La congruencia de Kummer

Resultado en teoría de números que muestra congruencias que involucran números de Bernoulli

En matemáticas , las congruencias de Kummer son algunas congruencias que involucran números de Bernoulli , encontradas por Ernst Eduard Kummer  (1851).

Kubota y Leopoldt (1964) utilizaron las congruencias de Kummer para definir la función zeta p-ádica .

Declaración

La forma más simple de la congruencia de Kummer establece que

${\displaystyle {\frac {B_{h}}{h}}\equiv {\frac {B_{k}}{k}}{\pmod {p}}{\text{ whenever }}h\equiv k{\pmod {p-1}}}$

donde p es un primo, h y k son números enteros pares positivos no divisibles por p −1 y los números B _h son números de Bernoulli .

De manera más general, si h y k son números enteros positivos pares no divisibles por p  − 1, entonces

${\displaystyle (1-p^{h-1}){\frac {B_{h}}{h}}\equiv (1-p^{k-1}){\frac {B_{k}}{k}}{\pmod {p^{a+1}}}}$

cuando sea

${\displaystyle h\equiv k{\pmod {\varphi (p^{a+1})}}}$

donde φ( p ^{a +1} ) es la función totiente de Euler , evaluada en p ^{a +1} y a es un entero no negativo. En a = 0, la expresión toma la forma más simple, como se ve arriba. Los dos lados de la congruencia de Kummer son esencialmente valores de la función zeta p-ádica , y las congruencias de Kummer implican que la función zeta p -ádica para enteros negativos es continua, por lo que puede extenderse por continuidad a todos los enteros p -ádicos.

Véase también

• Teorema de Von Staudt-Clausen , otra congruencia que involucra números de Bernoulli
• Número de Bernoulli § Los teoremas de Kummer

Referencias

• Koblitz, Neal (1984),Números p -ádicos, análisis p -ádicos y funciones zeta , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 58, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96017-3, Sr.  0754003
• Kubota, Tomio ; Leopoldt, Heinrich-Wolfgang (1964), "Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 214/215: 328–339, doi :10.1515 /crll.1964.214-215.328, ISSN  0075-4102, SEÑOR  0163900
• Kummer, Ernst Eduard (1851), "Über eine allgemeine Eigenschaft der racionalen Entwicklungscoëfficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 41 : 368–372, doi :10.1515/crll.1851.41.368, ISSN  0075 - 4102, ERAM  041.1136cj