.
9. "Introducción a los factoriales y binomios". Sitio de funciones de Wolfram .
10. Rosas, Mercedes H. (2002). "Especializaciones de funciones simétricas de MacMahon y álgebra polinómica". Matemáticas discretas . 246 (1–3): 285–293. doi :10.1016/S0012-365X(01)00263-1. hdl : 11441/41678 .
11. Graham, Ronald L .; Knuth, Donald E. y Patashnik, Oren (1988). Matemáticas Concretas . Lectura, MA: Addison-Wesley. págs.47, 48, 52. ISBN 0-201-14236-8.
12. Schmidt, Maxie D. (29 de marzo de 2017). "Identidades combinatorias para números de Stirling generalizados que amplían funciones factoriales f y números armónicos f ". arXiv : 1611.04708v2 [math.CO].

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Símbolo de Pochhammer". MundoMatemático .
• "Una recopilación de demostraciones matemáticas". scribd.com . Archivado desde el original el 14 de febrero de 2016.— Pruebas elementales