Lista de temas de álgebra abstracta

El álgebra abstracta es el área temática de las matemáticas que estudia estructuras algebraicas , como grupos , anillos , campos , módulos , espacios vectoriales y álgebras . La frase álgebra abstracta se acuñó a principios del siglo XX para distinguir esta área de lo que normalmente se conoce como álgebra, el estudio de las reglas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que involucran incógnitas y números reales o complejos , a menudo llamada ahora álgebra elemental. . La distinción rara vez se hace en escritos más recientes.

lenguaje básico

Las estructuras algebraicas se definen principalmente como conjuntos con operaciones .

• estructura algebraica
  • Subobjetos : subgrupo , subanillo , subálgebra , submódulo , etc.
• operación binaria
  • Cierre de una operación
  • Propiedad asociativa
  • Propiedad distributiva
  • Propiedad conmutativa
• operador unario
  • Inverso aditivo , inverso multiplicativo , elemento inverso
    • Elemento de identidad
    • Propiedad de cancelación
• operación finita
  • arity

Los mapas que preservan la estructura llamados homomorfismos son vitales en el estudio de objetos algebraicos.

• Homomorfismos
  • Granos y cocas
  • Imagen y coimagen
  • Epimorfismos y monomorfismos
    • Isomorfismos
      • Teoremas de isomorfismo

Hay varias formas básicas de combinar objetos algebraicos del mismo tipo para producir un tercer objeto del mismo tipo. Estas construcciones se utilizan en todo el álgebra.

• Suma directa
  • límite directo
• Producto directo
  • Límite inverso
• Objetos de cociente: grupo de cociente , anillo de cociente , módulo de cociente , etc.
• Producto tensorial

Conceptos avanzados:

• Teoría de categorías
  • Categoría de grupos
    • Categoría de grupos abelianos
  • categoría de anillos
  • Categoría de módulos (sobre anillo fijo)
    • Equivalencia de Morita , dualidad de Morita
  • Categoría de espacios vectoriales
• Álgebra homológica
  • Filtración (álgebra)
  • secuencia exacta
  • Funtor
• Lema de Zorn

Semigrupos y monoides

• Semigrupo
  • Subsemigrupo
  • Semigrupo libre
  • Las relaciones de Green
  • Semigrupo inverso (o semigrupo de inversión, cf. [1])
  • Teoría de Krohn-Rodas
  • Álgebra de semigrupos
  • Semigrupo de transformación
• monoide
  • monoide aperiódico
  • monoide libre
  • Monoide (teoría de categorías)
  • Factorización monoide
  • monoide sintáctico

teoría de grupos

Estructura

• Grupo (matemáticas)
  • Teorema de Lagrange (teoría de grupos)
  • Subgrupo
    • Coset
    • Subgrupo normal
    • Subgrupo característico
    • Subgrupos de centralizador y normalizador
    • grupo derivado
    • subgrupo frattini
    • Subgrupo de montaje
  • Clasificación de grupos finitos simples.
  • Teoremas de Sylow
  • Análisis local

Construcciones

• grupo libre
  • presentación de un grupo
  • Problema verbal para grupos
• grupo cociente
  • Problema de extensión
• Suma directa , producto directo
• Producto semidirecto
  • Producto de corona

Tipos

• grupo sencillo
• grupo finito
• grupo abeliano
  • Subgrupo de torsión
  • grupo abeliano libre
  • Grupo abeliano finitamente generado
  • Rango de un grupo abeliano
• grupo cíclico
  • Grupo localmente cíclico
• grupo solucionable
  • Serie de composición
• grupo nilpotente
• grupo divisible
• Grupo Dedekind , grupo hamiltoniano

Ejemplos

• Ejemplos de grupos
  • grupo trivial
  • Grupo aditivo
  • grupo de permutación
  • grupo simétrico
  • grupo alterno
  • grupo p
  • Lista de grupos pequeños
  • Klein cuatro grupos
  • grupo cuaternión
  • grupo diédrico
  • grupo dicíclico
  • Grupo de automorfismo
  • grupo de puntos
  • grupo circulo
  • grupo lineal
  • grupo ortogonal

Aplicaciones

• Acción grupal
  • clase de conjugación
  • automorfismo interno
  • Cierre conjugado
  • Subgrupo estabilizador
  • Órbita (teoría de grupos)
  • Teorema del estabilizador de órbita
  • teorema de cayley
  • Lema de Burnside
• El problema de Burnside
• grupo de bucle
• grupo fundamental

Teoría del anillo

General

• Anillo (matemáticas)
• Álgebra conmutativa , anillo conmutativo
• Teoría de anillos , anillo no conmutativo
• Álgebra sobre un campo
  • Álgebra no asociativa
• Relativos a los anillos: Semiring , Nearring , Rig (álgebra)

Estructura

• Subring , subálgebra
  • Centro (álgebra)
• Anillo ideal
  • ideal principal
  • cociente ideal
  • Ideal máximo , ideal mínimo.
  • Ideal primitivo , ideal primo , ideal semiprimo
  • Radical de un ideal
• radical jacobson
• Zócalo de un anillo
• unidad (teoría de anillos) , idempotente , nilpotente , divisor cero
• Característica (álgebra)
• Homomorfismo de anillo , homomorfismo de álgebra
  • Epimorfismo de anillo
  • Monomorfismo de anillo
  • Isomorfismo de anillo
    • Teorema de Skolem-Noether
• álgebra graduada
• equivalencia morita
  • grupo brauer

Construcciones

• Suma directa de anillos , Producto de anillos
• anillo cociente
• Anillo de matriz
• Anillo de endomorfismo
• Anillo polinomial
• Serie de potencias formales
• Anillo monoide , Anillo de grupo
• Localización de un anillo.
• Álgebra tensorial
  • Álgebra simétrica , Álgebra exterior , Álgebra de Clifford
• Álgebra libre
• Finalización (teoría del anillo)

Tipos

• Campo (matemáticas) , anillo de división , álgebra de división
• Anillo simple , Álgebra central simple , Anillo semisimple , Álgebra semisimple
• Anillo primitivo , Anillo semiprimitivo
• Anillo primario , Anillo semiprimario , Anillo reducido
• Dominio integral , Dominio (teoría de anillos)
  • Campo de fracciones , cierre integral.
  • Dominio euclidiano , Dominio ideal principal , Dominio de factorización única , Dominio de Dedekind , Dominio de Prüfer
• Anillo regular von Neumann
• Anillo cuasi-Frobenius
• Anillo hereditario , Anillo semihereditario
• Anillo local , Anillo semilocal
• Anillo de valoración discreto
• Anillo local regular
• Anillo Cohen-Macaulay
• Anillo Gorenstein
• Anillo artiniano , anillo noetheriano
• Anillo perfecto , anillo semiperfecto.
• Anillo Baer , ​​anillo Rickart
• Anillo de mentira , álgebra de mentira
  • Ideal (álgebra de mentiras)
• Álgebra de Jordania
• Álgebra diferencial
• álgebra de Banach

Ejemplos

• Número racional , Número real , Número complejo , Cuaterniones , Octoniones
  • cuaternión de Hurwitz
• entero gaussiano

Teoremas y aplicaciones

• geometría algebraica
  • Nullstellensatz de Hilbert
• Teorema de la base de Hilbert
• Teorema de Hopkins-Levitzki
• Teorema ideal principal de Krull
• Teorema de Levitzky
• Teoría de Galois
  • Teorema de Abel-Ruffini
• Teorema de Artin-Wedderburn
• Teorema de densidad de Jacobson
• El pequeño teorema de Wedderburn
• Teorema de Lasker-Noether

teoría de campo

Conceptos básicos

• Campo (matemáticas)
• Subcampo (matemáticas)
  • grupo multiplicativo
    • Elemento primitivo (teoría de campos)
• Extensión de campo
  • extensión algebraica
    • Campo dividido
    • Campo algebraicamente cerrado
      • elemento algebraico
      • cierre algebraico
  • Extensión separable
    • Polinomio separable
  • extensión normal
  • extensión de galois
  • extensión abeliana
  • Grado de trascendencia
• Norma de campo
• Seguimiento de campo
• Elemento conjugado (teoría de campos)
• Producto tensor de campos

Tipos

• campo de números algebraicos
• Campo global
• campo local
• campo finito
• Función simétrica
• Campo formalmente real
• Campo cerrado real

Aplicaciones

• Teoría de Galois
  • grupo galois
  • Problema inverso de Galois
• Teoría de Kummer

Teoría del módulo

General

• Módulo (matemáticas)
• bimódulo
• Aniquilador (teoría del anillo)

Estructura

• Submódulo
  • Submódulo puro
• Homomorfismo del módulo
  • Submódulo esencial
  • Submódulo superfluo
  • Submódulo singular
• Zócalo de un módulo
• Radical de un módulo

Construcciones

• módulo gratuito
• módulo cociente
• Suma directa , Producto directo de módulos.
• Límite directo , límite inverso
• Localización de un módulo
• Finalización (teoría del anillo)

Tipos

• Módulo simple , módulo semisimple
• Módulo indescomponible
• Módulo artiniano , módulo noetheriano
• Tipos homológicos:
  • módulo proyectivo
    • Cobertura proyectiva
    • teorema del cisne
    • Teorema de Quillen-Suslin
  • módulo inyectivo
    • casco inyectable
  • Módulo plano
    • cubierta plana
• módulo coherente
• Módulo generado finitamente
• Módulo presentado de forma finita
• Módulo finitamente relacionado
• Módulo algebraicamente compacto
• Módulo reflexivo

Conceptos y teoremas

• Serie de composición
  • Longitud de un módulo
• Teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal
• Dimensión homológica
  • Dimensión proyectiva
  • Dimensión inyectiva
  • Dimensión plana
  • Dimensión global
  • Dimensión global débil
  • Dimensión cohomológica
• Dimensión Krull
• Secuencia regular (álgebra) , profundidad (álgebra)
• Lema de ajuste
• Lema de Schur
• El lema de Nakayama
• Teorema de Krull-Schmidt
• Lema de intercambio de Steinitz
• Teorema de Jordan-Hölder
• Lema de Artin-Rees
• El lema de Schanuel
• equivalencia morita
  • Progenerador

Teoría de la representación

Teoría de la representación

• Representación de álgebra
• Representación del grupo
• Representación del álgebra de mentiras
• teorema de maschke
• Lema de Schur
• Mapa equivalente
• Reciprocidad de Frobenius
  • representación inducida
  • Representación restringida
• Representación afín
• Representación proyectiva
• Teoría de la representación modular
• Carcaj (matemáticas)
• Teoría de la representación de las álgebras de Hopf.

Sistemas no asociativos

General

• Propiedad asociativa , asociador.
• Montón (matemáticas)
• Magma (álgebra)
  • Bucle (álgebra) , cuasigrupo
• Anillo no asociativo , álgebra no asociativa
  • Álgebra envolvente universal
  • Álgebra de Lie ( ver también lista de temas de grupos de Lie y lista de temas de teoría de representación )
  • Álgebra de Jordania
  • Álgebra alternativa
  • Asociatividad de poder
  • Álgebra flexible

Ejemplos

• Construcción Cayley-Dickson
  • Octoniones
  • Sedeniones
• Cuaterniones hiperbólicos
• Álgebra de Virasoro

Generalidades

• estructura algebraica
• álgebra universal
  • Variedad (álgebra universal)
  • Relación de congruencia
  • Objeto libre
  • Conjunto generador (álgebra universal)
  • Clonar (álgebra)
• Núcleo de una función
  • Núcleo (álgebra)
  • clase de isomorfismo
  • Teorema del isomorfismo
  • Teorema fundamental sobre homomorfismos
• propiedad universal
• Filtración (matemáticas)
• Teoría de categorías
  • categoría monoidal
  • grupoide
  • Objeto de grupo
  • carbongebra
  • biálgebra
  • álgebra de hopf
  • Objeto de magma
• Torsión (álgebra)

Álgebra informática

• Matemáticas simbólicas
  • Aritmética de campos finitos
  • base de gröbner
  • algoritmo de buchberger

Ver también

• Lista de temas de álgebra conmutativa
• Lista de temas de álgebra homológica
• Lista de temas de álgebra lineal
• Lista de estructuras algebraicas
• Glosario de teoría de campos.
• Glosario de teoría de grupos
• Glosario de teoría de anillos
• Glosario de teoría tensorial