Teorema de Lagrange (teoría de grupos)

El orden de un subgrupo de un grupo finito G divide el orden de G

G es el grupo , los números enteros mod 8 en la suma. El subgrupo H contiene sólo 0 y 4, y es isomorfo a . Hay cuatro clases laterales izquierdas de H: H en sí, 1+H, 2+H y 3+H (escritas usando notación aditiva ya que se trata de un grupo aditivo ). Juntos dividen todo el grupo G en conjuntos de igual tamaño que no se superponen. Por tanto, el índice [G : H] es 4. ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

En el campo matemático de la teoría de grupos , el teorema de Lagrange es un teorema que establece que para cualquier grupo finito G , el orden (número de elementos) de cada subgrupo de G divide el orden de G. El teorema lleva el nombre de Joseph-Louis Lagrange . La siguiente variante establece que para un subgrupo de un grupo finito , no sólo es un número entero, sino que su valor es el índice , definido como el número de clases laterales izquierdas de in . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle |G|/|H|}$ ${\displaystyle [G:H]}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Teorema de Lagrange  :  si H es un subgrupo de un grupo G , entonces ${\displaystyle \left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|.}$

Esta variante es válida incluso si es infinita, siempre que , y se interpreten como números cardinales . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle |G|}$ ${\displaystyle |H|}$ ${\displaystyle [G:H]}$

Prueba

Las clases laterales izquierdas de H en G son las clases de equivalencia de una determinada relación de equivalencia en G : específicamente, llame a xey en G equivalentes si existe h en H tal que x = yh . Por lo tanto , las clases laterales izquierdas forman una partición de G. Cada clase lateral izquierda aH tiene la misma cardinalidad que H porque define una biyección (lo inverso es ). El número de clases laterales izquierdas es el índice [ G  : H ] . Por las tres frases anteriores, ${\displaystyle x\mapsto ax}$ ${\displaystyle H\to aH}$ ${\displaystyle y\mapsto a^{-1}y}$

${\displaystyle \left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|.}$

Extensión

El teorema de Lagrange se puede extender a la ecuación de índices entre tres subgrupos de G. ^[1]

Extensión del teorema de Lagrange  :  si H es un subgrupo de G y K es un subgrupo de H , entonces

${\displaystyle [G:K]=[G:H]\,[H:K].}$

Prueba

Sea S un conjunto de representantes de clase lateral para K en H , entonces (unión disjunta), y . Para cualquiera , la multiplicación por la izquierda por a es una biyección , por lo que . Así , cada clase lateral izquierda de H se descompone en clases laterales izquierdas de K. Dado que G se descompone en clases laterales izquierdas de H , cada una de las cuales se descompone en clases laterales izquierdas de K , el número total de clases laterales izquierdas de K en G es . ${\displaystyle H=\coprod _{s\in S}sK}$ ${\displaystyle |S|=[H:K]}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle G\to G}$ ${\displaystyle aH=\coprod _{s\in S}asK}$ ${\displaystyle [H:K]}$ ${\displaystyle [G:H]}$ ${\displaystyle [H:K]}$ ${\displaystyle [G:K]}$ ${\displaystyle [G:H][H:K]}$

Si tomamos K = { e } ( e es el elemento identidad de G ), entonces [ G  : { e }] = | GRAMO | y [ H  : { e }] = | H | . Por tanto, podemos recuperar la ecuación original | GRAMO | = [ GRAMO  : H ] | H | .

Aplicaciones

Una consecuencia del teorema es que el orden de cualquier elemento a de un grupo finito (es decir, el número entero positivo más pequeño k con a ^k = e , donde e es el elemento identidad del grupo) divide el orden de ese grupo, ya que el El orden de a es igual al orden del subgrupo cíclico generado por a . Si el grupo tiene n elementos, se sigue

${\displaystyle \displaystyle a^{n}=e{\mbox{.}}}$

Esto puede usarse para demostrar el pequeño teorema de Fermat y su generalización, el teorema de Euler . Estos casos especiales se conocían mucho antes de que se demostrara el teorema general.

El teorema también muestra que cualquier grupo de orden primo es cíclico y simple , ya que el subgrupo generado por cualquier elemento no identitario debe ser el grupo completo en sí.

El teorema de Lagrange también se puede utilizar para demostrar que hay infinitos números primos : supongamos que hubiera un número primo más grande . Cualquier divisor primo del número de Mersenne satisface (ver aritmética modular ), lo que significa que el orden de en el grupo multiplicativo es . Según el teorema de Lagrange, el orden de debe dividir al orden de , que es . Así divide , dando , contradiciendo el supuesto de que es el primo mayor. ^[2] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}\equiv 1{\pmod {q}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{*}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{*}}$ ${\displaystyle q-1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q-1}$ ${\displaystyle p<q}$ ${\displaystyle p}$

Existencia de subgrupos de orden dado

El teorema de Lagrange plantea la pregunta inversa de si todo divisor del orden de un grupo es el orden de algún subgrupo. Esto no es válido en general: dado un grupo finito G y un divisor d de | G |, no necesariamente existe un subgrupo de G con orden d . El ejemplo más pequeño es A ₄ (el grupo alterno de grado 4), que tiene 12 elementos pero ningún subgrupo de orden 6.

Un grupo "Teorema inverso de Lagrange" (CLT) es un grupo finito con la propiedad de que para cada divisor del orden del grupo, hay un subgrupo de ese orden. Se sabe que un grupo CLT debe tener solución y que todo grupo supersoluble es un grupo CLT. Sin embargo, existen grupos solubles que no son CLT (por ejemplo, A ₄ ) y grupos CLT que no son supersolubles (por ejemplo, S ₄ , el grupo simétrico de grado 4).

Hay recíprocos parciales del teorema de Lagrange. Para grupos generales, el teorema de Cauchy garantiza la existencia de un elemento, y por tanto de un subgrupo cíclico, de orden de cualquier primo que divida el orden del grupo. El teorema de Sylow extiende esto a la existencia de un subgrupo de orden igual a la potencia máxima de cualquier primo que divida el orden del grupo. Para grupos solubles, los teoremas de Hall afirman la existencia de un subgrupo de orden igual a cualquier divisor unitario del orden del grupo (es decir, un divisor coprimo de su cofactor).

Contraejemplo del inverso del teorema de Lagrange

El recíproco del teorema de Lagrange establece que si d es un divisor del orden de un grupo G , entonces existe un subgrupo H donde | H | = re .

Examinaremos el grupo alterno A ₄ , el conjunto de permutaciones pares como el subgrupo del grupo simétrico S ₄ .

A ₄ = { mi , (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4) , (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)} .

| Un ₄ | = 12 entonces los divisores son 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Supongamos por el contrario que existe un subgrupo H en A ₄ con | H | = 6 .

Sea V el subgrupo no cíclico de A ₄ llamado grupo de cuatro de Klein .

V = { mi , (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} .

Sea K = H ⋂ V . Dado que tanto H como V son subgrupos de A ₄ , K también es un subgrupo de A ₄ .

Según el teorema de Lagrange, el orden de K debe dividir tanto a 6 como a 4 , los órdenes de H y V respectivamente. Los únicos dos números enteros positivos que dividen a 6 y 4 son 1 y 2 . Entonces | k | = 1 o 2 .

Suponer | k | = 1 , entonces K = { mi } . Si H no comparte ningún elemento con V , entonces los 5 elementos en H además del elemento de identidad e deben tener la forma ( abc ) donde a, b, c son elementos distintos en {1, 2, 3, 4} .

Dado que cualquier elemento de la forma ( abc ) al cuadrado es ( acb ) y ( abc )( acb ) = e , cualquier elemento de H en la forma ( abc ) debe estar emparejado con su inverso. Específicamente, los 5 elementos restantes de H deben provenir de pares distintos de elementos en A 4 _que no están en V. Esto es imposible ya que los pares de elementos deben ser pares y no pueden sumar hasta 5 elementos. Por tanto, los supuestos de que | k | = 1 está mal, entonces | k | = 2 .

Entonces, K = { e , v } donde v ∈ V , v debe tener la forma ( ab )( cd ) donde a, b, c, d son elementos distintos de {1, 2, 3, 4} . Los otros cuatro elementos en H son ciclos de longitud 3.

Tenga en cuenta que las clases laterales generadas por un subgrupo de un grupo forman una partición del grupo. Las clases laterales generadas por un subgrupo específico son idénticas entre sí o separadas . El índice de un subgrupo en un grupo [ A ₄  : H ] = | Un ₄ |/| H | es el número de clases laterales generadas por ese subgrupo. Desde | Un ₄ | = 12 y | H | = 6 , H generará dos clases laterales izquierdas, una que es igual a H y otra, gH , que tiene una longitud de 6 e incluye todos los elementos en A ₄ que no están en H .

Dado que solo hay 2 clases laterales distintas generadas por H , entonces H debe ser normal. Por eso, H = gHg ⁻¹ (∀ g ∈ A ₄ ) . En particular, esto es cierto para g = ( abc ) ∈ A ₄ . Dado que H = gHg ⁻¹ , gvg ⁻¹ ∈ H .

Sin pérdida de generalidad, supongamos que a = 1 , b = 2 , c = 3 , d = 4 . Entonces g = (1 2 3) , v = (1 2)(3 4) , g ⁻¹ = (1 3 2) , gv = (1 3 4) , gvg ⁻¹ = (1 4)(2 3) . Transformando nuevamente, obtenemos gvg ⁻¹ = ( a d )( b c ) . Debido a que V contiene todas las transposiciones disjuntas en A ₄ , gvg ⁻¹ ∈ V . Por tanto, gvg ⁻¹ ∈ H ⋂ V = K .

Como gvg ⁻¹ ≠ v , hemos demostrado que hay un tercer elemento en K . Pero antes asumimos que | k | = 2 , entonces tenemos una contradicción.

Por lo tanto, nuestra suposición original de que existe un subgrupo de orden 6 no es cierta y, en consecuencia, no hay ningún subgrupo de orden 6 en A ₄ y lo inverso del teorema de Lagrange no es necesariamente cierto. QED

Historia

El propio Lagrange no demostró el teorema en su forma general. Afirmó, en su artículo Réflexions sur la résolution algébrique des équations , ^[3] que si un polinomio en n variables tiene sus variables permutadas en todos n ! maneras, el número de polinomios diferentes que se obtienen es siempre un factor de n ! . (Por ejemplo, si las variables x , y y z se permutan de las 6 formas posibles en el polinomio x + y − z , entonces obtenemos un total de 3 polinomios diferentes: x + y − z , x + z − y , y y + z − x . Tenga en cuenta que 3 es un factor de 6.) El número de tales polinomios es el índice en el grupo simétrico S _n del subgrupo H de permutaciones que preservan el polinomio. (Para el ejemplo de x + y − z , el subgrupo H en S ₃ contiene la identidad y la transposición ( xy ) ). Entonces, el tamaño de H divide a n ! . Con el desarrollo posterior de los grupos abstractos, se reconoció que este resultado de Lagrange sobre polinomios se extendía al teorema general sobre grupos finitos que ahora lleva su nombre.

En sus Disquisitiones Arithmeticae de 1801, Carl Friedrich Gauss demostró el teorema de Lagrange para el caso especial de , el grupo multiplicativo de enteros distintos de cero módulo p , donde p es un primo. ^[4] En 1844, Augustin-Louis Cauchy demostró el teorema de Lagrange para el grupo simétrico S _n . ^[5] ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{*}}$

Camille Jordan finalmente demostró el teorema de Lagrange para el caso de cualquier grupo de permutación en 1861. ^[6]

Notas

1. Bray, Nicolas, "Teorema del grupo de Lagrange", MathWorld
2. Aigner, Martín ; Ziegler, Günter M. (2018), "Capítulo 1", Pruebas del LIBRO (sexta edición revisada y ampliada), Berlín: Springer, págs. 3–8, ISBN 978-3-662-57264-1
3. Lagrange, Joseph-Louis (1771), "Suite des réflexions sur la résolution algébrique des équations. Sección troisieme. De la résolution des équations du cinquieme degré & des degrés ultérieurs". [Serie de reflexiones sobre la solución algebraica de ecuaciones. Tercera sección. Sobre la solución de ecuaciones de quinto grado y grados superiores], Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin : 138–254 ; véanse especialmente las páginas 202-203.
4. Gauss, Carl Friedrich (1801), Disquisitiones Arithmeticae (en latín), Leipzig (Lipsia): G. Fleischer, págs. 41-45, art. 45-49.
5. Augustin-Louis Cauchy , §VI. — Sur les dérivées d'une ou de plusieurs substitutions, et sur les systèmes de substitutions conjuguées [Sobre los productos de una o varias permutaciones y sobre los sistemas de permutaciones conjugadas] de: "Mémoire sur lesarregles que l'on peut ex avec des lettres données, et sur les permutations ou substitutions à l'aide desquelles on passe d'un arreglo à un autre" [Memoria sobre los arreglos que se pueden formar con letras dadas, y sobre las permutaciones o sustituciones mediante las cuales se pasa de un arreglo a otro] en: Ejercicios de análisis y de física matemática [Ejercicios de análisis y física matemática], vol. 3 (París, Francia: Bachelier, 1844), págs. 183-185.
6. Jordan, Camille (1861), "Mémoire sur le numbre des valeurs des fonctions" [Memoria sobre el número de valores de funciones], Journal de l'École Polytechnique , 22 : 113–194 La generalización de Jordan del teorema de Lagrange aparece en la página 166.

Referencias

• Bray, Henry G. (1968), "Una nota sobre los grupos CLT", Pacific J. Math. , 27 (2): 229–231, doi : 10.2140/pjm.1968.27.229
• Gallian, Joseph (2006), Álgebra abstracta contemporánea (6ª ed.), Boston: Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-51471-7
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Álgebra abstracta (3.ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-43334-7, señor  2286236
• Roth, Richard R. (2001), "Una historia del teorema de Lagrange sobre grupos", Mathematics Magazine , 74 (2): 99–108, doi :10.2307/2690624, JSTOR  2690624