Funciones matemáticas
En matemáticas , el factorial descendente (a veces llamado factorial descendente , [1] producto secuencial descendente o factorial inferior ) se define como el polinomio
![{\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}=x^{\underline {n}}&=\overbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1) )} ^{n{\text{ factores}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1 }(xk).\end{alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El factorial ascendente (a veces llamado función de Pochhammer , polinomio de Pochhammer , factorial ascendente , [1] producto secuencial ascendente o factorial superior ) se define como
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{(n)}=x^{\overline {n}}&=\overbrace {x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1) )} ^{n{\text{ factores}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1 }(x+k).\end{alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El valor de cada uno se considera 1 (un producto vacío ) cuando n = 0 . Estos símbolos se denominan colectivamente potencias factoriales . [2]
El símbolo de Pochhammer , introducido por Leo August Pochhammer , es la notación ( x ) n , donde n es un número entero no negativo . Puede representar el factorial ascendente o descendente, con diferentes artículos y autores que utilizan diferentes convenciones. El propio Pochhammer utilizó ( x ) n con otro significado más, concretamente para denotar el coeficiente binomial [3].![{\displaystyle {\tbinom {x}{n}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En este artículo, el símbolo ( x ) n se usa para representar el factorial descendente y el símbolo x ( n ) se usa para el factorial ascendente. Estas convenciones se utilizan en combinatoria , [4]
aunque las notaciones subrayadas y superpuestas de Knuth son cada vez más populares. [2] [5]
En la teoría de funciones especiales (en particular la función hipergeométrica ) y en la obra de referencia estándar Abramowitz y Stegun , el símbolo de Pochhammer ( x ) n se utiliza para representar el factorial ascendente. [6] [7]![{\displaystyle x^{\underline {n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x^{\overline {n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cuando x es un entero positivo, ( x ) n da el número de n -permutaciones (secuencias de elementos distintos) de un conjunto de elementos x , o equivalentemente el número de funciones inyectivas de un conjunto de tamaño n a un conjunto de tamaño x . El factorial ascendente x ( n ) da el número de particiones de un conjunto de n elementos en x secuencias ordenadas (posiblemente vacías). [a]
Ejemplos e interpretación combinatoria.
Los primeros factoriales descendentes son los siguientes:
![{\displaystyle {\begin{array}{rll}(x)_{0}&&=1\\(x)_{1}&&=x\\(x)_{2}&=x(x-1 )&=x^{2}-x\\(x)_{3}&=x(x-1)(x-2)&=x^{3}-3x^{2}+2x\\( x)_{4}&=x(x-1)(x-2)(x-3)&=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x\end{array} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{array}{rll}x^{(0)}&&=1\\x^{(1)}&&=x\\x^{(2)}&=x(x+1 )&=x^{2}+x\\x^{(3)}&=x(x+1)(x+2)&=x^{3}+3x^{2}+2x\\x ^{(4)}&=x(x+1)(x+2)(x+3)&=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x\end{array} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
números de Stirling del primer tipoCuando la variable x es un entero positivo, el número ( x ) n es igual al número de n -permutaciones de un conjunto de x elementos , es decir, el número de formas de elegir una lista ordenada de longitud n que consta de elementos distintos extraído de una colección de tamaño x . Por ejemplo, (8) 3 = 8 × 7 × 6 = 336 es el número de podios diferentes (asignaciones de medallas de oro, plata y bronce) posibles en una carrera de ocho personas. En este contexto, a veces también se utilizan otras notaciones como x P n , x P n , P n x o P ( x , n ) . Por otro lado, x ( n ) es "el número de formas de organizar n banderas en x mástiles", [8]
donde se deben usar todas las banderas y cada mástil puede tener cualquier número de banderas. De manera equivalente, este es el número de formas de dividir un conjunto de tamaño n (las banderas) en x partes distinguibles (los postes), con un orden lineal en los elementos asignados a cada parte (el orden de las banderas en un poste determinado). .
Propiedades
Los factoriales ascendentes y descendentes simplemente están relacionados entre sí:
![{\displaystyle {\begin{array}{rll}{(x)}_{n}&={(x-n+1)}^{(n)}&=(-1)^{n}(- x)^{(n)},\\x^{(n)}&={(x+n-1)}_{n}&=(-1)^{n}(-x)_{n }.\end{matriz}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los factoriales decrecientes y ascendentes de números enteros están directamente relacionados con el factorial ordinario :
![{\displaystyle {\begin{alineado}n!&=1^{(n)}=(n)_{n},\\[6pt](m)_{n}&={\frac {m!} {(mn)!}},\\[6pt]m^{(n)}&={\frac {(m+n-1)!}{(m-1)!}}.\end{aligned} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los factoriales ascendentes de semienteros están directamente relacionados con el factorial doble :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n} }},\quad \left[{\frac {2m+1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2(n+m)-1)!!}{2^ {n}(2m-1)!!}}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los factoriales descendentes y ascendentes se pueden utilizar para expresar un coeficiente binomial :
![{\displaystyle {\begin{alineado}{\frac {(x)_{n}}{n!}}&={\binom {x}{n}},\\[6pt]{\frac {x^ {(n)}}{n!}}&={\binom {x+n-1}{n}}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por tanto, muchas identidades de los coeficientes binomiales se trasladan a los factoriales ascendentes y descendentes.
Los factoriales ascendentes y descendentes están bien definidos en cualquier anillo unitario y, por lo tanto, x puede considerarse, por ejemplo, un número complejo , incluidos los enteros negativos, o un polinomio con coeficientes complejos, o cualquier función de valores complejos .
El factorial descendente se puede extender a valores reales de x usando la función gamma siempre que x y x + n sean números reales que no sean enteros negativos:
![{\displaystyle (x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\ ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}\ .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los factoriales decrecientes aparecen en la diferenciación múltiple de funciones de potencia simples:
![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}x^{a}=(a)_{n}\cdot x^{ un}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El factorial ascendente también es parte integral de la definición de la función hipergeométrica : la función hipergeométrica se define para | z | < 1 por la serie de potencias
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{ (n)}}{c^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
c ≠ 0, −1, −2, ... . ( a ) n Coeficientes e identidades de conexión.
Los factoriales ascendentes y descendentes están estrechamente relacionados con los números de Stirling . De hecho, la ampliación del producto revela los números de Stirling del primer tipo.
![{\displaystyle {\begin{alineado}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}\\&=\sum _{k) =0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}(-1)^{nk}x^{k}\\x^{(n)}&=\sum _ {k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}x^{k}\\\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Y las relaciones inversas utilizan números de Stirling de segunda especie.
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(x)_{k }\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(-1)^{nk}x^{(k)}.\ fin {alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los factoriales decrecientes y ascendentes están relacionados entre sí a través de los números Lah
: [9]
![{\displaystyle {\begin{alineado}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)x^{(k)}\\x^{(n )}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-1)^{nk}(x)_{k}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Dado que los factoriales decrecientes son una base para el anillo polinómico , se puede expresar el producto de dos de ellos como una combinación lineal de factoriales decrecientes: [10]
![{\displaystyle (x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\binom {n}{k}} k!\cdot (x)_{m+nk}\ .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los coeficientes se denominan coeficientes de conexión y tienen una interpretación combinatoria como el número de formas de identificar (o "pegar") k elementos, cada uno de un conjunto de tamaño m y un conjunto de tamaño n .![{\displaystyle {\tbinom {m}{k}}{\tbinom {n}{k}}k!}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
También hay una fórmula de conexión para la proporción de dos factoriales ascendentes dada por
![{\displaystyle {\frac {x^{(n)}}{x^{(i)}}}=(x+i)^{(ni)},\quad {\text{para }}n\geq i.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Además, podemos expandir las leyes de exponentes generalizadas y las potencias negativas ascendentes y descendentes a través de las siguientes identidades: [11] (p. 52)
![{\displaystyle {\begin{alineado}(x)_{m+n}&=(x)_{m}(xm)_{n}=(x)_{n}(xn)_{m}\ \[6pt]x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}=x^{(n)}(x+n)^{(m )}\\[6pt]x^{(-n)}&={\frac {\Gamma (xn)}{\Gamma (x)}}={\frac {(xn-1)!}{(x -1)!}}={\frac {1}{(xn)^{(n)}}}={\frac {1}{(x-1)_{n}}}={\frac {1 }{(x-1)(x-2)\cdots (xn)}}=(-n)!{\binom {xn-1}{-n}}\\[6pt](x)_{-n }&={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+n-1)}}={\frac {x!}{(x+n)!}}={\frac {1 }{(x+n)_{n}}}={\frac {1}{(x+1)^{(n)}}}={\frac {1}{(x+1)(x+ 2)\cdots (x+n)}}=(-n)!{\binom {x}{-n}}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Finalmente, las fórmulas de duplicación y multiplicación para los factoriales ascendentes y descendentes proporcionan las siguientes relaciones:
![{\displaystyle {\begin{alineado}(x)_{k+mn}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({ \frac {xkj}{m}}\right)_{n}\,,&{\text{para }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt]x^{(k+mn)}& =x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+k+j}{m}}\right)^{( n)},&{\text{para }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt](ax+b)^{(n)}&=x^{n}\prod _{j=0 }^{n-1}\left(a+{\frac {b+j}{x}}\right),&{\text{para }}x&\in \mathbb {Z} ^{+}\\[ 6pt](2x)^{(2n)}&=2^{2n}x^{(n)}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{(n)}.\ fin {alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Relación con el cálculo umbral
El factorial descendente ocurre en una fórmula que representa polinomios usando el operador de diferencia directa y que es formalmente similar al teorema de Taylor :![{\displaystyle \Delta f(x){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x{+}1)-f(x),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{n}f(0)}{n!}}(x)_{n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En esta fórmula y en muchos otros lugares, el factorial descendente ( x ) n en el cálculo de diferencias finitas desempeña el papel de x n en el cálculo diferencial. Nótese, por ejemplo, la similitud de Δ ( x ) n = n ( x ) n −1 con d/d x x norte = nx norte −1 .
Un resultado similar es válido para el factorial ascendente y el operador de diferencias hacia atrás.
El estudio de analogías de este tipo se conoce como cálculo umbral . Una teoría general que cubre tales relaciones, incluidas las funciones factoriales descendentes y ascendentes, la proporciona la teoría de las secuencias polinómicas de tipo binomial y las secuencias de Sheffer . Los factoriales descendentes y ascendentes son secuencias de Sheffer de tipo binomial, como lo muestran las relaciones:
![{\displaystyle {\begin{alineado}(a+b)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)_{nj}( b)_{j}\\[6pt](a+b)^{(n)}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)^ {(nj)}(b)^{(j)}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde los coeficientes son los mismos que los del teorema del binomio .
De manera similar, la función generadora de los polinomios de Pochhammer asciende al exponencial umbral,
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\left(1+t\right)^{ X},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
desde
![{\displaystyle \operatorname {\Delta } _{x}\left(1+t\right)^{x}=t\cdot \left(1+t\right)^{x}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Notaciones alternativas
Una notación alternativa para el factorial ascendente
![{\displaystyle x^{\overline {m}}\equiv (x)_{+m}\equiv (x)_{m}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1) } ^{m{\text{ factores}}}\quad {\text{para entero }}m\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y por el factorial que cae
![{\displaystyle x^{\underline {m}}\equiv (x)_{-m}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m{\text{ factores }}}\quad {\text{para entero }}m\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
se remonta a A. Capelli (1893) y L. Toscano (1939), respectivamente. [2] Graham, Knuth y Patashnik [11] (págs. 47, 48)
proponen pronunciar estas expresiones como " x a la m subiendo" y " x a la m bajando", respectivamente.
Otras notaciones para el factorial descendente incluyen P ( x , n ) , x P n , P x , n , P n x o x P n . (Ver permutación y combinación ).
Una notación alternativa para el factorial ascendente x ( n ) es la menos común ( x )+
norte . cuando ( x )+
nortese utiliza para denotar el factorial ascendente, la notación ( x )−
nortese utiliza normalmente para el factorial descendente ordinario, para evitar confusiones. [3]
Generalizaciones
El símbolo de Pochhammer tiene una versión generalizada llamada símbolo de Pochhammer generalizado , utilizado en análisis multivariado . También existe un análogo q , el símbolo q -Pochhammer .
Una generalización del factorial descendente en el que una función se evalúa en una secuencia aritmética descendente de números enteros y los valores se multiplican es: [ cita necesaria ]
![{\displaystyle {\bigl [}f(x){\bigr ]}^{k/-h}=f(x)\cdot f(xh)\cdot f(x-2h)\cdots f{\bigl ( }x-(k-1)h{\bigr )},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde − h es el decremento y k es el número de factores. La generalización correspondiente del factorial ascendente es
![{\displaystyle {\bigl [}f(x){\bigr ]}^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f{\bigl (}x+(k-1)h{\bigr )}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esta notación unifica los factoriales ascendentes y descendentes, que son [ x ] k /+1 y [ x ] k /−1 respectivamente.
Para cualquier función aritmética fija y parámetros simbólicos x , t , productos factoriales generalizados relacionados de la forma![{\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (x)_{n,f,t}:=\prod _{k=0}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k}} }\bien)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
puede estudiarse desde el punto de vista de las clases de números de Stirling generalizados del primer tipo definidos por los siguientes coeficientes de las potencias de x en las expansiones de ( x ) n , f , t y luego por la siguiente relación de recurrencia triangular correspondiente :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=\left[x^{k-1}\ derecha](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix} }\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n, 0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Estos coeficientes satisfacen una serie de propiedades análogas a las de los números de Stirling del primer tipo, así como relaciones de recurrencia y ecuaciones funcionales relacionadas con los números f -armónicos, [12]
![{\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}{\frac {t^{k}}{f(k)^{r}}}\, .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una generalización simétrica se puede definir como
![{\displaystyle x^{\underline {\overline {m}}}\equiv {\frac {x^{\overline {m}}x^{\underline {m}}}{x}}=x^{{ \overline {m}}+{\underline {m}}-1}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- ^ Aquí las partes son distintas; por ejemplo, cuando x = n = 2 , las (2) (2) = 6 particiones son , , , , y , donde − denota una parte vacía.
![{\displaystyle (12,-)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (21,-)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (1,2)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (2,1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (-,12)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (-,21)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Símbolo de Pochhammer". MundoMatemático .
- "Una recopilación de demostraciones matemáticas". scribd.com . Archivado desde el original el 14 de febrero de 2016.— Pruebas elementales