Progresión armónica (matemáticas)

Progresión formada tomando los recíprocos de una progresión aritmética

Los diez primeros miembros de la secuencia armónica . ${\displaystyle a_{n}={\tfrac {1}{n}}}$

En matemáticas , una progresión armónica (o secuencia armónica ) es una progresión formada tomando los recíprocos de una progresión aritmética .

De manera equivalente, una secuencia es una progresión armónica cuando cada término es la media armónica de los términos vecinos.

Como tercera caracterización equivalente, es una secuencia infinita de la forma

${\displaystyle {\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}},\ {\frac {1}{a+2d}},\ {\frac {1}{a+3d}},\cdots ,}$

donde a no es cero y − a / d no es un número natural o una secuencia finita de la forma

${\displaystyle {\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}},\ {\frac {1}{a+2d}},\ {\frac {1}{a+3d}},\cdots ,\ {\frac {1}{a+kd}},}$

donde a no es cero, k es un número natural y − a / d no es un número natural o es mayor que k .

Ejemplos

En lo siguiente n es un número natural, en secuencia: ${\displaystyle \ n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots \ }$

• ${\displaystyle 1,{\tfrac {\ 1\ }{2}},\ {\tfrac {\ 1\ }{3}},\ {\tfrac {\ 1\ }{4}},\ {\tfrac {\ 1\ }{5}},\ {\tfrac {\ 1\ }{6}},\ \ldots \ ,\ {\tfrac {\ 1\ }{n}},\ \ldots \ }$se llama secuencia armónica
• 12, 6, 4, 3, ${\displaystyle \ {\tfrac {12}{\ 5\ }},\ 2,\ \ldots \ ,\ {\tfrac {12}{\ n\ }},\ \ldots \ }$
• 30, −30, −10, −6, ${\displaystyle \ -{\tfrac {30}{\ 7\ }},\ \ldots \ ,\ {\tfrac {30}{\ \left(3\ -\ 2n\right)\ }},\ \ldots \ }$
• 10, 30, −30, −10, −6, ${\displaystyle \ \ldots \ {\tfrac {30}{\ \left(5\ -\ 2n\right)\ }},\ \ldots \ }$

Sumas de progresiones armónicas

Las progresiones armónicas infinitas no son sumables (suma hasta el infinito).

No es posible que una progresión armónica de fracciones unitarias distintas (aparte del caso trivial en el que a = 1 y k = 0) sume un número entero . La razón es que, necesariamente, al menos un denominador de la progresión será divisible por un número primo que no divida a ningún otro denominador. ^[1]

Uso en geometría

Si los puntos colineales A, B, C y D son tales que D es el conjugado armónico de C con respecto a A y B, entonces las distancias desde cualquiera de estos puntos a los tres puntos restantes forman una progresión armónica. ^{[2] [3]} Específicamente, cada una de las secuencias AC, AB, AD; antes de Cristo, licenciatura, bd; CA, CD, CB; y DA, DC, DB son progresiones armónicas, donde cada una de las distancias está firmada según una orientación fija de la línea.

En un triángulo, si las alturas están en progresión aritmética , entonces los lados están en progresión armónica.

Torre inclinada de Lire

Un excelente ejemplo de Progresión Armónica es la Torre Inclinada de Lire . En él, se apilan bloques uniformes uno encima del otro para lograr la máxima distancia lateral o lateral recorrida. Los bloques se apilan a 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10,… distancia de lado debajo del bloque original. Esto asegura que el centro de gravedad esté justo en el centro de la estructura para que no colapse. Un ligero aumento de peso sobre la estructura hace que ésta se vuelva inestable y caiga.

Ver también

• Progresión geométrica
• Serie armónica
• Lista de sumas de recíprocos
• Armónicos (en música)

Referencias

1. Erdős, P. (1932), "Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása" [Generalización de un teorema elemental de teoría de números de Kürschák] (PDF) , Mat. Fiz. Lapok (en húngaro), 39 : 17-24. Como lo cita Graham, Ronald L. (2013), "Paul Erdős and Egypt fraccions", centenario de Erdős , Bolyai Soc. Matemáticas. Stud., vol. 25, János Bolyai Math. Soc., Budapest, págs. 289–309, CiteSeerX 10.1.1.300.91 , doi :10.1007/978-3-642-39286-3_9, ISBN  978-3-642-39285-6, señor  3203600.
2. Capítulos sobre la geometría moderna del punto, la línea y el círculo, vol. II de Richard Townsend (1865) p. 24
3. Geometría moderna del punto, la línea recta y el círculo: un tratado elemental de John Alexander Third (1898) p. 44

• Dominar las matemáticas técnicas por Stan Gibilisco, Norman H. Crowhurst, (2007) p. 221
• Tablas matemáticas estándar de Chemical Rubber Company (1974) p. 102
• Fundamentos de álgebra para escuelas secundarias por Webster Wells (1897) p. 307