En matemáticas , un conjunto rectificable es un conjunto suave en cierto sentido de la teoría de la medida . Es una extensión de la idea de una curva rectificable a dimensiones superiores; En términos generales, un conjunto rectificable es una formulación rigurosa de un conjunto suave por partes. Como tal, tiene muchas de las propiedades deseables de las variedades suaves , incluidos los espacios tangentes que se definen en casi todas partes . Los conjuntos rectificables son el objeto de estudio subyacente en la teoría de la medida geométrica .
Definición
Se dice que un subconjunto de Borel del espacio euclidiano es un conjunto rectificable si tiene dimensión de Hausdorff y existe una colección contable de mapas continuamente diferenciables.
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{f_{i}\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f_{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
tal que la medida de - Hausdorff de
![{\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E\setminus \bigcup _{i=0}^{\infty }f_{i}\left(\mathbb {R} ^{m}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es cero. La barra invertida aquí denota la diferencia establecida . De manera equivalente, se puede considerar que es un continuo de Lipschitz sin alterar la definición. [1] [2] [3] Otros autores tienen definiciones diferentes, por ejemplo, no requieren que sea -dimensional, sino que requieren que sea una unión contable de conjuntos que son la imagen de un mapa de Lipschitz de algún subconjunto acotado de . [4]![{\ Displaystyle f_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Se dice que un conjunto es puramente irretificable si para cada (continuo, diferenciable) , se tiene![{\displaystyle E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}\left(E\cap f\left(\mathbb {R} ^{m}\right)\right)=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un ejemplo estándar de un conjunto puramente 1-no rectificable en dos dimensiones es el producto cartesiano del conjunto de Smith-Volterra-Cantor multiplicado por sí mismo.
Conjuntos rectificables en espacios métricos
Federer (1969, págs. 251-252) proporciona la siguiente terminología para m -conjuntos rectificables E en un espacio métrico general X.
- E es rectificable cuando existe un mapa de Lipschitz para algún subconjunto acotado de onto .
![{\displaystyle m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f:K\to E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- E es contablemente rectificable
cuando E es igual a la unión de una familia contable de conjuntos rectificables.![{\displaystyle m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- E es rectificable contablemente
cuando es una medida en X y hay un conjunto F rectificable contablemente tal que .![{\displaystyle \phi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \phi (E\setminus F)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- E es rectificable cuando E es rectificable contablemente y
![{\displaystyle (\phi,m)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (\phi,m)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \phi (E)<\infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- E es puramente no rectificable
cuando es una medida en X y E no incluye un conjunto F rectificable con .![{\displaystyle \phi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \phi (F)>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La definición 3 con y se acerca más a la definición anterior para subconjuntos de espacios euclidianos.![{\displaystyle \phi ={\mathcal {H}}^{m}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Notas
Referencias
- Federer, Herbert (1969), Teoría de la medida geométrica , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 153, Nueva York: Springer-Verlag, págs. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7, SEÑOR 0257325
- TCO'Neil (2001) [1994], "Teoría de la medida geométrica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Simon, León (1984), Conferencias sobre teoría de medidas geométricas , Actas del Centro de Análisis Matemático, vol. 3, Canberra : Centro de Matemáticas y sus Aplicaciones (CMA), Universidad Nacional de Australia , págs. VII+272 (erratas sueltas), ISBN 0-86784-429-9, Zbl 0546.49019
enlaces externos
- Conjunto rectificable en la Enciclopedia de Matemáticas