En matemáticas , una variedad es un espacio topológico que se asemeja localmente al espacio euclidiano cerca de cada punto. Más precisamente, una variedad -dimensional, o -variedad para abreviar, es un espacio topológico con la propiedad de que cada punto tiene un entorno que es homeomorfo a un subconjunto abierto del espacio euclidiano -dimensional.
Las variedades unidimensionales incluyen líneas y círculos , pero no curvas que se cruzan entre sí, como una figura en forma de 8. Las variedades bidimensionales también se denominan superficies . Algunos ejemplos son el plano , la esfera y el toro , y también la botella de Klein y el plano proyectivo real .
El concepto de variedad es central para muchas partes de la geometría y la física matemática moderna porque permite describir estructuras complicadas en términos de propiedades topológicas bien entendidas de espacios más simples. Las variedades surgen naturalmente como conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones y como gráficos de funciones. El concepto tiene aplicaciones en gráficos de computadora dada la necesidad de asociar imágenes con coordenadas (por ejemplo, tomografías computarizadas ).
Las variedades pueden estar dotadas de una estructura adicional. Una clase importante de variedades son las variedades diferenciables ; su estructura diferenciable permite realizar cálculos . Una métrica de Riemann en una variedad permite medir distancias y ángulos . Las variedades simplécticas sirven como espacios de fase en el formalismo hamiltoniano de la mecánica clásica , mientras que las variedades lorentzianas de cuatro dimensiones modelan el espacio-tiempo en la relatividad general .
El estudio de variedades requiere conocimientos prácticos de cálculo y topología .
Después de una línea, un círculo es el ejemplo más simple de una variedad topológica. La topología ignora la flexión, por lo que una pequeña parte de un círculo se trata de la misma manera que una pequeña parte de una línea. Considerando, por ejemplo, la parte superior del círculo unitario , x 2 + y 2 = 1, donde la coordenada y es positiva (indicada por el arco amarillo en la Figura 1 ). Cualquier punto de este arco puede describirse de manera única por su coordenada x . Por lo tanto, la proyección sobre la primera coordenada es una aplicación continua e invertible desde el arco superior hasta el intervalo abierto (−1, 1):
Estas funciones, junto con las regiones abiertas que representan, se denominan gráficos . De manera similar, existen gráficos para las partes inferior (roja), izquierda (azul) y derecha (verde) del círculo:
Juntas, estas partes cubren todo el círculo y los cuatro gráficos forman un atlas para el círculo.
Los gráficos superior y derecho, y respectivamente, se superponen en su dominio: su intersección se encuentra en el cuarto del círculo donde las coordenadas y son positivas. Ambos asignan esta parte al intervalo , aunque de manera diferente. Por lo tanto, se puede construir una función que toma valores del codominio de y los lleva al círculo utilizando la inversa, seguida de y los lleva al intervalo. Si a es cualquier número en , entonces:
Esta función se llama mapa de transición .
Los gráficos superior, inferior, izquierdo y derecho no forman el único atlas posible. Los gráficos no tienen por qué ser proyecciones geométricas y la cantidad de gráficos es una cuestión de elección. Considere los gráficos y
Aquí s es la pendiente de la línea que pasa por el punto en las coordenadas ( x , y ) y el punto pivote fijo (−1, 0); de manera similar, t es el opuesto de la pendiente de la línea que pasa por los puntos en las coordenadas ( x , y ) y (+1, 0). La función inversa de s a ( x , y ) está dada por
Se puede confirmar que x 2 + y 2 = 1 para todos los valores de s y t . Estos dos gráficos proporcionan un segundo atlas para el círculo, con el mapa de transición (es decir, se tiene esta relación entre s y t para cada punto donde s y t son ambos distintos de cero).
Cada gráfico omite un único punto, ya sea (−1, 0) para s o (+1, 0) para t , por lo que ningún gráfico por sí solo es suficiente para cubrir todo el círculo. Se puede demostrar que no es posible cubrir todo el círculo con un único gráfico. Por ejemplo, aunque es posible construir un círculo a partir de un único intervalo de línea superponiendo y "pegando" los extremos, esto no produce un gráfico; una parte del círculo se asignará a ambos extremos a la vez, perdiendo la invertibilidad.
La esfera es un ejemplo de superficie. La esfera unitaria de ecuación implícita
puede cubrirse mediante un atlas de seis gráficos : el plano z = 0 divide la esfera en dos semiesferas ( z > 0 y z < 0 ), que pueden representarse ambas en el disco x 2 + y 2 < 1 mediante la proyección en el plano de coordenadas xy . Esto proporciona dos gráficos; los otros cuatro gráficos se proporcionan mediante una construcción similar con los otros dos planos de coordenadas.
Al igual que en el caso del círculo, se puede definir un gráfico que cubra toda la esfera, excluyendo un punto. Por lo tanto, dos gráficos son suficientes, pero la esfera no puede cubrirse con un solo gráfico.
Este ejemplo es históricamente significativo, ya que motivó la terminología; se hizo evidente que toda la superficie de la Tierra no puede tener una representación plana consistente en un solo mapa (también llamado "carta", ver carta náutica ) y, por lo tanto, se necesitan atlas para cubrir toda la superficie de la Tierra.
Los colectores no necesitan estar conectados (todos en "una sola pieza"); un ejemplo es un par de círculos separados.
Las variedades no necesitan ser cerradas ; por lo tanto, un segmento de línea sin sus puntos finales es una variedad. Nunca son numerables , a menos que la dimensión de la variedad sea 0. Al unir estas libertades, otros ejemplos de variedades son una parábola , una hipérbola y el lugar geométrico de los puntos en una curva cúbica y 2 = x 3 − x (una parte de bucle cerrado y una parte abierta, infinita).
Sin embargo, se excluyen ejemplos como el de dos círculos que se tocan y comparten un punto para formar una figura de 8; en el punto compartido, no se puede crear un diagrama satisfactorio. Incluso con la curvatura permitida por la topología, la vecindad del punto compartido parece un "+", no una línea. Un "+" no es homeomorfo a un segmento de línea, ya que eliminar el punto central del "+" da un espacio con cuatro componentes (es decir, partes), mientras que eliminar un punto de un segmento de línea da un espacio con dos partes como máximo; las operaciones topológicas siempre conservan el número de partes.
De manera informal, una variedad es un espacio que está "modelado" sobre el espacio euclidiano.
Existen muchos tipos diferentes de variedades. En geometría y topología , todas las variedades son variedades topológicas , posiblemente con estructura adicional. Una variedad se puede construir dando una colección de gráficos de coordenadas, es decir, una cobertura por conjuntos abiertos con homeomorfismos a un espacio euclidiano, y funciones de parcheo [ aclaración necesaria ] : homeomorfismos de una región del espacio euclidiano a otra región si corresponden a la misma parte de la variedad en dos gráficos de coordenadas diferentes. A una variedad se le puede dar una estructura adicional si las funciones de parcheo satisfacen axiomas más allá de la continuidad. Por ejemplo, las variedades diferenciables tienen homeomorfismos en vecindarios superpuestos difeomórficos entre sí, de modo que la variedad tiene un conjunto bien definido de funciones que son diferenciables en cada vecindario, por lo tanto diferenciables en la variedad como un todo.
Formalmente, una variedad (topológica) es un segundo espacio de Hausdorff contable que es localmente homeomorfo a un espacio euclidiano.
El segundo contable y Hausdorff son condiciones de conjunto puntual ; el segundo contable excluye espacios que son en algún sentido "demasiado grandes", como la línea larga , mientras que Hausdorff excluye espacios como "la línea con dos orígenes" (estas generalizaciones de variedades se analizan en variedades no Hausdorff ).
Localmente homeomorfo a un espacio euclidiano significa que cada punto tiene un vecindario homeomorfo a un subconjunto abierto del espacio euclidiano para algún entero no negativo n .
Esto implica que o bien el punto es un punto aislado (si ), o bien tiene un vecindario homeomorfo a la bola abierta. Esto implica también que cada punto tiene un vecindario homeomorfo a ya que es homeomorfo, e incluso difeomorfo a cualquier bola abierta en él (para ).
La n que aparece en la definición precedente se denomina dimensión local de la variedad. Generalmente se considera que las variedades tienen una dimensión local constante, y la dimensión local se denomina entonces dimensión de la variedad. Este es, en particular, el caso cuando las variedades son conexas . Sin embargo, algunos autores admiten variedades que no son conexas, y donde diferentes puntos pueden tener diferentes dimensiones . [1] Si una variedad tiene una dimensión fija, esto se puede enfatizar llamándolaVariedad pura . Por ejemplo, la (superficie de una) esfera tiene una dimensión constante de 2 y, por lo tanto, es una variedad pura, mientras que launión disjuntade una esfera y una línea en el espacio tridimensionalnouna variedad pura. Como la dimensión es un invariante local (es decir, la función que envía cada punto a la dimensión de su entorno sobre el que se define un gráfico eslocalmente constante), cadacomponente conexotiene una dimensión fija.
En teoría de haces , una variedad es un espacio anillado localmente , cuya estructura de haces es localmente isomorfa al haz de funciones continuas (o diferenciables, o analíticas complejas, etc.) en el espacio euclidiano. Esta definición se utiliza principalmente cuando se habla de variedades analíticas en geometría algebraica .
La Tierra esférica se puede recorrer mediante mapas o cartas planas, recopiladas en un atlas. De manera similar, una variedad puede describirse mediante mapas matemáticos , llamados cartas de coordenadas , recopilados en un atlas matemático . Por lo general, no es posible describir una variedad con un solo gráfico, porque la estructura global de la variedad es diferente de la estructura simple de los gráficos. Por ejemplo, ningún mapa plano puede representar toda la Tierra sin la separación de las características adyacentes a lo largo de los límites del mapa o la duplicación de la cobertura. Cuando una variedad se construye a partir de varios gráficos superpuestos, las regiones donde se superponen contienen información esencial para comprender la estructura global.
Un mapa de coordenadas , un gráfico de coordenadas o simplemente un gráfico de una variedad es un mapa invertible entre un subconjunto de la variedad y un espacio simple de modo que tanto el mapa como su inverso preservan la estructura deseada. [2] Para una variedad topológica, el espacio simple es un subconjunto de algún espacio euclidiano y el interés se centra en la estructura topológica. Esta estructura se preserva mediante homeomorfismos , mapas invertibles que son continuos en ambas direcciones.
En el caso de una variedad diferenciable, un conjunto de gráficos llamado atlas , cuyas funciones de transición (ver más abajo) son todas diferenciables, nos permite hacer cálculos sobre ella. Las coordenadas polares , por ejemplo, forman un gráfico para el plano menos el eje x positivo y el origen. Otro ejemplo de gráfico es el mapa χ top mencionado anteriormente, un gráfico para el círculo.
La descripción de la mayoría de las variedades requiere más de un gráfico. Una colección específica de gráficos que cubre una variedad se denomina atlas . Un atlas no es único, ya que todas las variedades se pueden cubrir de múltiples maneras utilizando diferentes combinaciones de gráficos. Se dice que dos atlas son equivalentes si su unión también es un atlas.
El atlas que contiene todos los gráficos posibles que son compatibles con un atlas dado se denomina atlas máximo (es decir, una clase de equivalencia que contiene ese atlas dado). A diferencia de un atlas ordinario, el atlas máximo de una variedad dada es único. Aunque es útil para las definiciones, es un objeto abstracto y no se utiliza directamente (por ejemplo, en los cálculos).
Los gráficos de un atlas pueden superponerse y un único punto de una variedad puede estar representado en varios gráficos. Si dos gráficos se superponen, partes de ellos representan la misma región de la variedad, de la misma manera que un mapa de Europa y un mapa de Rusia pueden contener a Moscú. Dados dos gráficos superpuestos, se puede definir una función de transición que va desde una esfera abierta en a la variedad y luego regresa a otra esfera abierta (o quizás la misma) en . El mapa resultante, como el mapa T en el ejemplo del círculo anterior, se llama cambio de coordenadas , transformación de coordenadas , función de transición o mapa de transición .
También se puede utilizar un atlas para definir una estructura adicional en la variedad. La estructura se define primero en cada gráfico por separado. Si todos los mapas de transición son compatibles con esta estructura, la estructura se transfiere a la variedad.
Esta es la forma estándar en que se definen las variedades diferenciables. Si las funciones de transición de un atlas para una variedad topológica conservan la estructura diferencial natural de (es decir, si son difeomorfismos ), la estructura diferencial se transfiere a la variedad y la convierte en una variedad diferenciable. Las variedades complejas se introducen de forma análoga al exigir que las funciones de transición de un atlas sean funciones holomorfas . Para las variedades simplécticas , las funciones de transición deben ser simplectomorfismos .
La estructura de la variedad depende del atlas, pero a veces se puede decir que diferentes atlas dan lugar a la misma estructura. Estos atlas se denominan compatibles .
Estas nociones se hacen precisas en general mediante el uso de pseudogrupos .
Una variedad con borde es una variedad con una arista. Por ejemplo, una hoja de papel es una 2-variedad con un borde unidimensional. El borde de una -variedad con borde es una -variedad. Un disco (círculo más interior) es una 2-variedad con borde. Su borde es un círculo, una 1-variedad . Un cuadrado con interior también es una 2-variedad con borde. Una bola (esfera más interior) es una 3-variedad con borde. Su borde es una esfera, una 2-variedad. (No confundir con Límite (topología) ).
En lenguaje técnico, una variedad con borde es un espacio que contiene tanto puntos interiores como puntos de borde. Cada punto interior tiene un entorno homeomorfo a la bola abierta . Cada punto de borde tiene un entorno homeomorfo a la "media" bola . Cualquier homeomorfismo entre medias bolas debe enviar puntos con a puntos con . Esta invariancia permite "definir" puntos de borde; véase el párrafo siguiente.
Sea una variedad con borde. El interior de , denotado , es el conjunto de puntos en los que tienen vecindades homeomorfas a un subconjunto abierto de . El borde de , denotado , es el complemento de en . Los puntos de borde se pueden caracterizar como aquellos puntos que se encuentran en el hiperplano de borde de bajo algún gráfico de coordenadas.
Si es una variedad con borde de dimensión , entonces es una variedad (sin borde) de dimensión y es una variedad (sin borde) de dimensión .
Una misma variedad se puede construir de distintas maneras, cada una enfatizando un aspecto diferente de la variedad, lo que conduce a un punto de vista ligeramente diferente.
Tal vez la forma más sencilla de construir una variedad sea la que se utilizó en el ejemplo anterior del círculo. Primero, se identifica un subconjunto de y luego se construye un atlas que lo cubra. El concepto de variedad surgió históricamente a partir de construcciones como esta. Aquí hay otro ejemplo, aplicando este método a la construcción de una esfera:
Una esfera puede tratarse casi de la misma manera que un círculo. En matemáticas, una esfera es simplemente la superficie (no el interior sólido), que puede definirse como un subconjunto de :
La esfera es bidimensional, por lo que cada gráfico asignará una parte de la esfera a un subconjunto abierto de . Consideremos el hemisferio norte, que es la parte con la coordenada z positiva (coloreada en rojo en la imagen de la derecha). La función χ definida por
mapea el hemisferio norte al disco unitario abierto proyectándolo sobre el plano ( x , y ). Existe un mapa similar para el hemisferio sur. Junto con dos mapas que proyectan sobre el plano ( x , z ) y dos mapas que proyectan sobre el plano ( y , z ), se obtiene un atlas de seis mapas que cubre toda la esfera.
Esto puede generalizarse fácilmente a esferas de dimensiones superiores.
Una variedad se puede construir pegando piezas de manera consistente, convirtiéndolas en gráficos superpuestos. Esta construcción es posible para cualquier variedad y, por lo tanto, se utiliza a menudo como caracterización, especialmente para variedades diferenciables y riemannianas. Se centra en un atlas, ya que los parches proporcionan gráficos de forma natural y, dado que no hay espacio exterior involucrado, conduce a una vista intrínseca de la variedad.
La variedad se construye especificando un atlas, que a su vez está definido por mapas de transición. Por lo tanto, un punto de la variedad es una clase de equivalencia de puntos que se asignan entre sí mediante mapas de transición. Los gráficos asignan clases de equivalencia a puntos de un único parche. Por lo general, existen fuertes demandas en cuanto a la consistencia de los mapas de transición. En el caso de las variedades topológicas, se requiere que sean homeomorfismos; si también son difeomorfismos, la variedad resultante es una variedad diferenciable.
Esto se puede ilustrar con el mapa de transición t = 1 ⁄ s de la segunda mitad del ejemplo del círculo. Comience con dos copias de la línea. Use la coordenada s para la primera copia y t para la segunda copia. Ahora, pegue ambas copias identificando el punto t en la segunda copia con el punto s = 1 ⁄ t en la primera copia (los puntos t = 0 y s = 0 no se identifican con ningún punto en la primera y segunda copia, respectivamente). Esto da un círculo.
La primera construcción y esta construcción son muy similares, pero representan puntos de vista bastante diferentes. En la primera construcción, la variedad se ve como inserta en algún espacio euclidiano. Esta es la visión extrínseca . Cuando una variedad se ve de esta manera, es fácil usar la intuición de los espacios euclidianos para definir una estructura adicional. Por ejemplo, en un espacio euclidiano, siempre está claro si un vector en algún punto es tangencial o normal a alguna superficie que pase por ese punto.
La construcción de patchwork no utiliza ninguna incrustación, sino que simplemente considera la variedad como un espacio topológico por sí misma. Este punto de vista abstracto se denomina vista intrínseca . Puede dificultar la imaginación de lo que podría ser un vector tangente, y no existe una noción intrínseca de un fibrado normal , sino que existe un fibrado normal estable intrínseco .
La n -esfera S n es una generalización de la idea de un círculo (1-esfera) y una esfera (2-esfera) a dimensiones superiores. Una n -esfera S n se puede construir pegando dos copias de . La función de transición entre ellas es la inversión en una esfera , definida como
Esta función es su propia inversa y, por lo tanto, se puede utilizar en ambas direcciones. Como la función de transición es una función suave , este atlas define una variedad suave. En el caso de n = 1, el ejemplo se simplifica al ejemplo del círculo dado anteriormente.
Es posible definir diferentes puntos de una variedad como el mismo punto. Esto se puede visualizar como pegar estos puntos juntos en un solo punto, formando un espacio cociente . Sin embargo, no hay razón para esperar que tales espacios cocientes sean variedades. Entre los posibles espacios cocientes que no son necesariamente variedades, se considera que los orbifolds y los complejos CW se comportan relativamente bien . Un ejemplo de un espacio cociente de una variedad que también es una variedad es el espacio proyectivo real , identificado como un espacio cociente de la esfera correspondiente.
Un método para identificar puntos (unirlos) es mediante una acción hacia la derecha (o hacia la izquierda) de un grupo , que actúa sobre la variedad. Dos puntos se identifican si uno es movido hacia el otro por algún elemento del grupo. Si M es la variedad y G es el grupo, el espacio cociente resultante se denota por M / G (o G \ M ).
Las variedades que se pueden construir identificando puntos incluyen toros y espacios proyectivos reales (comenzando con un plano y una esfera, respectivamente).
Dos variedades con límites se pueden unir mediante un límite. Si se hace correctamente, el resultado también es una variedad. De manera similar, se pueden unir mediante un límite dos variedades de una misma variedad.
Formalmente, la unión se define por una biyección entre los dos límites [ dudoso – discutir ] . Dos puntos se identifican cuando se proyectan uno sobre el otro. Para una variedad topológica, esta biyección debería ser un homeomorfismo, de lo contrario el resultado no será una variedad topológica. De manera similar, para una variedad diferenciable, tiene que ser un difeomorfismo. Para otras variedades, se deberían conservar otras estructuras.
Un cilindro finito puede construirse como una variedad comenzando con una tira [0,1] × [0,1] y pegando un par de bordes opuestos en el límite mediante un difeomorfismo adecuado. Un plano proyectivo puede obtenerse pegando una esfera con un agujero en ella a una tira de Möbius a lo largo de sus respectivos límites circulares.
El producto cartesiano de variedades es también una variedad.
La dimensión de la variedad producto es la suma de las dimensiones de sus factores. Su topología es la topología producto y un producto cartesiano de gráficos es un gráfico para la variedad producto. Por lo tanto, se puede construir un atlas para la variedad producto utilizando atlas para sus factores. Si estos atlas definen una estructura diferencial en los factores, el atlas correspondiente define una estructura diferencial en la variedad producto. Lo mismo es cierto para cualquier otra estructura definida en los factores. Si uno de los factores tiene un límite, la variedad producto también tiene un límite. Los productos cartesianos se pueden utilizar para construir toros y cilindros finitos , por ejemplo, como S 1 × S 1 y S 1 × [0,1], respectivamente.
El estudio de las variedades combina muchas áreas importantes de las matemáticas: generaliza conceptos como curvas y superficies, así como ideas del álgebra lineal y la topología.
Antes del concepto moderno de variedad hubo varios resultados importantes.
La geometría no euclidiana considera espacios en los que falla el postulado de las paralelas de Euclides . Saccheri estudió por primera vez tales geometrías en 1733, pero solo buscó refutarlas. Gauss , Bolyai y Lobachevsky las descubrieron de forma independiente 100 años después. Su investigación descubrió dos tipos de espacios cuyas estructuras geométricas difieren de la del espacio euclidiano clásico; estas dieron lugar a la geometría hiperbólica y la geometría elíptica . En la teoría moderna de variedades, estas nociones corresponden a las variedades de Riemann con curvatura negativa y positiva constante , respectivamente.
Carl Friedrich Gauss puede haber sido el primero en considerar los espacios abstractos como objetos matemáticos por derecho propio. Su teorema egregium proporciona un método para calcular la curvatura de una superficie sin considerar el espacio ambiente en el que se encuentra la superficie. Una superficie de este tipo, en la terminología moderna, se llamaría variedad; y en términos modernos, el teorema demostró que la curvatura de la superficie es una propiedad intrínseca . La teoría de variedades ha llegado a centrarse exclusivamente en estas propiedades intrínsecas (o invariantes), mientras que ignora en gran medida las propiedades extrínsecas del espacio ambiente.
Otro ejemplo, más topológico, de una propiedad intrínseca de una variedad es su característica de Euler . Leonhard Euler demostró que para un politopo convexo en el espacio euclidiano tridimensional con V vértices (o esquinas), E aristas y F caras, La misma fórmula se cumplirá si proyectamos los vértices y aristas del politopo sobre una esfera, creando una función topológica con V vértices, E aristas y F caras, y de hecho, seguirá siendo válida para cualquier función esférica, incluso si no surge de ninguna función convexa. [3] Por lo tanto, 2 es un invariante topológico de la esfera, llamado su característica de Euler . Por otro lado, un toro puede cortarse por sus círculos "paralelos" y "meridianos", creando una función con V = 1 vértice, E = 2 aristas y F = 1 cara. Por lo tanto, la característica de Euler del toro es 1 − 2 + 1 = 0. La característica de Euler de otras superficies es un invariante topológico útil , que puede extenderse a dimensiones superiores utilizando números de Betti . A mediados del siglo XIX, el teorema de Gauss-Bonnet vinculó la característica de Euler con la curvatura gaussiana .
Las investigaciones de Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacobi sobre la inversión de integrales elípticas en la primera mitad del siglo XIX los llevaron a considerar tipos especiales de variedades complejas, hoy conocidas como jacobianas . Bernhard Riemann contribuyó aún más a su teoría, aclarando el significado geométrico del proceso de continuación analítica de funciones de variables complejas.
Otra fuente importante de variedades en las matemáticas del siglo XIX fue la mecánica analítica , desarrollada por Siméon Poisson , Jacobi y William Rowan Hamilton . Se piensa que los estados posibles de un sistema mecánico son puntos de un espacio abstracto, el espacio de fases en los formalismos lagrangiano y hamiltoniano de la mecánica clásica. Este espacio es, de hecho, una variedad de alta dimensión, cuya dimensión corresponde a los grados de libertad del sistema y donde los puntos se especifican por sus coordenadas generalizadas . Para un movimiento sin restricciones de partículas libres, la variedad es equivalente al espacio euclidiano, pero varias leyes de conservación lo restringen a formaciones más complicadas, por ejemplo, los toros de Liouville. La teoría de un cuerpo sólido giratorio, desarrollada en el siglo XVIII por Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange , da otro ejemplo donde la variedad no es trivial. Los aspectos geométricos y topológicos de la mecánica clásica fueron enfatizados por Henri Poincaré , uno de los fundadores de la topología.
Riemann fue el primero en hacer un trabajo extenso generalizando la idea de una superficie a dimensiones superiores. El nombre variedad proviene del término alemán original de Riemann, Mannigfaltigkeit , que William Kingdon Clifford tradujo como "variedad". En su conferencia inaugural de Göttingen, Riemann describió el conjunto de todos los valores posibles de una variable con ciertas restricciones como una Mannigfaltigkeit , porque la variable puede tener muchos valores. Distingue entre stetige Mannigfaltigkeit y discrete Mannigfaltigkeit ( variedad continua y variedad discontinua ), dependiendo de si el valor cambia continuamente o no. Como ejemplos continuos, Riemann se refiere no solo a los colores y las ubicaciones de los objetos en el espacio, sino también a las posibles formas de una figura espacial. Utilizando la inducción , Riemann construye una Mannigfaltigkeit n-fach ausgedehnte ( variedad n veces extendida o variedad n-dimensional ) como una pila continua de variedades de (n−1) dimensiones. La noción intuitiva de Riemann de una Mannigfaltigkeit evolucionó hasta convertirse en lo que hoy se formaliza como variedad. Las variedades riemannianas y las superficies de Riemann reciben su nombre de Riemann.
En su influyente artículo Analysis Situs , [4] Henri Poincaré dio una definición de variedad diferenciable ( variété ) que sirvió como precursora del concepto moderno de variedad. [5]
En la primera sección de Analysis Situs, Poincaré define una variedad como el conjunto de niveles de una función continuamente diferenciable entre espacios euclidianos que satisface la hipótesis de no degeneración del teorema de la función implícita . En la tercera sección, comienza señalando que el gráfico de una función continuamente diferenciable es una variedad en este último sentido. A continuación, propone una nueva definición, más general, de variedad basada en una "cadena de variedades" ( une chaîne des variétés ).
La noción de cadena de variedades de Poincaré es precursora de la noción moderna de atlas. En particular, considera dos variedades definidas respectivamente como gráficos de funciones y . Si estas variedades se superponen ( a une partie commune ), entonces requiere que las coordenadas dependan continuamente de manera diferenciable de las coordenadas y viceversa (' ...les sont fonctions analytiques des et inversement '). De esta manera, introduce un precursor de la noción de gráfico y de mapa de transición.
Por ejemplo, el círculo unitario en el plano puede considerarse como el gráfico de la función o bien como la función en un entorno de cada punto excepto los puntos (1, 0) y (−1, 0); y en un entorno de esos puntos, puede considerarse como el gráfico de, respectivamente, y . El círculo puede representarse mediante un gráfico en el entorno de cada punto porque el lado izquierdo de su ecuación definitoria tiene un gradiente distinto de cero en cada punto del círculo. Por el teorema de la función implícita , cada subvariedad del espacio euclidiano es localmente el gráfico de una función.
Hermann Weyl dio una definición intrínseca de las variedades diferenciables en su curso sobre superficies de Riemann en 1911-1912, abriendo el camino al concepto general de espacio topológico que le siguió poco después. Durante la década de 1930, Hassler Whitney y otros aclararon los aspectos fundamentales del tema y, de este modo, las intuiciones que databan de la segunda mitad del siglo XIX se volvieron precisas y se desarrollaron a través de la geometría diferencial y la teoría de grupos de Lie . En particular, el teorema de incrustación de Whitney [6] mostró que la definición intrínseca en términos de gráficos era equivalente a la definición de Poincaré en términos de subconjuntos del espacio euclidiano.
Las variedades bidimensionales, también conocidas como superficies 2D incrustadas en nuestro espacio 3D común, fueron consideradas por Riemann bajo la apariencia de superficies de Riemann , y clasificadas rigurosamente a principios del siglo XX por Poul Heegaard y Max Dehn . Poincaré fue pionero en el estudio de las variedades tridimensionales y planteó una pregunta fundamental sobre ellas, hoy conocida como la conjetura de Poincaré . Después de casi un siglo, Grigori Perelman demostró la conjetura de Poincaré (véase la Solución de la conjetura de Poincaré ). El programa de geometrización de William Thurston , formulado en la década de 1970, proporcionó una extensión de largo alcance de la conjetura de Poincaré a las variedades tridimensionales generales. Las variedades de cuatro dimensiones fueron llevadas a la vanguardia de la investigación matemática en la década de 1980 por Michael Freedman y en un entorno diferente, por Simon Donaldson , quien fue motivado por el entonces reciente progreso en física teórica ( teoría de Yang-Mills ), donde sirven como un sustituto para el espacio-tiempo "plano" ordinario . Andrey Markov Jr. demostró en 1960 que no existe ningún algoritmo para clasificar las variedades de cuatro dimensiones. Trabajos importantes sobre variedades de dimensiones superiores, incluyendo análogos de la conjetura de Poincaré , habían sido realizados anteriormente por René Thom , John Milnor , Stephen Smale y Sergei Novikov . Una técnica muy generalizada y flexible que subyace a gran parte del trabajo sobre la topología de las variedades es la teoría de Morse .
El tipo de variedad más simple de definir es la variedad topológica, que se parece localmente a un espacio euclidiano "ordinario" . Por definición, todas las variedades son variedades topológicas, por lo que la frase "variedad topológica" se usa generalmente para enfatizar que una variedad carece de estructura adicional, o que solo se están considerando sus propiedades topológicas. Formalmente, una variedad topológica es un espacio topológico localmente homeomorfo a un espacio euclidiano. Esto significa que cada punto tiene un entorno para el cual existe un homeomorfismo (una función continua biyectiva cuya inversa también es continua) que mapea ese entorno a . Estos homeomorfismos son los gráficos de la variedad.
Una variedad topológica se parece localmente a un espacio euclidiano de una manera bastante débil: mientras que para cada gráfico individual es posible distinguir funciones diferenciables o medir distancias y ángulos, simplemente en virtud de ser una variedad topológica un espacio no tiene ninguna elección particular y consistente de tales conceptos. [7] Para discutir tales propiedades para una variedad, uno necesita especificar una estructura adicional y considerar las variedades diferenciables y las variedades riemannianas discutidas a continuación. En particular, la misma variedad topológica subyacente puede tener varias clases mutuamente incompatibles de funciones diferenciables y un número infinito de formas de especificar distancias y ángulos.
Generalmente se hacen suposiciones técnicas adicionales sobre el espacio topológico para excluir casos patológicos. Es habitual exigir que el espacio sea de Hausdorff y segundo numerable .
La dimensión de la variedad en un punto determinado es la dimensión del espacio euclidiano al que se corresponden las gráficas en ese punto (número n en la definición). Todos los puntos de una variedad conexa tienen la misma dimensión. Algunos autores exigen que todas las gráficas de una variedad topológica correspondan a espacios euclidianos de la misma dimensión. En ese caso, cada variedad topológica tiene un invariante topológico, su dimensión.
Para la mayoría de las aplicaciones, se utiliza un tipo especial de variedad topológica, a saber, una variedad diferenciable . Si los gráficos locales de una variedad son compatibles en cierto sentido, se pueden definir direcciones, espacios tangentes y funciones diferenciables en esa variedad. En particular, es posible utilizar el cálculo en una variedad diferenciable. Cada punto de una variedad diferenciable n -dimensional tiene un espacio tangente . Este es un espacio euclidiano n -dimensional que consiste en los vectores tangentes de las curvas que pasan por el punto.
Dos clases importantes de variedades diferenciables son las variedades suaves y analíticas . En el caso de las variedades suaves, las funciones de transición son suaves, es decir, infinitamente diferenciables. Las variedades analíticas son variedades suaves con la condición adicional de que las funciones de transición sean analíticas (se pueden expresar como series de potencias ). A la esfera se le puede dar una estructura analítica, al igual que a la mayoría de las curvas y superficies conocidas.
Un conjunto rectificable generaliza la idea de una curva suave o rectificable por partes a dimensiones superiores; sin embargo, los conjuntos rectificables no son, en general, variedades.
Para medir distancias y ángulos en variedades, la variedad debe ser riemanniana. Una variedad riemanniana es una variedad diferenciable en la que cada espacio tangente está equipado con un producto interno de manera que varía suavemente de un punto a otro. Dados dos vectores tangentes y , el producto interno da un número real. El producto escalar (o punto) es un ejemplo típico de un producto interno. Esto permite definir varias nociones como longitud, ángulos , áreas (o volúmenes ), curvatura y divergencia de campos vectoriales .
A todas las variedades diferenciables (de dimensión constante) se les puede dar la estructura de una variedad de Riemann. El propio espacio euclidiano tiene una estructura natural de variedad de Riemann (los espacios tangentes se identifican naturalmente con el propio espacio euclidiano y tienen el producto escalar estándar del espacio). Muchas curvas y superficies conocidas, incluidas, por ejemplo, todas las n -esferas, se especifican como subespacios de un espacio euclidiano y heredan una métrica de su inserción en él.
Una variedad de Finsler permite definir la distancia pero no requiere el concepto de ángulo; es una variedad analítica en la que cada espacio tangente está dotado de una norma , de manera que varía suavemente de un punto a otro. Esta norma se puede extender a una métrica , que define la longitud de una curva; pero en general no se puede utilizar para definir un producto interno.
Cualquier variedad de Riemann es una variedad de Finsler.
Los grupos de Lie , llamados así por Sophus Lie , son variedades diferenciables que llevan también la estructura de un grupo que es tal que las operaciones del grupo están definidas por mapas suaves.
Un espacio vectorial euclidiano con la operación de grupo de la suma de vectores es un ejemplo de un grupo de Lie no compacto. Un ejemplo simple de un grupo de Lie compacto es el círculo: la operación de grupo es simplemente la rotación. Este grupo, conocido como , también se puede caracterizar como el grupo de números complejos de módulo 1 con la multiplicación como operación de grupo.
Otros ejemplos de grupos de Lie incluyen grupos especiales de matrices , que son todos subgrupos del grupo lineal general , el grupo de matrices con determinante distinto de cero. Si las entradas de la matriz son números reales , esta será una variedad desconectada -dimensional. Los grupos ortogonales , los grupos de simetría de la esfera y las hiperesferas , son variedades dimensionales, donde es la dimensión de la esfera. Se pueden encontrar más ejemplos en la tabla de grupos de Lie .
Diferentes nociones de variedades tienen diferentes nociones de clasificación e invariante; en esta sección nos centramos en variedades cerradas suaves.
La clasificación de las variedades cerradas suaves se entiende bien en principio , excepto en la dimensión 4 : en dimensiones bajas (2 y 3) es geométrica, a través del teorema de uniformización y la solución de la conjetura de Poincaré , y en dimensiones altas (5 y superiores) es algebraica, a través de la teoría de la cirugía . Esta es una clasificación en principio: la cuestión general de si dos variedades suaves son difeomorfas no es computable en general. Además, los cálculos específicos siguen siendo difíciles y hay muchas preguntas abiertas.
Las superficies orientables se pueden visualizar y enumerar sus clases de difeomorfismo por género. Dadas dos superficies orientables, se puede determinar si son difeomorfas calculando sus respectivos géneros y comparándolos: son difeomorfas si y solo si los géneros son iguales, por lo que el género forma un conjunto completo de invariantes .
Esto es mucho más difícil en dimensiones superiores: las variedades de dimensiones superiores no se pueden visualizar directamente (aunque la intuición visual es útil para comprenderlas), ni se pueden enumerar sus clases de difeomorfismo, ni se puede determinar en general si dos descripciones diferentes de una variedad de dimensiones superiores se refieren al mismo objeto.
Sin embargo, se puede determinar si dos variedades son diferentes si existe alguna característica intrínseca que las diferencie. Estos criterios se conocen comúnmente como invariantes , porque, si bien pueden definirse en términos de alguna presentación (como el género en términos de una triangulación), son los mismos en relación con todas las descripciones posibles de una variedad particular: son invariantes bajo diferentes descripciones.
Se podría esperar desarrollar un arsenal de criterios invariantes que clasificarían definitivamente todas las variedades hasta el isomorfismo. Se sabe que para variedades de dimensión 4 y superior, no existe ningún programa que pueda decidir si dos variedades son difeomórficas.
Las variedades suaves tienen un conjunto rico de invariantes , provenientes de la topología de conjuntos puntuales , la topología algebraica clásica y la topología geométrica . Los invariantes más conocidos, que son visibles para las superficies, son la orientabilidad (un invariante normal, también detectado por homología ) y el género (un invariante homológico).
Las variedades cerradas suaves no tienen invariantes locales (excepto la dimensión), aunque las variedades geométricas tienen invariantes locales, en particular la curvatura de una variedad de Riemann y la torsión de una variedad equipada con una conexión afín . Esta distinción entre invariantes locales y no invariantes locales es una forma común de distinguir entre geometría y topología . Por lo tanto, todos los invariantes de una variedad cerrada suave son globales.
La topología algebraica es fuente de varias propiedades invariantes globales importantes. Algunos criterios clave incluyen la propiedad simplemente conexa y la orientabilidad (véase más adelante). De hecho, varias ramas de las matemáticas, como la teoría de homología y homotopía , y la teoría de clases características se fundaron para estudiar las propiedades invariantes de las variedades.
En dimensiones dos y superiores, un criterio invariante simple pero importante es la cuestión de si una variedad admite una orientación significativa. Consideremos una variedad topológica con gráficos que mapean a . Dada una base ordenada para , un gráfico hace que su parte de la variedad adquiera por sí misma un sentido de orden, que en 3 dimensiones puede verse como dextrógiro o levógiro. No se requiere que los gráficos superpuestos concuerden en su sentido de orden, lo que da a las variedades una importante libertad. Para algunas variedades, como la esfera, los gráficos pueden elegirse de modo que las regiones superpuestas concuerden en su "lateralidad"; estas son variedades orientables . Para otras, esto es imposible. La última posibilidad es fácil de pasar por alto, porque cualquier superficie cerrada incrustada (sin autointersección) en el espacio tridimensional es orientable.
Algunos ejemplos ilustrativos de variedades no orientables incluyen: (1) la banda de Möbius , que es una variedad con borde, (2) la botella de Klein , que debe intersecarse a sí misma en su representación tridimensional, y (3) el plano proyectivo real , que surge naturalmente en geometría.
Comience con un cilindro circular infinito colocado verticalmente, una variedad sin límite. Córtelo en dos partes, hacia arriba y hacia abajo, para producir dos límites circulares y la tira cilíndrica entre ellos. Esta es una variedad orientable con límite, sobre la que se realizará una "cirugía". Corte la tira para que pueda desenrollarse y convertirse en un rectángulo, pero sujete los extremos cortados. Gire un extremo 180°, haciendo que la superficie interna mire hacia afuera, y vuelva a pegar los extremos sin costuras. Esto da como resultado una tira con una media torsión permanente: la banda de Möbius. Su límite ya no es un par de círculos, sino (topológicamente) un solo círculo; y lo que alguna vez fue su "interior" se ha fusionado con su "exterior", de modo que ahora tiene un solo lado. De manera similar a la botella de Klein que se muestra a continuación, esta superficie bidimensional necesitaría intersecarse a sí misma en dos dimensiones, pero se puede construir fácilmente en tres o más dimensiones.
Tomemos dos cintas de Möbius; cada una tiene un único bucle como límite. Enderece esos bucles en círculos y deje que las cintas se distorsionen en tapas cruzadas . Al pegar los círculos se producirá una nueva variedad cerrada sin límite, la botella de Klein. Cerrar la superficie no hace nada para mejorar la falta de orientabilidad, simplemente elimina el límite. Por lo tanto, la botella de Klein es una superficie cerrada sin distinción entre el interior y el exterior. En el espacio tridimensional, la superficie de una botella de Klein debe pasar a través de sí misma. Construir una botella de Klein que no se intersecte consigo misma requiere cuatro o más dimensiones de espacio.
Comience con una esfera centrada en el origen. Cada línea que pasa por el origen atraviesa la esfera en dos puntos opuestos llamados antípodas . Aunque no hay forma de hacerlo físicamente, es posible (considerando un espacio cociente ) fusionar matemáticamente cada par de antípodas en un único punto. La superficie cerrada así producida es el plano proyectivo real, otra superficie no orientable. Tiene varias descripciones y construcciones equivalentes, pero esta ruta explica su nombre: todos los puntos de cualquier línea dada que pase por el origen se proyectan al mismo "punto" en este "plano".
En el caso de variedades bidimensionales, una propiedad invariante clave es el género o "número de asas" presentes en una superficie. Un toro es una esfera con un asa, un toro doble es una esfera con dos asas, y así sucesivamente. De hecho, es posible caracterizar completamente las variedades compactas bidimensionales basándose en el género y la orientabilidad. En variedades de dimensiones superiores, el género se reemplaza por la noción de característica de Euler y, de manera más general, por los números de Betti y por la homología y la cohomología .
Así como hay varios tipos de variedades, hay varios tipos de aplicaciones de variedades . Además de las funciones continuas y las funciones suaves en general, hay aplicaciones con propiedades especiales. En topología geométrica , un tipo básico son las incrustaciones , de las cuales la teoría de nudos es un ejemplo central, y generalizaciones como inmersiones , sumersiones , espacios de recubrimiento y espacios de recubrimiento ramificados . Los resultados básicos incluyen el teorema de incrustación de Whitney y el teorema de inmersión de Whitney .
En geometría de Riemann, se pueden pedir mapas que preserven la métrica de Riemann, lo que conduce a nociones de incrustaciones isométricas , inmersiones isométricas y sumersiones de Riemann ; un resultado básico es el teorema de incrustación de Nash .
Un ejemplo básico de mapas entre variedades son las funciones con valores escalares en una variedad, o
A veces se las denomina funciones regulares o funcionales , por analogía con la geometría algebraica o el álgebra lineal. Son de interés tanto por sí mismas como para estudiar la variedad subyacente.
En topología geométrica, las funciones de Morse que se estudian con más frecuencia son las que producen descomposiciones de cuerpos de manijas , mientras que en análisis matemático , a menudo se estudian soluciones a ecuaciones diferenciales parciales , un ejemplo importante de las cuales es el análisis armónico , donde se estudian funciones armónicas : el núcleo del operador de Laplace . Esto conduce a funciones como los armónicos esféricos y a métodos de núcleo de calor para estudiar variedades, como escuchar la forma de un tambor y algunas demostraciones del teorema del índice de Atiyah-Singer .
![{\displaystyle {\begin{aligned}T(a)&=\chi _{\mathrm {derecha} }\left(\chi _{\mathrm {arriba} }^{-1}\left[a\right]\right)\\&=\chi _{\mathrm {derecha} }\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)\\&={\sqrt {1-a^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ce5573c9fdbffd539c2d9a9f80fdd33ca68ae3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}\\[5pt]y&={\frac {2s}{1+s^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f08d1a41825c29ff1f55d16dae15784d549e8179)
