Zócalo (matemáticas)

En matemáticas , el término zócalo tiene varios significados relacionados.

Zócalo de un grupo

En el contexto de la teoría de grupos , el zócalo de un grupo G , denotado soc( G ), es el subgrupo generado por los subgrupos normales mínimos de G. Puede suceder que un grupo no tenga un subgrupo normal mínimo no trivial (es decir, cada subgrupo normal no trivial contiene propiamente otro subgrupo similar) y en ese caso el zócalo se define como el subgrupo generado por la identidad. El zócalo es un producto directo de subgrupos normales mínimos. ^[1]

Como ejemplo, considere el grupo cíclico Z ₁₂ con generador u , que tiene dos subgrupos normales mínimos, uno generado por u ⁴ (que da un subgrupo normal con 3 elementos) y el otro por u ⁶ (que da un subgrupo normal con 2 elementos). Así, el zócalo de Z ₁₂ es el grupo generado por u ⁴ y u ⁶ , que es precisamente el grupo generado por u ² .

El zócalo es un subgrupo característico y, por tanto, un subgrupo normal. Sin embargo , no es necesariamente transitivamente normal .

Si un grupo G es un grupo finito con solución , entonces el zócalo se puede expresar como un producto de p -grupos abelianos elementales . Por lo tanto, en este caso, es solo un producto de copias de Z / p Z para varios p , donde el mismo p puede aparecer varias veces en el producto.

Zócalo de un módulo

En el contexto de la teoría de módulos y la teoría de anillos, el zócalo de un módulo M sobre un anillo R se define como la suma de los submódulos mínimos distintos de cero de M. Puede considerarse como una noción dual a la de radical de módulo . En notación de conjuntos,

${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=\sum _{N{\text{ is a simple submodule of }}M}N.}$

De manera equivalente,

${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=\bigcap _{E{\text{ is an essential submodule of }}M}E.}$

El zócalo de un anillo R puede referirse a uno de los dos conjuntos del anillo. Considerando R como un módulo R derecho, se define soc( R _R ), y considerando R como un módulo R izquierdo, se define soc( _R R ). Ambos zócalos son ideales de anillo y se sabe que no son necesariamente iguales.

• Si M es un módulo artiniano , soc( M ) es en sí mismo un submódulo esencial de M .

De hecho, si M es un módulo semiartiniano , entonces soc( M ) es en sí mismo un submódulo esencial de M. Además, si M es un módulo distinto de cero sobre un anillo semiartiniano izquierdo , entonces soc( M ) es en sí mismo un submódulo esencial de M . Esto se debe a que cualquier módulo distinto de cero sobre un anillo semiartiniano izquierdo es un módulo semiartiniano.

• Un módulo es semisimple si y sólo si soc( M ) =  M . Los anillos para los cuales soc( M ) =  M para todo M son precisamente anillos semisimples .
• soc(soc( M )) = soc( M ).
• M es un módulo finitamente cogenerado si y sólo si soc( M ) se genera finitamente y soc( M ) es un submódulo esencial de M .
• Dado que la suma de módulos semisimples es semisimple, el zócalo de un módulo también podría definirse como el único submódulo semisimple máximo.
• A partir de la definición de rad( R ), es fácil ver que rad( R ) aniquila a soc( R ). Si R es un álgebra unital de dimensión finita y M un módulo R finitamente generado , entonces el zócalo consta precisamente de los elementos aniquilados por el radical de Jacobson de R. ^[2]

Álgebra del zócalo de una mentira

En el contexto de las álgebras de Lie , un zócalo de un álgebra de Lie simétrica es el espacio propio de su automorfismo estructural que corresponde al valor propio  −1. (Un álgebra de Lie simétrica se descompone en la suma directa de su zócalo y cosóculo ). ^[3]

Ver también

• casco inyectable
• Radical de un módulo
• cosócle

Referencias

1. Robinson 1996, p.87.
2. JL Alperín ; Rowen B. Bell, Grupos y representaciones , 1995, ISBN  0-387-94526-1 , pág. 136
3. Mikhail Postnikov , Geometría VI: Geometría riemanniana , 2001, ISBN 3540411089 , p. 98 

• Alperín, JL ; Bell, Rowen B. (1995). Grupos y Representaciones . Springer-Verlag . pag. 136.ISBN​ 0-387-94526-1.
• Anderson, Frank Wylie; Más completo, Kent R. (1992). Anillos y Categorías de Módulos . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97845-1.
• Robinson, Derek JS (1996), Un curso de teoría de grupos , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 80 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag , págs. xviii+499, doi :10.1007/978-1-4419-8594-1, ISBN 0-387-94461-3, señor  1357169