Intersección de la teoría de esquemas

En geometría algebraica , la intersección teórica de los subesquemas cerrados X , Y de un esquema W es , el producto de fibras de las inmersiones cerradas . Se denota por . ${\displaystyle X\times _{W}Y}$ ${\displaystyle X\hookrightarrow W,Y\hookrightarrow W}$ ${\displaystyle X\cap Y}$

Localmente, W se da como para algún anillo R y X , Y como para algunos ideales I , J . Por lo tanto, localmente, la intersección se da como ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R/I),\operatorname {Spec} (R/J)}$ ${\displaystyle X\cap Y}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} (R/(I+J)).}$

Aquí, usamos (para esta identidad, ver producto tensorial de módulos#Ejemplos ). ${\displaystyle R/I\otimes _{R}R/J\simeq R/(I+J)}$

Ejemplo : Sea una variedad proyectiva con el anillo de coordenadas homogéneo S/I , donde S es un anillo polinomial. Si es una hipersuperficie definida por algún polinomio homogéneo f en S , entonces ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle H=\{f=0\}\subset \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle X\cap H=\operatorname {Proj} (S/(I,f)).}$

Si f es lineal (deg = 1), se denomina sección hiperplanar . Véase también: Teorema de Bertini .

Ahora bien, una intersección teórica de esquemas puede no ser una intersección correcta , digamos, desde el punto de vista de la teoría de intersecciones . Por ejemplo, ^[1] sea = el 4-espacio afín y X , Y subesquemas cerrados definidos por los ideales y . Puesto que X es la unión de dos planos, cada uno de los cuales se interseca con Y en el origen con multiplicidad uno, por la linealidad de la multiplicidad de intersecciones , esperamos que X e Y se intersequen en el origen con multiplicidad dos. Por otro lado, se ve que la intersección teórica de esquemas consiste en el origen con multiplicidad tres. Es decir, una multiplicidad teórica de esquemas de una intersección puede diferir de una multiplicidad teórica de intersecciones, esta última dada por la fórmula Tor de Serre . Resolver esta disparidad es uno de los puntos de partida de la geometría algebraica derivada , que pretende introducir la noción de intersección derivada. ${\displaystyle W=\operatorname {Spec} (k[x,y,z,w])}$ ${\displaystyle (x,y)\cap (z,w)}$ ${\displaystyle (x-z,y-w)}$ ${\displaystyle X\cap Y}$

Intersección adecuada

Sea X un esquema regular y V , W subesquemas integrales cerrados. Entonces una componente irreducible P de se llama propia si la desigualdad (debida a Serre) : ${\displaystyle V\cap W:=V\times _{X}W}$

${\displaystyle \operatorname {codim} (P,X)\leq \operatorname {codim} (V,X)+\operatorname {codim} (W,X)}$

es una igualdad. ^[2] La intersección es propia si cada componente irreducible de ella es propio (en particular, la intersección vacía se considera propia). Se dice que dos ciclos algebraicos se intersecan correctamente si las variedades en los ciclos se intersecan correctamente. ${\displaystyle V\cap W}$

Por ejemplo, dos divisores (ciclos de codimensión uno) en una variedad suave se intersecan correctamente si y solo si no comparten ningún componente irreducible común. El lema móvil de Chow (en una variedad suave) dice que una intersección puede hacerse adecuada después de reemplazar un divisor por un divisor linealmente equivalente adecuado (cf. Teorema de Kleiman ).

La desigualdad de Serre anterior puede fallar en general para un esquema ambiental no regular. Por ejemplo, ^[3] sea . Entonces tiene codimensión uno, mientras que tiene codimensión tres. ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} k[x,y,z,w]/(xz-yw),\,V=V({\overline {x}},{\overline {y}}),\,W=V({\overline {z}},{\overline {w}})}$ ${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle V\cap W}$

Algunos autores como Bloch definen una intersección propia sin suponer que X es regular: en las notaciones anteriores, un componente P es propio si

${\displaystyle \operatorname {codim} (P,X)\geq \operatorname {codim} (V,X)+\operatorname {codim} (W,X).}$

Véase también

• intersección completa
• Homomorfismo de gysina

Referencias

1. Hartshorne 1977, Apéndice A: Ejemplo 1.1.1.
2. Fulton 1998, § 20.4.
3. Fulton 1998, Ejemplo 7.1.6.

• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol. 2 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, Sr.  1644323
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157