Teorema de Serre-Swan

Relaciona los paquetes de vectores geométricos con módulos proyectivos algebraicos

En los campos matemáticos de la topología y la teoría K , el teorema de Serre-Swan , también llamado teorema de Swan , relaciona la noción geométrica de haces de vectores con el concepto algebraico de módulos proyectivos y da lugar a una intuición común en todas las matemáticas : "módulos proyectivos sobre Los anillos conmutativos son como haces de vectores en espacios compactos ".

Las dos formulaciones precisas de los teoremas difieren algo. El teorema original, como lo afirmó Jean-Pierre Serre en 1955, es de naturaleza más algebraica y se refiere a haces de vectores en una variedad algebraica sobre un campo algebraicamente cerrado (de cualquier característica ). La variante complementaria establecida por Richard Swan en 1962 es más analítica y se refiere a haces de vectores ( reales , complejos o cuaterniónicos ) en una variedad suave o espacio de Hausdorff .

Geometría diferencial

Supongamos que M es una variedad suave (no necesariamente compacta) y E es un paquete de vectores suave sobre M. Entonces Γ(E) , el espacio de secciones suaves de E , es un módulo sobre C ^∞ ( M ) (el álgebra conmutativa de funciones suaves de valores reales en M ). El teorema de Swan establece que este módulo es finitamente generado y proyectivo sobre C ^∞ ( M ). En otras palabras, todo paquete de vectores es una suma directa de algún paquete trivial: para algunos k . El teorema se puede demostrar construyendo un epimorfismo de paquete a partir de un paquete trivial. Esto se puede hacer, por ejemplo, exhibiendo secciones s ₁ ... s _k con la propiedad de que para cada punto p , { s _i ( p )} abarca el fibra sobre p . ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{k}\to E.}$

Cuando M es conexo , lo contrario también es cierto: cada módulo proyectivo generado finitamente sobre C ^∞ ( M ) surge de esta manera a partir de algún paquete de vectores suave en M. Tal módulo puede verse como una función suave f en M con valores en las matrices idempotentes n × n para algunos n . La fibra del paquete de vectores correspondiente sobre x es entonces el rango de f ( x ). Si M no es conexo, lo contrario no se cumple a menos que se permitan paquetes de vectores de rango no constante (lo que significa admitir variedades de dimensión no constante). Por ejemplo, si M es una variedad de 2 puntos de dimensión cero, el módulo es finitamente generado y proyectivo pero no es libre y, por lo tanto, no puede corresponder a las secciones de ningún paquete vectorial (de rango constante) sobre M (todos que son triviales). ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus 0}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)\cong \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$

Otra forma de expresar lo anterior es que para cualquier variedad suave conectada M , el funtor de sección Γ de la categoría de haces de vectores suaves sobre M a la categoría de módulos C ^∞ ( M ) proyectivos finitamente generados es completo , fiel y esencialmente sobreyectivo . Por lo tanto, la categoría de paquetes de vectores suaves en M es equivalente a la categoría de módulos C ^∞ ( M ) proyectivos finitamente generados . Los detalles se pueden encontrar en (Nestruev 2003).

Topología

Supongamos que X es un espacio compacto de Hausdorff y C( X ) es el anillo de funciones continuas de valor real en X. De manera análoga al resultado anterior, la categoría de paquetes de vectores reales en X es equivalente a la categoría de módulos proyectivos generados finitamente sobre C( X ). El mismo resultado se cumple si se reemplaza "de valor real" por "de valor complejo" y "haz de vectores reales" por "haz de vectores complejos", pero no es válido si reemplaza el campo por un campo totalmente desconectado como los números racionales. .

En detalle, sea Vec( X ) la categoría de paquetes de vectores complejos sobre X y sea ProjMod(C( X )) la categoría de módulos proyectivos generados finitamente sobre el álgebra C* C( X ). Hay un functor Γ: Vec( X ) → ProjMod(C( X )) que envía cada paquete de vectores complejos E sobre X al módulo C( X ) Γ( X , E ) de secciones . Si es un morfismo de haces de vectores sobre X entonces y se deduce que ${\displaystyle \tau :(E_{1},\pi _{1})\to (E_{2},\pi _{2})}$ ${\displaystyle \pi _{2}\circ \tau =\pi _{1}}$

${\displaystyle \forall s\in \Gamma (X,E_{1})\quad \pi _{2}\circ \tau \circ s=\pi _{1}\circ s={\text{id}}_{X},}$

dando el mapa

${\displaystyle {\begin{cases}\Gamma \tau :\Gamma (X,E_{1})\to \Gamma (X,E_{2})\\s\mapsto \tau \circ s\end{cases}}}$

que respeta la estructura del módulo (Várilly, 97) . El teorema de Swan afirma que el funtor Γ es una equivalencia de categorías .

geometría algebraica

El resultado análogo en geometría algebraica , debido a Serre (1955, §50) se aplica a haces de vectores en la categoría de variedades afines . Sea X una variedad afín con un haz de estructura y un haz coherente de módulos en X. Entonces es el haz de gérmenes de un haz de vectores de dimensión finita si y sólo si el espacio de secciones de es un módulo proyectivo sobre el anillo conmutativo ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}},X),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle A=\Gamma ({\mathcal {O}}_{X},X).}$

Referencias

• Karoubi, Max (1978), Teoría K: una introducción , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-08090-1
• Manoharan, Palanivel (1995), "Teorema de Swan generalizado y su aplicación", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 123 (10): 3219–3223, doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1264823-X , JSTOR  2160685, SEÑOR  1264823.
• Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi :10.2307/1969915, JSTOR  1969915, SEÑOR  0068874.
• Swan, Richard G. (1962), "Vector Bundles and Projective Modules", Transactions of the American Mathematical Society , 105 (2): 264–277, doi : 10.2307/1993627 , JSTOR  1993627.
• Nestruev, Jet (2003), Variedades suaves y observables , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 220, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95543-7
• Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, Gennadi (2005), Métodos topológicos geométricos y algebraicos en mecánica cuántica , World Scientific, ISBN 981-256-129-3.

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