Núcleo (teoría de conjuntos)

Relación de equivalencia que expresa que dos elementos tienen la misma imagen bajo una función

En la teoría de conjuntos , el núcleo de una función (o núcleo de equivalencia ^[1] ) puede tomarse como ${\displaystyle f}$

• la relación de equivalencia en el dominio de la función que expresa aproximadamente la idea de "equivalente hasta donde la función puede determinar", ^[2] o ${\displaystyle f}$
• la partición correspondiente del dominio.

Una noción no relacionada es la de núcleo de una familia no vacía de conjuntos que por definición es la intersección de todos sus elementos: Esta definición se utiliza en la teoría de filtros para clasificarlos como libres o principales . ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ $${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}~=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\,B.}$$

Definición

Núcleo de una función

Para la definición formal, sea una función entre dos conjuntos . Los elementos son equivalentes si y son iguales , es decir, son el mismo elemento de El núcleo de es la relación de equivalencia así definida. ^[2] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ ${\displaystyle f\left(x_{1}\right)}$ ${\displaystyle f\left(x_{2}\right)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f}$

Núcleo de una familia de conjuntos

ElEl núcleo de una familia de conjuntos ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ es^[3] El núcleo detambién se denota a veces porEl núcleo delconjunto vacío,normalmente se deja sin definir. Una familia se llama $${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}~:=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \cap {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \ker \varnothing ,}$arreglado y se dice que tieneintersección no vacía si sunúcleono está vacío.^[3] Se dice que una familia eslibre si no es fijo; es decir, si su núcleo es el conjunto vacío.^[3]

Cocientes

Como cualquier relación de equivalencia, el núcleo se puede modificar para formar un conjunto cociente , y el conjunto cociente es la partición: $${\displaystyle \left\{\,\{w\in X:f(x)=f(w)\}~:~x\in X\,\right\}~=~\left\{f^{-1}(y)~:~y\in f(X)\right\}.}$$

Este conjunto cociente se denomina coimagen de la función y se denota por (o una variación). La coimagen es naturalmente isomorfa (en el sentido de la teoría de conjuntos de una biyección ) a la imagen , específicamente, la clase de equivalencia de en (que es un elemento de ) corresponde a en (que es un elemento de ). ${\displaystyle X/=_{f}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {coim} f}$ ${\displaystyle \operatorname {im} f;}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {coim} f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {im} f}$

Como subconjunto del producto cartesiano

Como cualquier relación binaria , el núcleo de una función puede considerarse como un subconjunto del producto cartesiano. De esta manera, el núcleo puede denotarse (o una variación) y puede definirse simbólicamente como ^[2] ${\displaystyle X\times X.}$ ${\displaystyle \ker f}$ $${\displaystyle \ker f:=\{(x,x'):f(x)=f(x')\}.}$$

El estudio de las propiedades de este subconjunto puede arrojar luz sobre ${\displaystyle f.}$

Estructuras algebraicas

Si y son estructuras algebraicas de algún tipo fijo (como grupos , anillos o espacios vectoriales ), y si la función es un homomorfismo , entonces es una relación de congruencia (es decir, una relación de equivalencia que es compatible con la estructura algebraica), y la coimagen de es un cociente de ^[2] La biyección entre la coimagen y la imagen de es un isomorfismo en el sentido algebraico; esta es la forma más general del primer teorema de isomorfismo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$

En topología

Si es una función continua entre dos espacios topológicos , entonces las propiedades topológicas de pueden arrojar luz sobre los espacios y Por ejemplo, si es un espacio de Hausdorff , entonces debe ser un conjunto cerrado . Por el contrario, si es un espacio de Hausdorff y es un conjunto cerrado, entonces la coimagen de si dada la topología del espacio cociente , también debe ser un espacio de Hausdorff. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle f,}$

Un espacio es compacto si y sólo si el núcleo de cada familia de subconjuntos cerrados que tienen la propiedad de intersección finita (FIP) no está vacío; ^{[4] [5]} dicho de otra manera, un espacio es compacto si y sólo si cada familia de subconjuntos cerrados con FIP es fija.

Véase también

• Filtro (teoría de conjuntos)  : Familia de conjuntos que representan conjuntos "grandes"

Referencias

1. Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999), Álgebra, Chelsea Publishing Company , pág. 33, ISBN 0821816462.
2. Bergman, Clifford (2011), Álgebra universal: fundamentos y temas seleccionados, Matemáticas puras y aplicadas, vol. 301, CRC Press , págs. 14-16, ISBN 9781439851296.
3. Dolecki y Mynard 2016, págs. 27–29, 33–35.
4. Munkres, James (2004). Topología . Nueva Delhi: Prentice-Hall of India. pág. 169. ISBN. 978-81-203-2046-8.
5. Un espacio es compacto si y solo si cualquier familia de conjuntos cerrados que tienen fip tiene intersección no vacía en PlanetMath .

Bibliografía

• Awodey, Steve (2010) [2006]. Teoría de categorías . Oxford Logic Guides. Vol. 49 (2.ª ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0.
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4.OCLC 945169917  .