Dimensión cohomológica

En álgebra abstracta , la dimensión cohomológica es una invariante de un grupo que mide la complejidad homológica de sus representaciones. Tiene importantes aplicaciones en teoría de grupos geométricos , topología y teoría algebraica de números .

Dimensión cohomológica de un grupo.

Como la mayoría de los invariantes cohomológicos, la dimensión cohomológica implica la elección de un "anillo de coeficientes" R , con un caso especial destacado dado por , el anillo de números enteros . Sea G un grupo discreto , R un anillo distinto de cero con una unidad y el anillo del grupo . El grupo G tiene una dimensión cohomológica menor o igual a n , denotada si el módulo trivial R tiene una resolución proyectiva de longitud n , es decir, hay módulos proyectivos y homomorfismos de módulos y , tales que la imagen de coincide con el núcleo de for y el núcleo de es trivial. ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle \operatorname {cd} _{R}(G)\leq n}$ ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle P_{0},\dots ,P_{n}}$ ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle d_{k}\colon P_{k}\to P_{k-1}(k=1,\dots ,n)}$ ${\displaystyle d_{0}\colon P_{0}\to R}$ ${\displaystyle d_{k}}$ ${\displaystyle d_{k-1}}$ ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle d_{n}}$

De manera equivalente, la dimensión cohomológica es menor o igual a n si para un módulo arbitrario M , la cohomología de G con coeficientes en M desaparece en grados , es decir, siempre que . La dimensión p -cohomológica para el primo p se define de manera similar en términos de los p -grupos de torsión . ^[1] ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle k>n}$ ${\displaystyle H^{k}(G,M)=0}$ ${\displaystyle k>n}$ ${\displaystyle H^{k}(G,M){p}}$

El n más pequeño tal que la dimensión cohomológica de G sea menor o igual a n es la dimensión cohomológica de G (con coeficientes R ), que se denota . ${\displaystyle n=\operatorname {cd} _{R}(G)}$

Se puede obtener una resolución libre de a partir de una acción libre del grupo G sobre un espacio topológico contráctil X . En particular, si X es un complejo CW contráctil de dimensión n con una acción libre de un grupo discreto G que permuta las células, entonces . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {cd} _{\mathbb {Z} }(G)\leq n}$

Ejemplos

En el primer grupo de ejemplos, sea el anillo R de coeficientes . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Un grupo libre tiene dimensión cohomológica uno. Como lo muestran John Stallings (para grupos finitamente generados) y Richard Swan (en general), esta propiedad caracteriza a los grupos libres. Este resultado se conoce como teorema de Stallings-Swan. ^[2] El teorema de Stallings-Swan para un grupo G dice que G es libre si y sólo si cada extensión de G con núcleo abeliano se divide. ^[3]
• El grupo fundamental de una superficie de Riemann compacta , conectada y orientable distinta de la esfera tiene dimensión cohomológica dos.
• De manera más general, el grupo fundamental de una variedad asférica cerrada, conectada y orientable de dimensión n tiene dimensión cohomológica n . En particular, el grupo fundamental de una variedad n hiperbólica orientable cerrada tiene dimensión cohomológica n .
• Los grupos finitos no triviales tienen una dimensión cohomológica infinita . De manera más general, lo mismo ocurre con los grupos con torsión no trivial . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Consideremos ahora el caso de un anillo general R.

• Un grupo G tiene dimensión cohomológica 0 si y sólo si su anillo de grupo es semisimple . Así , un grupo finito tiene dimensión cohomológica 0 si y sólo si su orden (o, de manera equivalente, el orden de sus elementos) es invertible en R. ${\displaystyle RG}$
• Al generalizar el teorema de Stallings-Swan para , Martin Dunwoody demostró que un grupo tiene una dimensión cohomológica como máximo uno sobre un anillo arbitrario R si y sólo si es el grupo fundamental de un gráfico conexo de grupos finitos cuyos órdenes son invertibles en R. ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$

Dimensión cohomológica de un campo.

La p -dimensión cohomológica de un campo K es la p -dimensión cohomológica del grupo de Galois de un cierre separable de K . ^[4] La dimensión cohomológica de K es el supremo de la p -dimensión cohomológica sobre todos los primos p . ^[5]

Ejemplos

• Cada campo de característica p distinta de cero tiene p -dimensión cohomológica como máximo 1. ^[6]
• Todo campo finito tiene un grupo absoluto de Galois isomorfo y, por lo tanto, tiene una dimensión cohomológica 1. ^[7] ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$
• El campo de la serie formal de Laurent sobre un campo algebraicamente cerrado k de característica distinta de cero también tiene un grupo absoluto de Galois isomorfo y, por lo tanto, dimensión cohomológica 1. ^[7] ${\displaystyle k((t))}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$

Ver también

• Conjetura de Eilenberg-Ganea
• Cohomología de grupo
• Dimensión global

Referencias

1. Gille y Szamuely (2006) p.136
2. Baumslag, Gilbert (2012). Temas de la teoría combinatoria de grupos. Springer Basilea AG. pag. dieciséis.
3. Gruenberg, Karl W. (1975). "Revisión de homología en teoría de grupos por Urs Stammbach". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 81 : 851–854. doi : 10.1090/S0002-9904-1975-13858-4 .
4. Shatz (1972) p.94
5. Gille y Szamuely (2006) p.138
6. Gille y Szamuely (2006) p.139
7. Gille y Szamuely (2006) p.140

• Marrón, Kenneth S. (1994). Cohomología de grupos . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 87 (Reimpresión corregida de la edición original de 1982). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90688-6. SEÑOR  1324339. Zbl  0584.20036.
• Dicks, Warren (1980). Grupos, árboles y módulos proyectivos . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 790. Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/BFb0088140. ISBN 3-540-09974-3. Señor  0584790. Zbl  0427.20016.
• Dydak, Jerzy (2002). "Teoría de la dimensión cohomológica". En Daverman, RJ (ed.). Manual de topología geométrica . Ámsterdam: Holanda Septentrional . págs. 423–470. ISBN 0-444-82432-4. SEÑOR  1886675. Zbl  0992.55001.
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Álgebras centrales simples y cohomología de Galois . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 101. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-86103-9. Zbl  1137.12001.
• Serre, Jean-Pierre (1997). Cohomología de Galois . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61990-9. Zbl  0902.12004.
• Shatz, Stephen S. (1972). Grupos profinitos, aritmética y geometría . Anales de estudios de matemáticas. vol. 67. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . ISBN 0-691-08017-8. Señor  0347778. Zbl  0236.12002.
• Stallings, John R. (1968). "Sobre grupos libres de torsión con infinitos extremos". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 88 : 312–334. doi :10.2307/1970577. ISSN  0003-486X. Señor  0228573. Zbl  0238.20036.
• Cisne, Richard G. (1969). "Grupos de dimensión cohomológica uno". Revista de Álgebra . 12 : 585–610. doi : 10.1016/0021-8693(69)90030-1 . ISSN  0021-8693. Señor  0240177. Zbl  0188.07001.