En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de módulos , un módulo inyectivo es un módulo Q que comparte ciertas propiedades deseables con el módulo Z Q de todos los números racionales . Específicamente, si Q es un submódulo de algún otro módulo, entonces ya es una suma directa de ese módulo; Además, dado un submódulo de un módulo Y , cualquier homomorfismo de módulo de este submódulo a Q puede extenderse a un homomorfismo de todo Y a Q. Este concepto es dual al de módulos proyectivos . Los módulos inyectivos se introdujeron en (Baer 1940) y se analizan con cierto detalle en el libro de texto (Lam 1999, §3).
Los módulos inyectivos han sido ampliamente estudiados y en términos de ellos se definen una variedad de nociones adicionales: Los cogeneradores inyectivos son módulos inyectivos que representan fielmente toda la categoría de módulos. Las resoluciones inyectivas miden qué tan lejos está un módulo de inyectivo en términos de la dimensión inyectiva y representan módulos en la categoría derivada . Los cascos inyectivos son extensiones esenciales máximas y resultan ser extensiones inyectivas mínimas. Sobre un anillo noetheriano , cada módulo inyectivo es únicamente una suma directa de módulos indecomponibles y su estructura se comprende bien. Un módulo inyectivo sobre un anillo puede no serlo sobre otro, pero existen métodos bien comprendidos para cambiar anillos que manejan casos especiales. Los anillos que son en sí mismos módulos inyectivos tienen una serie de propiedades interesantes e incluyen anillos como anillos de grupos de grupos finitos sobre campos . Los módulos inyectivos incluyen grupos divisibles y están generalizados por la noción de objetos inyectivos en la teoría de categorías .
Un módulo izquierdo Q sobre el anillo R es inyectivo si satisface una (y por tanto todas) de las siguientes condiciones equivalentes:
Los módulos R derechos inyectivos se definen en completa analogía.
Trivialmente, el módulo cero {0} es inyectivo.
Dado un campo k , cada k - espacio vectorial Q es un k -módulo inyectivo . Razón: si Q es un subespacio de V , podemos encontrar una base de Q y extenderla a una base de V . Los nuevos vectores de base extendidos abarcan un subespacio K de V y V es la suma directa interna de Q y K. Tenga en cuenta que el complemento directo K de Q no está determinado de forma única por Q y, de la misma manera, el mapa extensible h en la definición anterior normalmente no es único.
Los racionales Q (con suma) forman un grupo abeliano inyectivo (es decir, un módulo Z inyectivo ). El grupo de factores Q / Z y el grupo circular también son módulos Z inyectivos . El grupo de factores Z / n Z para n > 1 es inyectivo como módulo Z / n Z , pero no inyectivo como grupo abeliano.
De manera más general, para cualquier dominio integral R con campo de fracciones K , el módulo R K es un módulo R inyectivo y, de hecho, el módulo R inyectivo más pequeño que contiene R. Para cualquier dominio de Dedekind , el módulo cociente K / R también es inyectivo, y sus sumandos indescomponibles son las localizaciones de los ideales primos distintos de cero . El ideal cero también es primo y corresponde al inyectivo K. De esta forma existe una correspondencia 1-1 entre ideales primos y módulos inyectivos indescomponibles.
Una teoría particularmente rica está disponible para los anillos noetherianos conmutativos debido a Eben Matlis (Lam 1999, §3I). Cada módulo inyectivo es únicamente una suma directa de módulos inyectivos indescomponibles, y los módulos inyectivos indescomponibles se identifican únicamente como las cáscaras inyectivas de los cocientes R / P donde P varía a lo largo del espectro primario del anillo. La carcasa inyectiva de R / P como módulo R es canónicamente un módulo R P y es la carcasa inyectiva de R P de R / P. En otras palabras, basta con considerar los anillos locales . El anillo de endomorfismo de la cáscara inyectiva de R / P es la terminación de R en P. [1]
Dos ejemplos son la carcasa inyectiva del módulo Z Z / p Z (el grupo de Prüfer ) y la carcasa inyectiva del módulo k [ x ] k (el anillo de polinomios inversos). Este último se describe fácilmente como k [ x , x −1 ]/ xk [ x ]. Este módulo tiene una base que consta de "monomios inversos", es decir x − n para n = 0, 1, 2,…. La multiplicación por escalares es como se esperaba y la multiplicación por x se comporta normalmente excepto que x ·1 = 0. El anillo de endomorfismo es simplemente el anillo de una serie de potencias formal .
Si G es un grupo finito y k un cuerpo con característica 0, entonces se muestra en la teoría de representaciones de grupos que cualquier subrepresentación de uno dado ya es una suma directa de éste. Traducido al lenguaje de módulos, esto significa que todos los módulos sobre el grupo de álgebra kG son inyectivos. Si la característica de k no es cero, el siguiente ejemplo puede ayudar.
Si A es un álgebra asociativa unital sobre el campo k con dimensión finita sobre k , entonces Hom k (−, k ) es una dualidad entre módulos A izquierdos finitamente generados y módulos A derechos finitamente generados . Por lo tanto, los módulos A izquierdos inyectivos finitamente generados son precisamente los módulos de la forma Hom k ( P , k ) donde P es un módulo A derecho proyectivo finitamente generado . Para las álgebras simétricas , la dualidad se comporta particularmente bien y los módulos proyectivos y los módulos inyectivos coinciden.
Para cualquier anillo artiniano , al igual que para los anillos conmutativos , existe una correspondencia 1-1 entre ideales primos y módulos inyectivos indescomponibles. La correspondencia en este caso es quizás incluso más simple: un ideal primo es un aniquilador de un módulo simple único, y el módulo inyectivo indescomponible correspondiente es su casco inyectivo . Para álgebras de dimensión finita sobre campos, estos cascos inyectivos son módulos generados de forma finita (Lam 1999, §3G, §3J).
Si es un anillo noetheriano y es un ideal primo, se establece como casco inyectivo. El casco inyectivo sobre el anillo artiniano se puede calcular como el módulo . Es un módulo de la misma longitud que . [2] En particular, para el anillo graduado estándar y , es un módulo inyectivo, que proporciona las herramientas para calcular los módulos inyectivos indecomponibles para anillos artinianos sobre .
Un anillo local de Artin es inyectivo sobre sí mismo si y solo si es un espacio vectorial unidimensional sobre . Esto implica que cada anillo local de Gorenstein, que también es Artin, es inyectivo sobre sí mismo ya que tiene un zócalo unidimensional. [3] Un no ejemplo simple es el anillo que tiene un campo ideal y residual máximo . Su zócalo es , que es bidimensional. El campo de residuos tiene la cáscara inyectiva .
Para un álgebra de Lie sobre un campo de característica 0, la categoría de módulos tiene una descripción relativamente sencilla de sus módulos inyectivos. [4] Utilizando el álgebra envolvente universal, se puede construir cualquier módulo inyectivo a partir del módulo
para algún espacio vectorial . Tenga en cuenta que este espacio vectorial tiene una estructura de módulo de la inyección.
De hecho, cada módulo tiene una inyección en some y cada módulo inyectivo es una suma directa de some .
Sobre un anillo noetheriano conmutativo , cada módulo inyectivo es una suma directa de módulos inyectivos indescomponibles y cada módulo inyectivo inyectivo es la cáscara inyectiva del campo residual en un estado primo . Es decir, para un inyectivo , existe un isomorfismo.
¿Dónde están los cascos inyectables de los módulos ? [5] Además, si es el casco inyectivo de algún módulo, entonces son los primos asociados de . [2]
Cualquier producto de (incluso infinitos) módulos inyectivos es inyectivo; por el contrario, si un producto directo de módulos es inyectivo, entonces cada módulo es inyectivo (Lam 1999, p. 61). Toda suma directa de un número finito de módulos inyectivos es inyectiva. En general, los submódulos, módulos de factores o sumas directas infinitas de módulos inyectivos no necesitan ser inyectivos. Cada submódulo de cada módulo inyectivo es inyectivo si y sólo si el anillo es semisimple artiniano (Golan & Head 1991, p. 152); cada módulo factorial de cada módulo inyectivo es inyectivo si y sólo si el anillo es hereditario (Lam 1999, Th. 3.22).
El teorema de Bass-Papp establece que toda suma directa infinita de módulos inyectivos derechos (izquierdos) es inyectiva si y sólo si el anillo es noetheriano derecho (izquierdo) , (Lam 1999, p. 80-81, Th 3.46). [6]
En el artículo original de Baer, demostró un resultado útil, generalmente conocido como Criterio de Baer, para comprobar si un módulo es inyectivo: un módulo R izquierdo Q es inyectivo si y sólo si hay algún homomorfismo g : I → Q definido en un ideal izquierdo I de R se puede extender a todo R .
Utilizando este criterio, se puede demostrar que Q es un grupo abeliano inyectivo (es decir, un módulo inyectivo sobre Z ). De manera más general, un grupo abeliano es inyectivo si y sólo si es divisible . De manera más general aún: un módulo sobre un dominio ideal principal es inyectivo si y sólo si es divisible (el caso de los espacios vectoriales es un ejemplo de este teorema, ya que todo campo es un dominio ideal principal y todo espacio vectorial es divisible). Sobre un dominio integral general, todavía tenemos una implicación: cada módulo inyectivo sobre un dominio integral es divisible.
El criterio de Baer se ha refinado de muchas maneras (Golan & Head 1991, p. 119), incluido el resultado de (Smith 1981) y (Vámos 1983) de que para un anillo noetheriano conmutativo, basta con considerar sólo los ideales primos I. El criterio dual de Baer, que daría una prueba de proyectividad, es falso en general. Por ejemplo, el módulo Z Q satisface el criterio dual de Baer pero no es proyectivo.
Quizás el módulo inyectivo más importante sea el grupo abeliano Q / Z . Es un cogenerador inyectivo en la categoría de grupos abelianos , lo que significa que es inyectivo y cualquier otro módulo está contenido en un producto suficientemente grande de copias de Q / Z . Entonces, en particular, cada grupo abeliano es un subgrupo de uno inyectivo. Es bastante significativo que esto también se aplica a cualquier anillo: cada módulo es un submódulo de uno inyectivo, o "la categoría de R -módulos izquierdos tiene suficientes inyectivos". Para probar esto, se utilizan las propiedades peculiares del grupo abeliano Q / Z para construir un cogenerador inyectivo en la categoría de R -módulos izquierdos.
Para un módulo R izquierdo M , el llamado "módulo de carácter" M + = Hom Z ( M , Q / Z ) es un módulo R derecho que exhibe una dualidad interesante, no entre módulos inyectivos y módulos proyectivos , sino entre módulos inyectivos y módulos planos (Enochs y Jenda 2000, págs. 78–80). Para cualquier anillo R , un módulo R izquierdo es plano si y sólo si su módulo de caracteres es inyectivo. Si R es noetheriano izquierdo, entonces un módulo R izquierdo es inyectivo si y sólo si su módulo de carácter es plano.
La carcasa inyectiva de un módulo es el módulo inyectivo más pequeño que contiene el dado y se describió en (Eckmann y Schopf 1953).
Se pueden utilizar cascos inyectivos para definir una resolución inyectiva mínima (ver más abajo). Si cada término de la resolución inyectiva es la cáscara inyectiva del cokernel del mapa anterior, entonces la resolución inyectiva tiene una longitud mínima.
Cada módulo M también tiene una resolución inyectiva : una secuencia exacta de la forma
donde los I j son módulos inyectivos. Las resoluciones inyectivas se pueden utilizar para definir funtores derivados como el funtor Ext .
La longitud de una resolución inyectiva finita es el primer índice n tal que In es distinto de cero y I i = 0 para i mayor que n . Si un módulo M admite una resolución inyectiva finita, la longitud mínima entre todas las resoluciones inyectivas finitas de M se denomina dimensión inyectiva y se denota id( M ). Si M no admite una resolución inyectiva finita, entonces por convención se dice que la dimensión inyectiva es infinita. (Lam 1999, §5C) Como ejemplo, considere un módulo M tal que id( M ) = 0. En esta situación, la exactitud de la secuencia 0 → M → I 0 → 0 indica que la flecha en el centro es una isomorfismo y, por tanto, M en sí es inyectivo. [7]
De manera equivalente, la dimensión inyectiva de M es el número entero mínimo (si existe, en caso contrario ∞) n tal que ExtN
/ A(–, M ) = 0 para todo N > n .
Cada submódulo inyectivo de un módulo inyectivo es un sumando directo, por lo que es importante comprender los módulos inyectivos indecomponibles (Lam 1999, §3F).
Cada módulo inyectivo indescomponible tiene un anillo de endomorfismo local . Un módulo se llama módulo uniforme si cada dos submódulos distintos de cero tienen una intersección distinta de cero. Para un módulo inyectivo M son equivalentes los siguientes:
Sobre un anillo noetheriano, cada módulo inyectivo es la suma directa de módulos inyectivos indescomponibles (determinados de forma única). A través de un anillo noetheriano conmutativo, esto proporciona una comprensión particularmente agradable de todos los módulos inyectivos, descritos en (Matlis 1958). Los módulos inyectivos indescomponibles son los cascos inyectivos de los módulos R / p para p un ideal primo del anillo R . Además, el casco inyectivo M de R / p tiene una filtración creciente por módulos M n dada por los aniquiladores de los ideales p n , y M n +1 / M n es isomorfo como espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo cociente k ( p ) de R / p a Hom R / p ( p n / p n +1 , k ( p )).
Es importante poder considerar módulos sobre subanillos o anillos cocientes , especialmente por ejemplo anillos polinomiales . En general, esto es difícil, pero se conocen varios resultados (Lam 1999, p. 62).
Sean S y R anillos, y P un bimódulo de R izquierdo y S derecho que es plano como un módulo de R izquierdo . Para cualquier módulo S derecho inyectivo M , el conjunto de homomorfismos de módulo Hom S ( P , M ) es un módulo R derecho inyectivo . La misma afirmación es válida, por supuesto, después de intercambiar los atributos izquierdo y derecho.
Por ejemplo, si R es un subanillo de S tal que S es un módulo R plano , entonces cada módulo S inyectivo es un módulo R inyectivo . En particular, si R es un dominio integral y S su campo de fracciones , entonces todo espacio vectorial sobre S es un módulo R inyectivo . De manera similar, cada módulo inyectivo R [ x ] es un módulo R inyectivo .
En la dirección opuesta, un homomorfismo de anillo convierte a R en un bimódulo izquierda- R , derecha- S , mediante multiplicación izquierda y derecha. Al ser libre sobre sí mismo, R también es plano como módulo R izquierdo . Especializando la afirmación anterior para P = R , dice que cuando M es un módulo S derecho inyectivo , el módulo coinducido es un módulo R derecho inyectivo . Por tanto, la coinducción sobre f produce módulos R inyectivos a partir de módulos S inyectivos .
Para los anillos cocientes R / I , el cambio de anillos también es muy claro. Un módulo R es un módulo R / I precisamente cuando es aniquilado por I. El submódulo ann I ( M ) = { m en M : im = 0 para todo i en I } es un submódulo izquierdo del módulo R izquierdo M , y es el submódulo más grande de M que es un módulo R / I. Si M es un módulo R izquierdo inyectivo , entonces ann I ( M ) es un módulo R / I izquierdo inyectivo . Aplicando esto a R = Z , I = n Z y M = Q / Z , se obtiene el hecho familiar de que Z / n Z es inyectivo como un módulo sobre sí mismo. Si bien es fácil convertir módulos R inyectivos en módulos R / I inyectivos , este proceso no convierte resoluciones R inyectivas en resoluciones R / I inyectivas , y la homología del complejo resultante es una de las primeras y fundamentales áreas. de estudio del álgebra homológica relativa.
El libro de texto (Rotman 1979, p. 103) tiene una prueba errónea de que la localización preserva los inyectivos, pero en (Dade 1981) se dio un contraejemplo.
Todo anillo con unidad es un módulo libre y, por tanto, es proyectivo como módulo sobre sí mismo, pero es más raro que un anillo sea inyectivo como módulo sobre sí mismo (Lam 1999, §3B). Si un anillo es inyectivo sobre sí mismo como módulo derecho, entonces se llama anillo autoinyectivo derecho. Todo álgebra de Frobenius es autoinyectivo, pero ningún dominio integral que no sea un campo es autoinyectivo. Todo cociente propio de un dominio de Dedekind es autoinyectivo.
Un anillo noetheriano derecho , autoinyectivo derecho, se llama anillo cuasi-Frobenius , y es artiniano de dos caras e inyectivo de dos caras (Lam 1999, Th. 15.1). Una propiedad teórica de módulo importante de los anillos cuasi-Frobenius es que los módulos proyectivos son exactamente los módulos inyectivos.
También se habla de objetos inyectivos en categorías más generales que las categorías de módulos, por ejemplo en categorías de functores o en categorías de haces de módulos O X sobre algún espacio anillado ( X ,O X ). Se utiliza la siguiente definición general: un objeto Q de la categoría C es inyectivo si para cualquier monomorfismo f : X → Y en C y cualquier morfismo g : X → Q existe un morfismo h : Y → Q con hf = g .
La noción de objeto inyectivo en la categoría de grupos abelianos se estudió de forma algo independiente de los módulos inyectivos bajo el término grupo divisible . Aquí un módulo Z M es inyectivo si y solo si n ⋅ M = M para cada entero distinto de cero n . Aquí las relaciones entre módulos planos , submódulos puros y módulos inyectivos son más claras, ya que simplemente se refieren a ciertas propiedades de divisibilidad de los elementos del módulo por números enteros.
En álgebra homológica relativa, la propiedad de extensión de los homomorfismos puede ser necesaria sólo para ciertos submódulos, en lugar de para todos. Por ejemplo, un módulo inyectivo puro es un módulo en el que un homomorfismo de un submódulo puro se puede extender al módulo completo.
![{\displaystyle R_{\bullet }=k[x_{1},\ldots,x_{n}]_{\bullet }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92f56eab6bdba0f6c8500f1ea5f48cb39956dec)
![{\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y]/(x^{2},xy,y^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e787254550e894db6de03a7a0a9c82b386c6f1)
