Curva

Idealización matemática de la huella dejada por un punto en movimiento

Una parábola , una de las curvas más simples, después de las líneas (rectas)

En matemáticas , una curva (también llamada línea curva en textos más antiguos) es un objeto similar a una línea , pero que no tiene por qué ser recto .

Intuitivamente, una curva puede ser considerada como la huella que deja un punto en movimiento . Esta es la definición que apareció hace más de 2000 años en los Elementos de Euclides : “La línea [curva] ^[a] es […] la primera especie de cantidad, que tiene una sola dimensión, a saber, la longitud, sin anchura ni profundidad, y no es otra cosa que el flujo o recorrido del punto que […] dejará de su movimiento imaginario algún vestigio en longitud, exento de anchura alguna.” ^[1]

Esta definición de curva se ha formalizado en las matemáticas modernas como: Una curva es la imagen de un intervalo a un espacio topológico por una función continua . En algunos contextos, la función que define la curva se llama parametrización , y la curva es una curva paramétrica . En este artículo, estas curvas a veces se denominan curvas topológicas para distinguirlas de curvas más restringidas, como las curvas diferenciables . Esta definición abarca la mayoría de las curvas que se estudian en matemáticas; las excepciones notables son las curvas de nivel (que son uniones de curvas y puntos aislados) y las curvas algebraicas (ver más abajo). Las curvas de nivel y las curvas algebraicas a veces se denominan curvas implícitas , ya que generalmente se definen mediante ecuaciones implícitas .

Sin embargo, la clase de curvas topológicas es muy amplia y contiene algunas curvas que no tienen el aspecto que se esperaría de una curva, o incluso que no se pueden dibujar. Este es el caso de las curvas que rellenan el espacio y las curvas fractales . Para garantizar una mayor regularidad, a menudo se supone que la función que define una curva es diferenciable , y entonces se dice que la curva es una curva diferenciable .

Una curva algebraica plana es el conjunto cero de un polinomio en dos indeterminados . De manera más general, una curva algebraica es el conjunto cero de un conjunto finito de polinomios, que satisface la condición adicional de ser una variedad algebraica de dimensión uno. Si los coeficientes de los polinomios pertenecen a un cuerpo k , se dice que la curva está definida sobre k . En el caso común de una curva algebraica real , donde k es el cuerpo de números reales , una curva algebraica es una unión finita de curvas topológicas. Cuando se consideran ceros complejos , se tiene una curva algebraica compleja , que, desde el punto de vista topológico , no es una curva, sino una superficie , y a menudo se denomina superficie de Riemann . Aunque no son curvas en el sentido común, las curvas algebraicas definidas sobre otros cuerpos han sido ampliamente estudiadas. En particular, las curvas algebraicas sobre un cuerpo finito se utilizan ampliamente en la criptografía moderna .

Historia

Arte megalítico de Newgrange que muestra un interés temprano por las curvas

El interés por las curvas comenzó mucho antes de que fueran objeto de estudio matemático. Esto se puede ver en numerosos ejemplos de su uso decorativo en el arte y en objetos cotidianos que datan de tiempos prehistóricos. ^[2] Las curvas, o al menos sus representaciones gráficas, son fáciles de crear, por ejemplo, con un palo sobre la arena de una playa.

Históricamente, el término línea se utilizaba en lugar del término más moderno curva . Por lo tanto, los términos línea recta y línea recta se utilizaban para distinguir lo que hoy se llama líneas de las líneas curvas. Por ejemplo, en el Libro I de los Elementos de Euclides , una línea se define como una "longitud sin anchura" (Def. 2), mientras que una línea recta se define como "una línea que se encuentra uniformemente con los puntos sobre sí misma" (Def. 4). La idea de Euclides de una línea se aclara quizás con la afirmación "Los extremos de una línea son puntos" (Def. 3). ^[3] Los comentaristas posteriores clasificaron aún más las líneas según varios esquemas. Por ejemplo: ^[4]

• Líneas compuestas (líneas que forman un ángulo)
• Líneas incompuestas
  • Determinadas (líneas que no se extienden indefinidamente, como el círculo)
  • Indeterminadas (líneas que se extienden indefinidamente, como la línea recta y la parábola)

Las curvas creadas al cortar un cono ( secciones cónicas ) estaban entre las curvas estudiadas en las matemáticas griegas antiguas .

Los geómetras griegos habían estudiado muchos otros tipos de curvas. Una de las razones era su interés en resolver problemas geométricos que no se podían resolver con la construcción estándar con regla y compás . Estas curvas incluyen:

• Las secciones cónicas, estudiadas en profundidad por Apolonio de Perge
• La cisoide de Diocles , estudiada por Diocles y utilizada como método para duplicar el cubo . ^[5]
• La concoide de Nicomedes , estudiada por Nicomedes como método tanto para duplicar el cubo como para trisecar un ángulo . ^[6]
• La espiral de Arquímedes , estudiada por Arquímedes como método para trisecar un ángulo y cuadrar el círculo . ^[7]
• Las secciones espíricas , secciones de toros estudiadas por Perseo como secciones de conos habían sido estudiadas por Apolonio.

La geometría analítica permitió definir curvas, como el Folium de Descartes , mediante ecuaciones en lugar de construcciones geométricas.

Un avance fundamental en la teoría de curvas fue la introducción de la geometría analítica por René Descartes en el siglo XVII. Esto permitió que una curva se describiera utilizando una ecuación en lugar de una construcción geométrica elaborada. Esto no solo permitió que se definieran y estudiaran nuevas curvas, sino que también permitió que se hiciera una distinción formal entre curvas algebraicas que se pueden definir utilizando ecuaciones polinómicas y curvas trascendentales que no se pueden definir. Anteriormente, las curvas se habían descrito como "geométricas" o "mecánicas" según cómo se generaban, o supuestamente se podían generar. ^[2]

Las secciones cónicas fueron aplicadas en astronomía por Kepler . Newton también trabajó en un ejemplo temprano en el cálculo de variaciones . Las soluciones a los problemas variacionales, como las cuestiones de la braquistócrona y la tautocrona , introdujeron propiedades de las curvas de nuevas maneras (en este caso, la cicloide ). La catenaria recibe su nombre como la solución al problema de una cadena colgante, el tipo de cuestión que se volvió accesible de manera rutinaria por medio del cálculo diferencial .

En el siglo XVIII se iniciaron los trabajos de teoría de las curvas algebraicas planas en general. Newton había estudiado las curvas cúbicas , en la descripción general de los puntos reales en "óvalos". El enunciado del teorema de Bézout mostraba una serie de aspectos que no eran directamente accesibles a la geometría de la época, relacionados con los puntos singulares y las soluciones complejas.

Desde el siglo XIX, la teoría de curvas se considera el caso especial de dimensión uno de la teoría de variedades y variedades algebraicas . Sin embargo, muchas cuestiones siguen siendo específicas de las curvas, como las curvas que llenan el espacio , el teorema de la curva de Jordan y el problema dieciséis de Hilbert .

Curva topológica

Una curva topológica puede especificarse mediante una función continua de un intervalo I de los números reales en un espacio topológico X. Propiamente hablando, la curva es la imagen de Sin embargo, en algunos contextos, a sí misma se le llama curva, especialmente cuando la imagen no se parece a lo que generalmente se llama una curva y no caracteriza suficientemente ${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$ ${\displaystyle \gamma .}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma .}$

Por ejemplo, la imagen de la curva de Peano o, más generalmente, una curva que llena el espacio, llena completamente un cuadrado y, por lo tanto, no proporciona ninguna información sobre cómo se define. ${\displaystyle \gamma }$

Una curva es cerrada ^[b] o es un bucle si y . Por lo tanto, una curva cerrada es la imagen de una aplicación continua de un círculo . Una curva no cerrada también puede denominarse curva abierta . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)}$

Si el dominio de una curva topológica es un intervalo cerrado y acotado , la curva se denomina trayectoria , también conocida como arco topológico (o simplemente ${\displaystyle I=[a,b]}$arco ).

Una curva es simple si es la imagen de un intervalo o de un círculo por una función continua inyectiva . En otras palabras, si una curva está definida por una función continua con un intervalo como dominio, la curva es simple si y sólo si dos puntos diferentes del intervalo tienen imágenes diferentes, excepto, posiblemente, si los puntos son los puntos finales del intervalo. Intuitivamente, una curva simple es una curva que "no se cruza consigo misma y no tiene puntos faltantes" (una curva continua que no se interseca consigo misma). ^[8] ${\displaystyle \gamma }$

Una curva plana es una curva cuyo plano es el plano euclidiano (estos son los primeros ejemplos que encontramos) o en algunos casos el plano proyectivo . ${\displaystyle X}$Una curva espacial es una curva que es al menos tridimensional; una curva oblicua ${\displaystyle X}$ es una curva espacial que no se encuentra en ningún plano. Estas definiciones de curvas planas, espaciales y oblicuas se aplican también a las curvas algebraicas reales , aunque la definición anterior de curva no se aplica (una curva algebraica real puede estar desconectada ).

Una curva de dragón con un área positiva.

Una curva cerrada simple plana también se denomina curva de Jordan . También se define como un bucle continuo no autointersecante en el plano. ^[9] El teorema de la curva de Jordan establece que el complemento de conjunto en un plano de una curva de Jordan consta de dos componentes conectados (es decir, la curva divide el plano en dos regiones no intersecantes que están conectadas). La región acotada dentro de una curva de Jordan se conoce como dominio de Jordan .

La definición de curva incluye figuras que difícilmente pueden llamarse curvas en el uso común. Por ejemplo, la imagen de una curva puede cubrir un cuadrado en el plano ( curva que llena el espacio ), y una curva simple puede tener un área positiva. ^[10] Las curvas fractales pueden tener propiedades que son extrañas para el sentido común. Por ejemplo, una curva fractal puede tener una dimensión de Hausdorff mayor que uno (ver Copo de nieve de Koch ) e incluso un área positiva. Un ejemplo es la curva del dragón , que tiene muchas otras propiedades inusuales.

Curva diferenciable

En términos generales, una curva diferenciable es una curva que se define como la imagen local de una función diferenciable inyectiva de un intervalo I de números reales en una variedad diferenciable X , a menudo ${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Más precisamente, una curva diferenciable es un subconjunto C de X donde cada punto de C tiene un vecindario U tal que es difeomorfo a un intervalo de los números reales. ^{[ aclaración necesaria ]} En otras palabras, una curva diferenciable es una variedad diferenciable de dimensión uno. ${\displaystyle C\cap U}$

Arco diferenciable

En geometría euclidiana , un arco (símbolo: ⌒ ) es un subconjunto conexo de una curva diferenciable .

Los arcos de líneas se denominan segmentos , rayos o líneas , dependiendo de cómo estén delimitados.

Un ejemplo de curva común es un arco de círculo , llamado arco circular .

En una esfera (o un esferoide ), un arco de un círculo máximo (o una elipse máxima ) se llama arco máximo .

Longitud de una curva

Si es el espacio euclidiano -dimensional, y si es una función inyectiva y continuamente diferenciable, entonces la longitud de se define como la cantidad ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.}$

La longitud de una curva es independiente de la parametrización . ${\displaystyle \gamma }$

En particular, la longitud de la gráfica de una función continuamente diferenciable definida en un intervalo cerrado es ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x},}$

lo cual puede considerarse intuitivamente como el uso del teorema de Pitágoras en la escala infinitesimal de forma continua a lo largo de toda la longitud de la curva. ^[11]

De manera más general, si es un espacio métrico con métrica , entonces podemos definir la longitud de una curva mediante ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\},}$

donde el supremo se toma sobre todo y todas las particiones de . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Una curva rectificable es una curva con longitud finita. Una curva se llama natural (o de velocidad unitaria o parametrizada por longitud de arco) si para cualquier curva tal que , tenemos ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in [a,b]}$ ${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Length} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.}$

Si es una función Lipschitz-continua , entonces es automáticamente rectificable. Además, en este caso, se puede definir la velocidad (o derivada métrica ) de at como ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t\in [a,b]}$

${\displaystyle {\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}}$

y luego demostrar que

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.}$

Geometría diferencial

Si bien los primeros ejemplos de curvas que se encuentran son en su mayoría curvas planas (es decir, en términos cotidianos, líneas curvas en el espacio bidimensional ), existen ejemplos obvios como la hélice que existe de manera natural en tres dimensiones. Las necesidades de la geometría, y también por ejemplo de la mecánica clásica, son tener una noción de curva en el espacio de cualquier número de dimensiones. En la relatividad general , una línea del universo es una curva en el espacio-tiempo .

Si es una variedad diferenciable , entonces podemos definir la noción de curva diferenciable en . Esta idea general es suficiente para cubrir muchas de las aplicaciones de las curvas en matemáticas. Desde un punto de vista local, se puede tomar como espacio euclidiano. Por otro lado, es útil ser más general, en el sentido de que (por ejemplo) es posible definir los vectores tangentes a mediante esta noción de curva. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Si es una variedad suave , una curva suave en es un mapa suave ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$.

Esta es una noción básica. También hay ideas menos y más restringidas. Si es una variedad (es decir, una variedad cuyos gráficos son 100 veces continuamente diferenciables ), entonces una curva en es una curva que solo se supone que es (es decir, 100 veces continuamente diferenciable). Si es una variedad analítica (es decir, infinitamente diferenciable y los gráficos se pueden expresar como series de potencias ), y es una función analítica, entonces se dice que es una curva analítica . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Se dice que una curva diferenciable esregular si suderivadanunca se anula. (En palabras, una curva regular nunca se detiene ni retrocede sobre sí misma). Doscurvas diferenciables ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle \gamma _{1}\colon I\rightarrow X}$y

${\displaystyle \gamma _{2}\colon J\rightarrow X}$

Se dice que son equivalentes si existe una función biyectiva . ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle p\colon J\rightarrow I}$

de manera que la función inversa

${\displaystyle p^{-1}\colon I\rightarrow J}$

es también , y ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))}$

para todos . La función se denomina reparametrización de ; y esto establece una relación de equivalencia en el conjunto de todas las curvas diferenciables en . Un arco es una clase de equivalencia de curvas bajo la relación de reparametrización. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Curva algebraica

Las curvas algebraicas son las curvas consideradas en geometría algebraica . Una curva algebraica plana es el conjunto de los puntos de coordenadas x , y tales que f ( x , y ) = 0 , donde f es un polinomio de dos variables definido sobre algún cuerpo F . Se dice que la curva está definida sobre F . La geometría algebraica normalmente considera no sólo los puntos con coordenadas en F sino todos los puntos con coordenadas en un cuerpo algebraicamente cerrado K .

Si C es una curva definida por un polinomio f con coeficientes en F , se dice que la curva está definida sobre F .

En el caso de una curva definida sobre los números reales , normalmente se consideran puntos con coordenadas complejas . En este caso, un punto con coordenadas reales es un punto real , y el conjunto de todos los puntos reales es la parte real de la curva. Por tanto, sólo la parte real de una curva algebraica puede ser una curva topológica (no siempre es así, ya que la parte real de una curva algebraica puede estar desconectada y contener puntos aislados). La curva completa, es decir, el conjunto de sus puntos complejos, es, desde el punto de vista topológico, una superficie. En particular, las curvas algebraicas proyectivas complejas no singulares se denominan superficies de Riemann .

Los puntos de una curva C con coordenadas en un cuerpo G se dice que son racionales sobre G y pueden denotarse C ( G ) . Cuando G es el cuerpo de los números racionales , se habla simplemente de puntos racionales . Por ejemplo, el último teorema de Fermat puede reformularse como: Para n > 2 , cada punto racional de la curva de Fermat de grado n tiene una coordenada cero .

Las curvas algebraicas también pueden ser curvas espaciales, o curvas en un espacio de dimensión superior, digamos n . Se definen como variedades algebraicas de dimensión uno. Pueden obtenerse como soluciones comunes de al menos n –1 ecuaciones polinómicas en n variables. Si n –1 polinomios son suficientes para definir una curva en un espacio de dimensión n , se dice que la curva es una intersección completa . Al eliminar variables (mediante cualquier herramienta de la teoría de eliminación ), una curva algebraica puede proyectarse sobre una curva algebraica plana , que sin embargo puede introducir nuevas singularidades como cúspides o puntos dobles .

Una curva plana también puede completarse hasta una curva en el plano proyectivo : si una curva está definida por un polinomio f de grado total d , entonces w ^d f ( u / w , v / w ) se simplifica hasta un polinomio homogéneo g ( u , v , w ) de grado d . Los valores de u , v , w tales que g ( u , v , w ) = 0 son las coordenadas homogéneas de los puntos de compleción de la curva en el plano proyectivo y los puntos de la curva inicial son aquellos tales que w no es cero. Un ejemplo es la curva de Fermat u ⁿ + v ⁿ = w ⁿ , que tiene una forma afín x ⁿ + y ⁿ = 1. Un proceso similar de homogeneización puede definirse para curvas en espacios de dimensiones superiores.

A excepción de las líneas , los ejemplos más simples de curvas algebraicas son las cónicas , que son curvas no singulares de grado dos y género cero. Las curvas elípticas , que son curvas no singulares de género uno, se estudian en la teoría de números y tienen importantes aplicaciones en la criptografía .

Véase también

• Curva de coordenadas
• Arco arrugado
• Ajuste de curvas
• Orientación de la curva
• Dibujo de curvas
• Geometría diferencial de curvas
• Galería de curvas
• Índice de la curva
• Lista de temas de curvas
• Lista de curvas
• Círculo osculador
• Superficie paramétrica
• Ruta (topología)
• Curva poligonal
• Vector de posición
• Función con valores vectoriales
  • Función vectorial de dimensión infinita
• Número de bobinado

Notas

1. En el uso matemático actual, una línea es una recta. Antes, las líneas podían ser curvas o rectas.
2. Este término puede ser ambiguo, ya que una curva no cerrada puede ser un conjunto cerrado , como lo es una línea en un plano.

Referencias

1. En francés (bastante antiguo): "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel [ …] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, except de toute latitude." Páginas 7 y 8 de Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demostrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions , de Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645) .
2. Lockwood pág. ix
3. Heath pág. 153
4. Heath pág. 160
5. Lockwood pág. 132
6. Lockwood pág. 129
7. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Espiral de Arquímedes", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , Universidad de St Andrews
8. "Definición de arco de Jordan en Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc". Dictionary.reference.com . Consultado el 14 de marzo de 2012 .
9. Sulovský, Marek (2012). Profundidad, cruces y conflictos en geometría discreta. Logos Verlag Berlin GmbH. pág. 7. ISBN 9783832531195.
10. Osgood, William F. (enero de 1903). "Una curva de Jordan de área positiva". Transacciones de la American Mathematical Society . 4 (1). American Mathematical Society : 107–112. doi : 10.2307/1986455 . ISSN  0002-9947. JSTOR  1986455.
11. Davis, Ellery W.; Brenke, William C. (1913). El cálculo. MacMillan Company. pág. 108. ISBN 9781145891982.

• AS Parkhomenko (2001) [1994], "Línea (curva)", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• BI Golubov (2001) [1994], "Curva rectificable", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Euclides , comentario y traducción de TL Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books
• EH Lockwood Un libro de curvas (1961 Cambridge)

Enlaces externos

• Índice de curvas famosas, Facultad de Matemáticas y Estadística, Universidad de St Andrews, Escocia
• Curvas matemáticas Una colección de 874 curvas matemáticas bidimensionales
• Galería de curvas espaciales creadas a partir de círculos, incluye animaciones de Peter Moses
• Galería de curvas de Bishop y otras curvas esféricas, incluye animaciones de Peter Moses
• Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas sobre líneas.
• La página del Atlas de Variedades sobre 1-variedades.