En matemáticas , los módulos algebraicamente compactos , también llamados módulos inyectivos puros , son módulos que tienen cierta propiedad "agradable" que permite la solución de infinitos sistemas de ecuaciones en el módulo por medios finitos. Las soluciones a estos sistemas permiten la extensión de ciertos tipos de homomorfismos de módulos . Estos módulos algebraicamente compactos son análogos a los módulos inyectivos , donde se pueden extender todos los homomorfismos de los módulos. Todos los módulos inyectivos son algebraicamente compactos y la analogía entre los dos se vuelve bastante precisa mediante una incorporación de categorías.
Sea R un anillo y M un módulo R izquierdo . Considere un sistema de infinitas ecuaciones lineales.
donde ambos conjuntos I y J pueden ser infinitos, y para cada i el número de elementos distintos de cero es finito.
El objetivo es decidir si dicho sistema tiene solución , es decir , si existen elementos xj de M tales que todas las ecuaciones del sistema se satisfagan simultáneamente. (No es necesario que sólo un número finito de x j sean distintos de cero).
El módulo M es algebraicamente compacto si, para todos estos sistemas, si cada subsistema formado por un número finito de ecuaciones tiene una solución, entonces todo el sistema tiene una solución. (Las soluciones para los distintos subsistemas pueden ser diferentes).
Por otro lado, un homomorfismo de módulo M → K es una incrustación pura si el homomorfismo inducido entre los productos tensoriales C ⊗ M → C ⊗ Kes inyectivo para cada módulo R derecho C . El módulo M es inyectivo puro si cualquier homomorfismo inyectivo puro j : M → K se divide (es decir, existe f : K → M con ).
Resulta que un módulo es algebraicamente compacto si y sólo si es inyectivo puro.
Todos los módulos con un número finito de elementos son algebraicamente compactos.
Todo espacio vectorial es algebraicamente compacto (ya que es puro-inyectivo). De manera más general, todo módulo inyectivo es algebraicamente compacto, por la misma razón.
Si R es un álgebra asociativa con 1 sobre algún campo k , entonces cada R -módulo con k - dimensión finita es algebraicamente compacto. Esto, junto con el hecho de que todos los módulos finitos son algebraicamente compactos, da lugar a la intuición de que los módulos algebraicamente compactos son aquellos módulos (posiblemente "grandes") que comparten las buenas propiedades de los módulos "pequeños".
Los grupos de Prüfer son grupos abelianos algebraicamente compactos (es decir, módulos Z ). El anillo de enteros p -ádicos para cada primo p es algebraicamente compacto como módulo sobre sí mismo y como módulo sobre Z. Los números racionales son algebraicamente compactos como un módulo Z. Junto con los módulos finitos indescomponibles sobre Z , esta es una lista completa de módulos algebraicamente compactos indescomponibles.
Se pueden producir muchos módulos algebraicamente compactos utilizando el cogenerador inyectivo Q / Z de grupos abelianos. Si H es un módulo recto sobre el anillo R , se forma el módulo de caracteres (algebraico) H * que consta de todos los homomorfismos de grupo desde H hasta Q / Z . Este es entonces un módulo R izquierdo , y la operación * produce un funtor contravariante fiel desde los módulos R derechos hasta los módulos R izquierdos . Todo módulo de la forma H * es algebraicamente compacto. Además, existen homomorfismos inyectivos puros H → H **, naturales en H . A menudo se puede simplificar un problema aplicando primero el functor *, ya que los módulos algebraicamente compactos son más fáciles de manejar.
La siguiente condición es equivalente a que M sea algebraicamente compacto:
Todo módulo algebraicamente compacto indescomponible tiene un anillo de endomorfismo local .
Los módulos algebraicamente compactos comparten muchas otras propiedades con los objetos inyectivos debido a lo siguiente: existe una incrustación de R -Mod en una categoría G de Grothendieck bajo la cual los R -módulos algebraicamente compactos corresponden precisamente a los objetos inyectivos en G.
Cada R -módulo es elemental equivalente a un R -módulo algebraicamente compacto y a una suma directa de R -módulos algebraicamente compactos indescomponibles . [1]
