Anillo Cohen-Macaulay

En matemáticas , un anillo de Cohen-Macaulay es un anillo conmutativo con algunas de las propiedades álgebro-geométricas de una variedad suave , como la equidimensionalidad local . Bajo suposiciones leves, un anillo local es Cohen-Macaulay exactamente cuando es un módulo libre generado finitamente sobre un subanillo local regular. Los anillos de Cohen-Macaulay desempeñan un papel central en el álgebra conmutativa : forman una clase muy amplia y, sin embargo, se comprenden bien en muchos sentidos.

Llevan el nombre de Francis Sowerby Macaulay  (1916), quien demostró el teorema de la falta de mezcla para anillos polinómicos, y de Irvin Cohen  (1946), quien demostró el teorema de la falta de mezcla para anillos formales de series de potencias . Todos los anillos de Cohen-Macaulay tienen la propiedad de no estar mezclados.

Para los anillos locales noetherianos, existe la siguiente cadena de inclusiones.

Anillos universalmente catenarios ⊃ Anillos de Cohen-Macaulay ⊃ Anillos de Gorenstein ⊃ Anillos de intersección completos ⊃ Anillos locales regulares

Definición

Para un anillo local noetheriano conmutativo R , un módulo R finito (es decir, generado finitamente ) es un módulo de Cohen-Macaulay si (en general tenemos:, consulte la fórmula de Auslander-Buchsbaum para la relación entre profundidad y oscuridad de un cierto tipo de módulos ). Por otro lado, es un módulo en sí mismo, por lo que llamamos módulo a un anillo de Cohen-Macaulay si es un módulo de Cohen-Macaulay . Un módulo de Cohen-Macaulay máximo es un módulo de Cohen-Macaulay M tal que . ${\displaystyle M\neq 0}$ ${\displaystyle \mathrm {depth} (M)=\mathrm {dim} (M)}$ ${\displaystyle \mathrm {depth} (M)\leq \mathrm {dim} (M)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathrm {dim} (M)=\mathrm {dim} (R)}$

La definición anterior fue para anillos locales noetherianos. Pero podemos ampliar la definición de un anillo noetheriano más general: si es un anillo noetheriano conmutativo, entonces un módulo R M se llama módulo Cohen-Macaulay si es un módulo Cohen-Macaulay para todos los ideales máximos . (Esta es una especie de definición circular a menos que definamos módulos cero como Cohen-Macaulay. Por lo tanto, definimos módulos cero como módulos Cohen-Macaulay en esta definición). Ahora, para definir módulos Cohen-Macaulay máximos para estos anillos, requerimos que Sea tal módulo para cada ideal máximo de R . Como en el caso local, R es un anillo de Cohen-Macaulay si es un módulo de Cohen-Macaulay (como un módulo sobre sí mismo). ^[1] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {m} }}$ ${\displaystyle \mathrm {m} \in \mathrm {Supp} (M)}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {m} }}$ ${\displaystyle R_{\mathrm {m} }}$ ${\displaystyle \mathrm {m} }$ ${\displaystyle R}$

Ejemplos

Los anillos noetherianos de los siguientes tipos son Cohen-Macaulay.

• Cualquier anillo local regular . Esto lleva a varios ejemplos de anillos de Cohen-Macaulay, como los números enteros , o un anillo polinómico sobre un campo K , o un anillo de series de potencias . En términos geométricos, todo esquema regular , por ejemplo una variedad suave sobre un campo, es Cohen-Macaulay. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle K[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]}$
• Cualquier anillo de dimensión 0 (o equivalentemente, cualquier anillo artiniano ).
• Cualquier anillo reducido unidimensional , por ejemplo cualquier dominio unidimensional .
• Cualquier anillo normal bidimensional .
• Cualquier anillo Gorenstein . En particular, cualquier anillo de intersección completo .
• El anillo de invariantes cuando R es un álgebra de Cohen-Macaulay sobre un campo de característica cero y G es un grupo finito (o más generalmente, un grupo algebraico lineal cuyo componente de identidad es reductivo ). Este es el teorema de Hochster-Roberts . ${\displaystyle R^{G}}$
• Cualquier anillo determinante. Es decir, sea R el cociente de un anillo local regular S por el ideal I generado por los r × r menores de alguna matriz p × q de elementos de S. Si la codimensión (o altura ) de I es igual a la codimensión "esperada" ( p − r +1)( q − r +1), R se llama anillo determinante . En ese caso, R es Cohen-Macaulay. ^[2] De manera similar, los anillos de coordenadas de variedades determinantes son Cohen-Macaulay.

Algunos ejemplos más:

1. El anillo K [ x ]/( x ²) tiene dimensión 0 y por tanto es Cohen-Macaulay, pero no está reducido y, por tanto, no es regular.
2. El subanillo K [ t ² , t ³ ] del anillo polinómico K [ t ], o su localización o finalización en t = 0, es un dominio unidimensional que es Gorenstein y, por tanto, Cohen-Macaulay, pero no regular. Este anillo también se puede describir como el anillo de coordenadas de la curva cúbica cúspide y ² = x ³ sobre K .
3. El subanillo K [ t ³ , t ⁴ , t ⁵ ] del anillo polinómico K [ t ], o su localización o finalización en t = 0, es un dominio unidimensional que es Cohen-Macaulay pero no Gorenstein.

Las singularidades racionales sobre un campo de característica cero son Cohen-Macaulay. Las variedades tóricas sobre cualquier campo son Cohen-Macaulay. ^[3] El programa de modelo mínimo hace un uso destacado de variedades con singularidades klt (terminal logarítmico de Kawamata); en característica cero, estas son singularidades racionales y, por lo tanto, son Cohen-Macaulay, ^[4] Un análogo exitoso de las singularidades racionales en característica positiva es la noción de singularidades racionales F ; nuevamente, tales singularidades son Cohen-Macaulay. ^[5]

Sea X una variedad proyectiva de dimensión n ≥ 1 sobre un campo, y sea L un paquete de líneas amplio en X. Entonces el anillo de sección de L

${\displaystyle R=\bigoplus _{j\geq 0}H^{0}(X,L^{j})}$

es Cohen-Macaulay si y solo si el grupo de cohomología H ⁱ ( X , L ^j ) es cero para todo 1 ≤ i ≤ n −1 y todos los enteros j . ^[6] Se deduce, por ejemplo, que el cono afín Spec R sobre una variedad abeliana X es Cohen-Macaulay cuando X tiene dimensión 1, pero no cuando X tiene dimensión al menos 2 (porque H ¹ ( X , O ) no es cero). Véase también Anillo generalizado de Cohen-Macaulay .

Esquemas Cohen-Macaulay

Decimos que un esquema localmente noetheriano es Cohen-Macaulay si en cada punto el anillo local es Cohen-Macaulay. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

Curvas de Cohen-Macaulay

Las curvas de Cohen-Macaulay son un caso especial de los esquemas de Cohen-Macaulay, pero son útiles para compactar espacios de módulos de curvas ^[7] donde el límite del lugar geométrico suave es el de las curvas de Cohen-Macaulay. Existe un criterio útil para decidir si las curvas son o no de Cohen-Macaulay. Los esquemas de dimensión son Cohen-Macaulay si y sólo si no tienen números primos incorporados. ^[8] Las singularidades presentes en las curvas de Cohen-Macaulay se pueden clasificar completamente observando el caso de la curva plana. ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle \leq 1}$

No ejemplos

Utilizando el criterio, hay ejemplos sencillos de curvas que no son de Cohen-Macaulay a partir de la construcción de curvas con puntos incrustados. Por ejemplo, el esquema

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2},xy)}}\right)}$

tiene la descomposición en ideales primos . Geométricamente es el eje con un punto incrustado en el origen, que puede considerarse como un punto gordo . Dada una curva plana proyectiva suave , se puede construir una curva con un punto incrustado usando la misma técnica: encontrar el ideal de un punto en y multiplicarlo por el ideal de . Entonces ${\displaystyle (x)\cdot (x,y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C\subset \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle I_{x}}$ ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle I_{C}}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{I_{C}\cdot I_{x}}}\right)}$

es una curva con un punto incrustado en . ${\displaystyle x}$

Teoría de la intersección

Los esquemas de Cohen-Macaulay tienen una relación especial con la teoría de la intersección . Precisamente, sean X una variedad suave ^[10] y V , W subesquemas cerrados de dimensión pura. Sea Z un componente propio de la intersección teórica del esquema , es decir, un componente irreducible de la dimensión esperada. Si el anillo local A de en el punto genérico de Z es Cohen-Macaulay, entonces la multiplicidad de intersección de V y W a lo largo de Z viene dada como la longitud de A : ^[11] ${\displaystyle V\times _{X}W}$ ${\displaystyle V\times _{X}W}$

${\displaystyle i(Z,V\cdot W,X)=\operatorname {length} (A)}$.

En general, esa multiplicidad se da como una longitud que caracteriza esencialmente al anillo de Cohen-Macaulay; ver #Propiedades. El criterio de multiplicidad uno , por otro lado, caracteriza aproximadamente un anillo local regular como un anillo local de multiplicidad uno.

Ejemplo

Para un ejemplo simple, si tomamos la intersección de una parábola con una línea tangente a ella, el anillo local en el punto de intersección es isomorfo a

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(y-x^{2})}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(y)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x]}{(x^{2})}}}$

que es Cohen-Macaulay de longitud dos, por lo tanto, la multiplicidad de intersección es dos, como se esperaba.

Planitud milagrosa o criterio de Hironaka

Existe una caracterización notable de los anillos de Cohen-Macaulay, a veces llamada planitud milagrosa o criterio de Hironaka . Sea R un anillo local que se genera de forma finita como un módulo sobre algún anillo local regular A contenido en R. Tal subanillo existe para cualquier localización R en un ideal primo de un álgebra generada finitamente sobre un campo, según el lema de normalización de Noether ; también existe cuando R está completo y contiene un campo, o cuando R es un dominio completo. ^[12] Entonces R es Cohen-Macaulay si y sólo si es plano como un módulo A ; también es equivalente a decir que R es libre como A -módulo. ^[13]

Una reformulación geométrica es la siguiente. Sea X un esquema afín conectado de tipo finito sobre un campo K (por ejemplo, una variedad afín ). Sea n la dimensión de X . Por normalización de Noether, existe un morfismo finito f desde X al espacio afín An ^sobre K . Entonces X es Cohen-Macaulay si y sólo si todas las fibras de f tienen el mismo grado. ^[14] Llama la atención que esta propiedad es independiente de la elección de f .

Finalmente, existe una versión de Miracle Flatness para anillos graduados. Sea R un álgebra graduada conmutativa generada finitamente sobre un campo K ,

${\displaystyle R=K\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots .}$

Siempre hay un subanillo polinomial graduado A ⊂ R (con generadores en varios grados) tal que R se genera finitamente como un A -módulo. Entonces R es Cohen-Macaulay si y sólo si R es libre como módulo A calificado . Nuevamente, se deduce que esta libertad es independiente de la elección del subanillo polinomial A.

Propiedades

• Un anillo local noetheriano es Cohen-Macaulay si y sólo si su finalización es Cohen-Macaulay. ^[15]
• Si R es un anillo de Cohen-Macaulay, entonces el anillo polinómico R [ x ] y el anillo de series de potencias R [[ x ]] son ​​Cohen-Macaulay. ^{[16] [17]}
• Para un divisor u distinto de cero en el ideal máximo de un anillo local noetheriano R , R es Cohen-Macaulay si y solo si R /( u ) es Cohen-Macaulay. ^[18]
• El cociente de un anillo de Cohen-Macaulay por cualquier ideal es universalmente catenario . ^[19]
• Si R es un cociente de un anillo de Cohen-Macaulay, entonces el lugar geométrico { p ∈ Spec R | R _p es Cohen–Macaulay } es un subconjunto abierto de Spec R . ^[20]
• Sea ( R , m , k ) un anillo local noetheriano de codimensión de incrustación c , lo que significa que c = dim _k ( m / m ² ) − dim( R ). En términos geométricos, esto es válido para un anillo local de un subesquema de codimensión c en un esquema regular. Para c = 1, R es Cohen-Macaulay si y solo si es un anillo de hipersuperficie . También existe un teorema de estructura para los anillos de Cohen-Macaulay de codimensión 2, el teorema de Hilbert-Burch : todos son anillos determinantes, definidos por los r × r menores de una matriz ( r +1) × r para algunos r .
• Para un anillo local noetheriano ( R , m ), lo siguiente es equivalente: ^[21]
  1. R es Cohen-Macaulay.
  2. Para cada parámetro ideal Q (un ideal generado por un sistema de parámetros ),

     ${\displaystyle \operatorname {length} (R/Q)=e(Q)}$ := la multiplicidad de Hilbert-Samuel de Q .

  3. Para algún parámetro ideal Q ,. ${\displaystyle \operatorname {length} (R/Q)=e(Q)}$

(Consulte el anillo generalizado de Cohen-Macaulay y el anillo de Buchsbaum para conocer los anillos que generalizan esta caracterización).

El teorema de la no mezcla

Un ideal I de un anillo noetheriano A se denomina altura pura si la altura de I es igual a la altura de cada primo asociado P de A / I . (Esto es más fuerte que decir que A / I es equidimensional ; ver más abajo.)

Se dice que el teorema de la falta de mezcla se cumple para el anillo A si cada ideal I generado por un número de elementos igual a su altura no está mezclado. Un anillo noetheriano es Cohen-Macaulay si y sólo si se cumple el teorema de la falta de mezcla. ^[22]

El teorema puro se aplica en particular al ideal cero (un ideal generado por elementos cero) y, por lo tanto, dice que un anillo de Cohen-Macaulay es un anillo equidimensional ; de hecho, en el sentido fuerte: no hay ningún componente incrustado y cada componente tiene la misma codimensión.

Ver también: anillo casi no mezclado (un anillo en el que el teorema no mezclado se cumple para el cierre integral de un ideal ).

Contraejemplos

1. Si K es un campo, entonces el anillo R = K [ x , y ]/( x ² , xy ) (el anillo de coordenadas de una línea con un punto incrustado) no es Cohen-Macaulay. Esto se sigue, por ejemplo, de Miracle Flatness : R es finito sobre el anillo polinómico A = K [ y ], con grado 1 sobre puntos de la recta afín Spec A con y ≠ 0, pero con grado 2 sobre el punto y = 0 (porque el K -espacio vectorial K [ x ]/( x ² ) tiene dimensión 2).
2. Si K es un campo, entonces el anillo K [ x , y , z ]/( xy , xz ) (el anillo de coordenadas de la unión de una línea y un plano) es reducido, pero no equidimensional y, por tanto, no Cohen-Macaulay. . Tomando el cociente por el divisor x − z distinto de cero se obtiene el ejemplo anterior.
3. Si K es un campo, entonces el anillo R = K [ w , x , y , z ]/( wy , wz , xy , xz ) (el anillo de coordenadas de la unión de dos planos que se encuentran en un punto) es reducido y equidimensional , pero no Cohen-Macaulay. Para demostrarlo, se puede utilizar el teorema de conectividad de Hartshorne : si R es un anillo local de Cohen-Macaulay de dimensión al menos 2, entonces Spec R menos su punto cerrado es conexo. ^[23]

El producto Segre de dos anillos de Cohen-Macaulay no tiene por qué ser Cohen-Macaulay. ^[24]

Dualidad de Grothendieck

Un significado de la condición de Cohen-Macaulay puede verse en la teoría de la dualidad coherente . Una variedad o esquema X es Cohen-Macaulay si el "complejo dualizante", que a priori se encuentra en la categoría derivada de haces en X , está representado por un solo haz. La propiedad más fuerte de ser Gorenstein significa que este haz es un haz de líneas . En particular, todo esquema habitual es Gorenstein. Así, los enunciados de teoremas de dualidad como la dualidad de Serre o la dualidad local de Grothendieck para los esquemas de Gorenstein o Cohen-Macaulay conservan algo de la simplicidad de lo que sucede con los esquemas regulares o las variedades suaves.

Notas

1. Bruns y Herzog, de definit. 2.1.1
2. Eisenbud (1995), Teorema 18.18.
3. Fulton (1993), pág. 89.
4. Kollár & Mori (1998), Teoremas 5.20 y 5.22.
5. Schwede y Tucker (2012), Apéndice C.1.
6. Kollár (2013), (3.4).
7. Honsen, Morten, "Compactificación local de las curvas proyectivas de Cohen-Macaulay" (PDF) , archivado (PDF) desde el original el 5 de marzo de 2020
8. "Lema 31.4.4 (0BXG): el proyecto Stacks", stacks.math.columbia.edu , consultado el 5 de marzo de 2020
9. Wiegand, Roger (diciembre de 1991), "Singularidades de curvas de tipo finito Cohen-Macaulay", Arkiv för Matematik , 29 (1–2): 339–357, Bibcode :1991ArM....29..339W, doi : 10.1007 /BF02384346 , ISSN  0004-2080
10. la suavidad aquí es de alguna manera extraña y se usa en parte para darle sentido a un componente adecuado.
11. Fulton 1998, Proposición 8.2. (b)
12. Bruns y Herzog, Teorema A.22.
13. Eisenbud (1995), Corolario 18.17.
14. Eisenbud (1995), Ejercicio 18.17.
15. Matsumura (1989), Teorema 17.5.
16. Matsumura (1989), Teorema 17.7.
17. Matsumura (1989), Teorema 23.5.; NB: aunque la referencia es algo vaga sobre si se supone que un anillo es local o no, la prueba no necesita que el anillo sea local.
18. Matsumura (1989), Teorema 17.3.(ii).
19. Matsumura (1989), Teorema 17.9.
20. Matsumura (1989), Ejercicio 24.2.
21. Matsumura (1989), Teorema 17.11.
22. Matsumura (1989), Teorema 17.6.
23. Eisenbud (1995), Teorema 18.12.
24. Chow, Wei Liang (1964), "Sobre el teorema de la no mezcla", American Journal of Mathematics , 86 : 799–822, doi : 10.2307/2373158, JSTOR  2373158, MR  0171804

Referencias

• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Anillos de Cohen-Macaulay , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 39, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 978-0-521-41068-7, SEÑOR  1251956
• Cohen, IS (1946), "Sobre la estructura y teoría ideal de anillos locales completos", Transactions of the American Mathematical Society , 59 (1): 54–106, doi : 10.2307/1990313 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1990313, Señor  0016094El artículo de Cohen fue escrito cuando "anillo local" significaba lo que ahora se llama "anillo local noetheriano".
• VI Danilov (2001) [1994], "Anillo Cohen-Macaulay", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, señor  1322960
• Fulton, William (1993), Introducción a las variedades tóricas , Princeton University Press , doi :10.1515/9781400882526, ISBN 978-0-691-00049-7, señor  1234037
• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol. 2 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, señor  1644323
• Kollár, János ; Mori, Shigefumi (1998), Geometría biracional de variedades algebraicas , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511662560, ISBN 0-521-63277-3, señor  1658959
• Kollár, János (2013), Singularidades del programa modelo mínimo , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9781139547895, ISBN 978-1-107-03534-8, señor  3057950
• Macaulay, FS (1916), La teoría algebraica de los sistemas modulares, Cambridge University Press , doi :10.3792/chmm/1263317740, ISBN 1-4297-0441-1, señor  1281612
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6, señor  0879273
• Suecia, Karl; Tucker, Kevin (2012), "Un estudio de los ideales de las pruebas", Progress in Conmutative Algebra 2 , Berlín: Walter de Gruyter, págs. 39–99, arXiv : 1104.2000 , Bibcode : 2011arXiv1104.2000S, MR  2932591

enlaces externos

• Ejemplos de dominios integrales de Cohen-Macaulay
• Ejemplos de anillos de Cohen-Macaulay

Ver también

• Teoría del anillo
• Anillos locales
• Anillos locales de Gorenstein
• La demostración de Wiles del último teorema de Fermat