Folio de Descartes

Curva algebraica de la forma x³ + y³ – 3axy = 0

El folio de Descartes (verde) con asíntota (azul) cuando ${\displaystyle a=1}$

En geometría , el folium de Descartes (del latín folium  ' hoja '; llamado así por René Descartes ) es una curva algebraica definida por la ecuación implícita $${\displaystyle x^{3}+y^{3}-3axy=0.}$$

Historia

La curva fue propuesta y estudiada por primera vez por René Descartes en 1638. ^[1] Su fama se debe a un incidente en el desarrollo del cálculo . Descartes desafió a Pierre de Fermat a encontrar la línea tangente a la curva en un punto arbitrario, ya que Fermat había descubierto recientemente un método para encontrar líneas tangentes. Fermat resolvió el problema fácilmente, algo que Descartes no pudo hacer. ^[2] Desde la invención del cálculo, la pendiente de la línea tangente se puede encontrar fácilmente utilizando la diferenciación implícita . ^[3]

Graficando la curva

Folio de Descartes en coordenadas polares

El folio de Descartes se puede expresar en coordenadas polares como se muestra en el gráfico de la izquierda. Esto es equivalente a ^[4] $${\displaystyle r={\frac {3a\sin \theta \cos \theta }{\sin ^{3}\theta +\cos ^{3}\theta }},}$$

${\displaystyle r={\frac {3a\sec \theta \tan \theta }{1+\tan ^{3}\theta }}.}$

Otra técnica consiste en escribir y resolver para y en términos de . Esto produce las ecuaciones paramétricas racionales : ^[5] ${\displaystyle y=px}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle x={{3ap} \over {1+p^{3}}},\,y={{3ap^{2}} \over {1+p^{3}}}.}$

Podemos ver que el parámetro está relacionado con la posición en la curva de la siguiente manera:

• ${\displaystyle p<-1}$corresponde a , : el ala inferior derecha. ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle y<0}$
• ${\displaystyle -1<p<0}$corresponde a , : el "ala" superior izquierda. ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle y>0}$
• ${\displaystyle p>0}$corresponde a , : el bucle de la curva. ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle y>0}$

Otra forma de representar gráficamente la función se puede derivar de la simetría sobre . La simetría se puede ver directamente a partir de su ecuación (x e y se pueden intercambiar). Aplicando una rotación de 45° en el sentido de las agujas del reloj, por ejemplo, se puede representar gráficamente la función simétrica sobre el eje x rotado. ${\displaystyle y=x}$

Esta operación es equivalente a una sustitución: y da como resultado Trazando en el sistema cartesiano de se obtiene el folio rotado 45° y por lo tanto simétrico respecto al eje . $${\displaystyle x={{u+v} \over {\sqrt {2}}},\,y={{u-v} \over {\sqrt {2}}}}$$ $${\displaystyle v=\pm u{\sqrt {\frac {3a{\sqrt {2}}-2u}{6u+3a{\sqrt {2}}}}}.}$$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle u}$

Propiedades

Forma un bucle en el primer cuadrante con un punto doble en el origen y la asíntota . Es simétrica respecto de la recta . Por lo tanto, ambas se cortan en el origen y en el punto . $${\displaystyle x+y+a=0\,.}$$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle (3a/2,3a/2)}$

La diferenciación implícita da como resultado la fórmula para la pendiente de la línea tangente a esta curva, que es ^[3]. Si se utiliza cualquiera de las representaciones polares anteriores, se obtiene que el área del interior del bucle es . Además, el área entre las "alas" de la curva y su asíntota inclinada también es . ^[1] $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {ay-x^{2}}{y^{2}-ax}}.}$$ ${\displaystyle 3a^{2}/2}$ ${\displaystyle 3a^{2}/2}$

Relación con la trisectriz de Maclaurin

Trisectriz de Maclaurin

El folio de Descartes está relacionado con la trisectriz de Maclaurin por transformación afín . Para ver esto, comience con la ecuación y cambie las variables para encontrar la ecuación en un sistema de coordenadas rotado 45 grados. Esto equivale a establecer $${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy\,,}$$

$${\displaystyle x={{X+Y} \over {\sqrt {2}}},y={{X-Y} \over {\sqrt {2}}}.}$$En el plano la ecuación es ${\displaystyle X,Y}$ $${\displaystyle 2X(X^{2}+3Y^{2})=3{\sqrt {2}}a(X^{2}-Y^{2}).}$$

Si estiramos la curva en la dirección por un factor de esto se convierte en la ecuación de la trisectriz de Maclaurin. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ $${\displaystyle 2X(X^{2}+Y^{2})=a{\sqrt {2}}(3X^{2}-Y^{2}),}$$

Notas

1. «Folium de Descartes». Enciclopedia de Matemáticas . 5 de junio de 2020 . Consultado el 30 de enero de 2021 .
2. Simmons, pág. 101
3. Stewart, James (2012). "Sección 3.5: Diferenciación implícita". Cálculo: trascendentales tempranos . Estados Unidos de América: Cengage Learning. págs. 209-11. ISBN 978-0-538-49790-9.
4. Stewart, James (2012). "Capítulo 10: Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares". Cálculo: trascendentales tempranas (7.ª ed.). Cengage Learning. pág. 687. ISBN 978-0-538-49790-9.
5. "DiffGeom3: curvas parametrizadas y curvas algebraicas". NJ Wildberger, Universidad de Nueva Gales del Sur . Archivado desde el original el 21 de diciembre de 2021. Consultado el 5 de septiembre de 2013 .

Referencias

• J. Dennis Lawrence: Un catálogo de curvas planas especiales , 1972, Dover Publications. ISBN 0-486-60288-5 , págs. 106-108 
• George F. Simmons : Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics , Nueva York 1992, McGraw-Hill, xiv, 355. ISBN 0-07-057566-5 ; nueva edición 2007, The Mathematical Association of America ( MAA ) 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "El folio de Descartes". MathWorld .
• "Folium de Descartes" en el Índice de curvas famosas de MacTutor
• "Folium cartesiano" en MathCurve